파동의 입자

파동묶음과 입자

보통의 입자는 여러 파동이 중첩되어 공간적으로 국소화된 파동묶음으로 묘사된다.

고전적인 입자를 물질파로 대응시킬 때 그 입자의 운동량으로부터 계산되는 하나의 파장을 가진 파동을 고려하였다. 그러나 단일 파장(파수)을 갖는 파동은 공간적으로 무한히 넓게 퍼져 있게 되어 명백하게 좁은 영역에 존재하는 고전입자와 일치시키는 것에 문제가 있게 된다. 아무리 고전역학이 수정되어야 하더라도 우리 눈앞에 일상적으로 나타나는 현상들도 물질파의 이론으로 설명할 수 있어야 하기 때문이다. 이것이 바로 대응원리이다. 대응원리는 앞으로 나타날 새로운 물질파의 물리, 즉 양자역학을 형성하는 데 좋은 지침을 주게 된다.

조화파동을 적절하게 합성하여 임의의 파동을 만들어 내는 절차를 파동 단원에서 설명하고 있다. 즉, 파동을 합성한 것도 존재할 수 있는 파동이라는 것을 중첩의 원리라고 하였고, 이로부터 파동의 특이한 행동들을 알아보았다.

엇비슷한 파장의 두 파동을 중첩시키면 공간적으로 무리지어진 파동을 만들 수 있다. 더 나아가 엇비슷한 파장의 여러 파동을 중첩시키면 우리가 원하는 대로 공간의 아주 좁은 영역에만 존재하는 파동이 되어 이를 파동묶음(wave packet)이라 하였다. 이 파동묶음을 고전적인 입자에 대응시킨다. 이때 여러 파장의 조화파동을 중첩시켰기 때문에 입자는 이제 단일 운동량을 갖는다는 고전역학의 생각을 포기해야 할 것이다.

다음 그래프는 파수 $k$가 각각 10, 12, 14, ... , 40 m^-1 인 16개의 파동의 진폭 $\psi_0$를 변화시켜서 이들을 모두 합성한 파동을 보여준다. 처음에는 $k$가 24와 26 의 두 파동만 진폭이 0 이 아니어서 두 파동의 합성된 모양이 나타나는 데 이는 '파동' 단원의 '파동묶음 모의실험'에서 살펴본 상황과 같다. 다른 파동을 가세시켜 파동이 더 밀집되도록 해 보자.

위 프로그램을 면밀하게 운용해보면 알 수 있듯이 파를 모으기 위해서는 오른편 그림처럼 각 성분을 종 모양으로 합성하는 것이 좋다. 이렇게 하여 파동을 중앙선에 상당한 수준으로 가까운데 밀집되게 할 수 있다. 이때 합성하는 파수의 범위를 넓히면 파동의 폭은 더 줄어들게 되어 서로 반대로 행동하는 것을 알 수 있을 것이다.

16개의 조화파동을 중첩시키는 모의실험을 통하여 파동을 공간의 한 지점에 묶어두는 것이 가능하다는 것을 알아보았다. 그러나 실제로 등간격의 파수의 파동을 합성하면 $\frac{2\pi}{\delta k}$를 주기로 하는 주기함수가 되어 엄밀한 의미에서는 완전하게 모은 것이라고 할 수 없다 (프로그램에서 파동을 모은 후에 '연장 보기' 체크박스를 선택해 보면 알 수 있다).

그러나 파수의 간격 $\delta k$를 0 으로 하는 극한에서는 주기가 무한대가 되어 거듭되지 않고 공간적으로 제한된 영역에 존재하는 파형을 만들 수 있다. 즉, 합성하는 파동의 파수를 연속된 값으로 하는 것이다. 이렇게 하여 파동을 좁은 영역에 모을 수 있을 뿐만 아니라 임의의 형태가 되게 할 수도 있다. 푸리에 적분이 바로 이에대한 일반이론이고, 이것이 양자역학의 수학적 틀을 제공한다.

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