파동의 입자

파동묶음의 일반이론

파동묶음은 푸리에 적분으로 이해할 수 있다.

보다 일반적인 파동묶음에 대해 이해하기 위해서는 푸리에 적분을 도입해야 한다. 푸리에 변환에서 성분함수 $\phi(k)$를 가우스 함수로 삼으면 위치의 폭과 파수의 폭을 동시에 가장 작게 할 수 있다. 즉, $$\psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int dk \phi(k) e^{ikx}$$ 에서 $$\phi(k) = e^{-\alpha (k-k_0)^2}$$ 의 가우스 함수를 도입한다. 이는 특정한 $k_0$를 중심으로 하고 있고, $\alpha$에 따라 그 폭이 변한다. 그리고 입자가 $k\sim k+dk$의 파수로 있을 확률은 $|\phi(k)|^2 dk$에 비례하여 $|\phi(k)|^2$를 확률밀도함수라 한다. 파수의 불확정도를 $k$의 제곱평균제곱근(RMS: root mean square)으로 정의하면, $$\Delta k = \sqrt{\langle (k- \langle k \rangle)^2 \rangle } = \frac{1}{2\sqrt{\alpha}}$$ 여기서 $\langle A \rangle$는 $A$의 기댓값을 나타낸다. 한편 $\psi(x)$는 약간의 계산을 거치면 다음과 같이 $x$ 측면에서도 가우스 함수의 꼴이 되는 것을 확인할 수 있다. $$\psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\alpha}} e^{ik_0 x} e^{-x^2/4\alpha}$$

$x\sim x+dx$에서 입자를 발견할 확률은 $|\psi(x)|^2 dx$ 이므로 위치에 대한 확률밀도함수는 $|\psi(x)|^2$이다. 이로부터 $x$의 불확정도인 제곱평균제곱근은 $$\Delta x = \sqrt{\langle (x- \langle x \rangle)^2 \rangle }= \sqrt{\alpha}$$ 이다. 따라서 다음의 $x$와 $k$의 불확정도 사이에 다음의 관계가 성립한다. $$\Delta x \Delta k = \frac{1}{2}$$ 가우스 함수형태로 합성하는 경우가 이 불확정도의 곱이 가장 작은 값을 가질때이므로 보다 일반적인 파동묶음에서는 $$\Delta x \Delta k \ge \frac{1}{2}$$ 3차원의 푸리에 적분으로 파동묶음을 다루게 되면 각각의 차원에 대해 동일한 관계가 성립하여 $(x, y, z)$와 $(k_x, k_y, k_z)$ 사이에 $$\Delta x \Delta k_x \ge \frac{1}{2}$$ $$\Delta y \Delta k_y \ge \frac{1}{2}$$ $$\Delta z \Delta k_z \ge \frac{1}{2}$$ 이 된다.

_ 확률밀도함수_ 푸리에 변환_ 푸리에 적분_ 파동묶음_ 기댓값_ 파수