푸리에 해석

푸리에 급수

주기함수는 조화함수의 합으로 나타낼 수 있다.

프랑스의 수학자 푸리에(Fourier)는 $x$의 함수인 $F(x)$가 주기 $L$인 주기함수 일 때 이 주기의 정수분의 일(즉 $L, L/2, L/3, \cdots$)의 주기를 갖는 조화함수의 합으로 표시할 수 있다는 것을 알아내었다. 이를 푸리에 급수(Fourier series)라고 하고, 이는 파동을 해석하는 데 중요한 원리가 된다. 즉 임의의 파동을 조화파들의 합으로 나타내거나 조화파를 합성하여 역시 임의의 파동을 만들어 낼 수 있게 된 것으로 조화파의 행동을 이해하면 일반적인 파동의 전모를 파악할 수 있는 것이다. 따라서 이 해석법은 음파나 빛 등 일반적인 파동의 특정 영역을 통과시키거나 제거하는 필터링, 신호처리를 통한 파형 인식 등 다방면에 널리 활용된다.

이 정리를 식으로 표시하면 주기함수 $F(x)$는 다음과 같이 무한급수의 합으로 나타내어진다. \[ F(x) = \frac{A_0}{2} + A_1 \cos kx + B_1 \sin kx + A_2 \cos 2kx + B_2 \sin 2kx + ... \] 여기서 \[ k = \frac{2\pi}{L} \] 이다.

주기 $L$의 함수 $F(x)$ 로부터 계수 $A$와 $B$는 다음 직교관계식으로부터 구할 수 있다. \[ \eqalign{ \int_0^L \sin nkx \cos mkx dx, &=& 0 \\ \int_0^L \sin nkx \sin mkx dx &=& \frac{L}{2} \delta_{nm}, \\ \int_0^L \cos nkx \cos mkx dx &=& \frac{L}{2} \delta_{nm}. } \] 이로부터 \[ \eqalign{ A_m &=& \frac{2}{L} \int_0^L F(x) \cos mkx dx, \\ B_m &=& \frac{2}{L} \int_0^L F(x) \sin mkx. dx } \] 이다.

사각파의 푸리에 급수

예로서 앞에서 그림으로 살펴보았던 주기가 $L$인 다음과 같은 사각파(square wave)에 대해 전개해 보자. \[ F(x) = \begin{cases} +1, & 0 \lt x \leq L/2, \\ -1, & L/2 \lt x \lt L\\ \end{cases} \] 이 함수는 기함수이어서 $A$의 값들은 모두 0 이다. 한편 $B$의 값들은 모두 쉽게 구해진다.

즉 \[ \eqalign{ B_n &=& \frac{2}{L} \int_0^{L/2} (+1) \sin nkxdx + \frac{2}{L} \int_{L/2}^{L} (-1) \sin nkxdx \\ &=& \frac{2}{n\pi} (1-\cos n \pi ). } \] 따라서 \[ B_1 = \frac{4}{\pi}, \quad B_2 = 0, \quad B_3 = \frac{4}{3\pi}, \quad B_4 = 0, \quad B_5 = \frac{4}{5\pi}, \quad \cdots \] 이고, 이 값들을 이용하여 $F(x)$를 전개하여 표시하면 다음과 같다. \[ F(x) = \frac{4}{\pi} \left( \sin kx + \frac{1}{3} \sin 3kx + \frac{1}{5} \sin 5kx + \cdots \right). \]

이 결과로부터 오직 sin 함수의 홀수 부분만 기여하는 것을 알 수 있다. 이는 사각함수의 원점을 기함수가 되도록 잡았기 때문으로 만일 우함수가 되도록 잡았다면 cos 함수의 홀수 차수만 기여했을 것이다.

공간에 놓인 파동과 시간에 따라 변하는 파동의 푸리에 전개

주기함수 $F(x)$의 변수 $x$가 공간좌표면 주기 $L$은 파장이라 할 수 있고, $k$는 바로 파동의 파수(wave number)라 할 수 있다. 각 푸리에 요소의 $nk$값이 각 요소의 파수가 되어 파장 $L$인 주기파는 $nk$의 파수의 값을 갖는 조화파가 무수히 합해진 것으로 생각할 수 있다. 주기를 보통 시간적인 측면에서 말하므로 공간의 주기를 공간주기(spatial period)라고 구분하기도 한다. 이런 의미에서 주기의 역수는 공간진동수(spatial frequency)라고 한다.

