파동의 입자

물질파 파동묶음의 성질

파수와 운동량. 진동수와 에너지가 서로 관련된다.

파동을 다룰 때 파장보다는 파수로 표현하는 것이 여러모로 편리하다. 따라서 운동량과 파장을 관련시킨 물질파 관계를 운동량과 파수의 관계로 바꿀 필요가 있다. 즉, $$p = \frac{h}{\lambda} = \frac{h}{\left( \frac{2\pi}{k} \right)} = \frac{h}{2\pi} k = \hbar k$$ 여기서 $$\hbar = \frac{h}{2\pi} = 1.054 \times 10^{-34} \mathrm{J \cdot s}$$ 로 'h-바'로 읽는다. 파수는 벡터량으로서 2차원이나 3차원의 경우 이를 파벡터라하고 이를 $\mathbf{k}$로 표시한다. 따라서 운동량과 파벡터의 관계는 $$\mathbf{p} = \hbar \mathbf{k}$$

한편 광양자론에서의 진동수와 에너지 관계도 이 $\hbar$로 나타내면, $$E = h\nu = \left(\frac{h}{2\pi}\right) (2\pi \nu) = \hbar \omega$$ 이다.

파동묶음의 속도에 고전적인 입자의 속도가 대응된다.

많은 파동을 적절히 중첩시켜서 파동을 모아서 이것이 구슬, 공처럼 좁은 영역에 존재하는 고전적인 입자로 대응시키는 발상은 그럴듯 해 보인다. 이의 정당성을 더 따져보기 위해 파동묶음이 전체적으로 진행하는 속도, 즉 군속도를 계산해 보자. 이미 '파동묶음' 단원에서 비상대론의 경우에 대해 다루었으므로 여기서는 상대론으로 계산한다.

상대론에서 운동에너지와 운동량의 관계를 다시 정리한다. $$p = \frac{m_0 v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ $$E = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ 이다. 이를 이용하여 $p$와 $E$를 관련시키면 $$E = \sqrt{m_0^2 c^4 + p^2 c^2 }$$ 이므로 이를 $\omega$와 $k$의 관계로 쓰자. $$\omega = \sqrt{\left( \frac{m_0 c^2}{\hbar} \right)^2 + k^2 c^2 }$$ 여기서의 $\omega$의 $k$ 의존성으로부터 $\frac{dw}{dk}$을 계산할 수도 있지만 다음처럼 군속도를 $\frac{dE}{dp}$로 바꾸어 계산하는 것이 편하다. 즉, 군속도는 $$v_g = \frac{d\omega}{dk} = \frac{dE}{dp} = \frac{pc^2}{\sqrt{m_0^2 c^4 + p^2c^2}} = \frac{pc^2}{E} = v$$ 으로 고전적인 입자의 속도와 정확하게 대응된다. (여기서 물질파의 진동수와 관련된 것이 입자의 정지질량에너지를 포함한 에너지인지 포함하지 않은 에너지인지 불확실하다. 그러나 무엇으로 계산하더라도 같은 결과가 나온다)

내친김에 물질파의 위상속도, 즉 세부적인 파가 진행하는 속도를 구해보자. 위상속도를 고전적인 속도 $v$와 구별하기 위해 $v_p$라 쓰면 $$v_p = \frac{\omega}{k} = \frac{E}{p} = \frac{c^2}{v}$$ 으로 결국 $v_g v_p = c^2$이 된다. 언제나 $v=v_g \lt c$이므로 위상속도($v_p$)는 빛보다 큰 값을 가진다! 빛의 경우에도 이처럼 위상속도가 빛의 속도 $c$보다 빠른 경우가 있으나 파동의 에너지나 정보는 위상속도로 전달되는 것이 아니라 군속도로 전달되므로 상대론에 위배되지 않는다.

파동묶음의 위치와 운동량의 불확정도는 제한된다.

앞서 파동묶음의 위치 $x$와 파수 $k$의 불확정도가 가지는 근본적인 제한은 다음처럼 위치와 운동량의 불확정도와 관련된다. $$\Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$$ 이는 입자의 위치와 운동량이 동시에 정확하게 정해지지 않는다는 한계를 말한다. $\Delta x$를 위치의 불확정도, $\Delta p$를 운동량의 불확정도라 하며, 이들 중 어느 한 값을 줄여서 정확하게 정하면 다른 값의 불확정도는 커지게 된다. 이렇게 자연이 가지고 있는 근본적인 불확정성을 불확정성원리라고 한다.

[질문1] 전자의 속도가 $0.5 c$이다. 이의 물질파 파장, 군속도, 위상속도를 구하라.

[질문2] 운동에너지가 1000 keV 인 전자의 물질파 파장과 군속도, 위상속도를 구하라. 만일 이것이 양성자라면 이들 값은 어떨까?

[질문3] 상대론에서의 군속도와 위상속도의 관계는 $v_g v_p = c^2$이다. 비상대론에서 이들 관계는 무엇인가?

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