함수의 변수를 시간 $t$으로 바꾸어 $F(t)$에 대한 것으로 이해하면 $L$은 $T$로 $k$는 $\omega$로 표기하는 것이 일반적이다. 이에 따라 주기가 $T$인 진동은 기본진동수 $\omega= 2\pi/T$ 의 $n$배의 진동수를 가진 무수한 파동들의 합성된 것으로 볼 수 있다.

아래 프로그램은 파동을 푸리에 급수의 합으로 나타내었을 때 위상자가 운동하는 모습을 보여준다. 파동은 진동수에 무관하게 일정한 속도 $v$로 이동한다고 보고, 파동을 \[ \eqalign{ \Psi(x,t) &=& \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos (k_n x - \omega_n t) + \sum_{n=1}^{\infty} B_n \sin(k_n x - \omega_n t) \\ &=& \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} C_n \sin(k_n x - \omega_n t + \varepsilon_n) } \] 처럼 표현하여 나타낸 것이다. 여기서 \[ k_n = kn = \frac{2\pi}{L} n, \quad \omega_n = \omega n = \frac{2\pi}{T} n \] 이고 공간주기 $L$과 시간주기 $T$는 \[ L = vT \] 의 관계를 가진다. 이 식의 마지막 식은 같은 차수의 cos 항과 sin항을 합해서 위상이 달라진 sin 함수로 표시한 것이다. 이제 푸리에 계수는 $A_0$와 $\{C_n, \varepsilon_n\}$으로 정리된다.

[질문1] 앞서 보인 사각파나 질문1 에서의 톱니파 모두 함수가 불연속인 지점이 있다. 불연속 지점에서는 푸리에 급수로 표현한 함숫값은 원래의 함수의 좌극한과 우극한 값의 평균이 되는 것을 보여라.

[질문2] 다음과 같이 표현되는 주기 $L$의 톱니파를 푸리에 급수로 나타내어라. \[ F(x) = \begin{cases} x, & 0 \leq x \lt L/2 ,\\ x- L, & L/2 \lt x \leq L. \end{cases} \]

[질문3] '파동의 위상자와 푸리에 급수' 프로그램에서 '파형'을 '삼각파'로 선택해서 관찰해 보라. 이 주기함수의 함수를 식으로 나타내고, 아울러 이를 푸리에 급수로 나타내어라.

[질문4] '파동의 위상자와 푸리에 급수' 프로그램에서 '파형'을 '2차함수파'로 선택해서 관찰해 보라. 이 주기함수의 함수를 식으로 나타내고, 아울러 이를 푸리에 급수로 나타내어라.

_ 기본진동_ 조화파_ 진동수_ 위상_ 음파_ 주기_ 파수_ 파동

파동의 성분

조화파의 중첩으로 임의의 파를 나타낼 수 있다.

푸리에 급수를 이용하여 어떤 신호의 성분을 추출하는 것을 푸리에 해석(Fourier analysis)이라 하고 이때 나타나는 각각의 계수들을 푸리에 성분(Fourier component)라고 한다.

아래 프로그램은 사각파와 톱니파, 전파정류파 등 몇 가지의 경우에 대하여 푸리에 급수의 한 항을 더할 때마다 원래의 파형에 점차 접근하는 모습을 보여주고 있다. '처음' 버튼을 누르면 새로운 주기의 파가 제일 위의 그래프로 제시된다. 이때 푸리에 급수의 초항($n=0$)이 가세되어 있고 이것과 원래의 파와의 오차값이 붉게 채워진 그래프로 나타난다. 제일 아래의 그래프는 이 오차를 최소로 할 수 있는 다음 급수의 정현파가 제시 되어 있는 데 '더함'을 누르면 이것이 푸리에 급수에 가세되어 함수 원형에 더욱 접근하여 오차가 줄어드는 것을 볼 수 있을 것이다. '자동'은 계속해서 한 항씩 자동으로 더해서 점점 원형을 맞추어 나가는 것을 보여준다.

_ 주기