파동의 합성과 분해

여러 가지의 조화진동이 합해져서 만드는 복합진동을 계산하는 일은 역학, 전자공학, 파동학, 광학 등 여러 영역에서 나온다. 특히 각각의 조화진동의 진동수가 동일한 경우에 합성된 진동도 역시 같은 진동수를 갖는 조화진동이 되는 데 이 합성된 진동의 진폭이나 위상은 각각의 진동의 진폭이나 위상과 관련이 있다.

전자공학에서 교류전류가 저항이나 콘덴서, 코일에 걸리는 교류회로의 경우 합성된 전압을 계산할 때 이러한 계산을 쉽게 하기 위하여 복소수를 도입하거나, 이 복소수의 개념을 보다 쉽게 도식화 한 위상자(phasor: 페이사)방법을 쓴다. 위상자는 복소수로 표현한 파동량이나 복소진폭(complex amplitude)을 말하는 데 이는 2차원 벡터공간에서 벡터로 볼 수 있고 파의 합성을 이 벡터공간에서의 벡터의 합성과 같이 취급할 수 있다.

다음과 같이 $+x$ 방향으로 진행하는 조화파를 생각하자. \[ \begin{equation} \label{eq1} \Psi(x,t) = A \sin(kx-\omega t + \varepsilon) \end{equation} \] 여기서 괄호속의 값 $kx-\omega t + \varepsilon$은 $\sin$ 함수에 걸려있어서 각도의 의미를 가지고 있는 데 이러한 양을 넓은 의미에서 위상이라 한다 (좁은 의미에서의 위상은 $\varepsilon$이다). 이때 위상자는 2차원 평면에서의 벡터로 정의하는 데 그 벡터의 크기를 진폭 $A$, 기준축과 이루는 각을 위상값 $kx-\omega t + \varepsilon$으로 정한다. 따라서 위치와 시간에 따라 위상자는 다르게 주어지나 크기 $A$는 변하지 않는다. 또한 한 지점에서의 위상자는 언제나 $-\omega$의 각속도로 회전을 하게 된다.

다음 그림은 조화파의 움직임과 각 지점에서의 위상자의 운동을 보여준다. 진동수를 변경하면 회전각속도가 달라진다. 또한 진행속도는 일정하게 주어져서 있으므로 파수는 진동수에 비례하고, 따라서 파장은 진동수에 반비례한다.

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파동의 위상자_ 1차원 조화파의 위상자의 운동을 나타낸다. $\omega$의 슬라이더로 진동수를 변경할 수 있으며 이에 따라 파수 $k$도 이에 비례하게 달라진다. 여기서 위상자는 갈색의 화살로 나타내고 있다. '+x 방향'을 선택하면 $k$가 양의 값을 가지고, 따라서 오른쪽으로 파동이 진행한다. 화면의 파동영역을 클릭하거나 드래그 하면 그 지점의 위상자가 오른편에 실제의 크기로 보여진다.

위상자의 성질

1. 조화파를 \eqref{eq1} 식과 같이 표기할 때 위상자의 각속도는 파동의 진행방향과 관계없이 언제나 음의 값을 가지고 있어서 시계방향으로 회전한다.

2. 조화파의 위상자는 현재의 파동량뿐만 아니라 움직임의 방향, 진폭 등의 추가 정보를 가지고 있다.

3. 여러 파동을 합성할 때는 위상자를 벡터의 덧셈, 즉 위상자의 화살들을 연결하여 합하면 된다. 그러나 이렇게 합한 것은 일반적으로 조화파의 위상자는 아니다. 즉 시간에 따라 그 크기가 달라질 수 있어 2 의 성질을 가지지 않는다.

4. 동일한 진동수의 위상자들은 모두 같은 속도로 회전하며, 따라서 이들을 모두 합한 결과도 같이 회전하고, 따라서 새로운 조화파의 위상자가 된다.

5. 다음과 같이 시간에 따라 고정된 복소수값으로 위상자를 정의하기도 한다. \eqref{eq1}의 파동함수를 다음과 같이 복소수로 표현하자. \[ \Psi(x, t) = A e^{i(kx-\omega t + \varepsilon)} = A e^{i(kx + \varepsilon)} e^{-i\omega t} \] 여기서 진동항 $e^{-i\omega t}$의 계수, 즉 복소진폭의 값을 복소수 평면 위에서 벡터로 나타낸 것이 위상자의 또다른 정의이다. 이 값은 $t=0$의 위상자라고 할 수 있는 데 공간에 따라 달리 주어지지만 시간에 무관하다. 파동의 간섭이나 회절에서와 같이 같은 진동수의 파동을 합성하는 경우에 이렇게 정하는 위상자가 유용하게 이용된다.

위상자는 공간에서 다르게 주어지며 나름대로 운동한다.

다음 그림은 2차원 파동의 위상자가 분포된 모습과 한 지점에서의 위상자를 보여준다. 파원은 화면의 좌측 아래의 한 점에서 나오고 있으며 진행함에 따라 진폭이 서서히 줄어드는 것도 반영되어 있다.

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2차원 파동의 위상자_ 2차원 평면에서의 조화파의 위상자를 보여준다. 이 파동은 화면 영역의 왼쪽 아래의 바깥에서 발생되는 구면파로 그 지점에서의 거리가 커짐에 따라 진폭이 줄어 들고 있다. '동작'시키면 시간에 따라 변하는 각 지점에서의 위상자를 보여준다. 한편 '정방향'을 해제하면 진행방향이 역전된다.

위상자에 의한 파동의 합성

위상자는 벡터이므로 화살의 촉에 꼬리를 물려서 작도하는 방법으로 합성할 수 있다. 여러 파동이 공존할 때는 모든 파동의 대수적인 합이 겉보기로 나타나는 데 이는 각각의 위상자를 더한 결과와 같다.

다음 그림은 두 조화파가 합성된 것으로 위상자로 셈하는 절차를 보여주고 있다. 선택된 한 지점의 두 위상자는 각각의 진동수를 각속도로 하여 등속원운동을 하는 데 이들이 합해지면 그림에서 보는 것처럼 회전운동위에 회전운동이 올라타고 있는 양상을 보인다.

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파동의 합성_ 두 조화파가 합성된 파동의 위상자를 보여준다. 맨 위의 파동1과 중간의 파동2가 합성되어 맨 아래의 파형을 이룬다. 이때 오른쪽에 화살로 나타낸 그림은 파동 영역의 한 지점에서의 위상자의 셈법을 보여준다. 각각의 파동의 진동수를 변경할 수 있으며, 파동1의 경우는 진행방향을, 파동2의 경우는 진폭도 바꿀 수 있다.

[질문1] 일차원 파동에 대한 각 지점의 위상자가 다음과 같이 주어져 있다. 이 파동의 진행 방향은 어느 쪽인지를 판단하고, 그 이유를 설명하라. (파동을 $\Psi(x,t)=A\sin (kx-\omega t)$ 형으로 표현하는 이 사이트에서의 표기방식을 따른다)

[질문2] '2차원 파동의 위상자' 그림을 '동작'시키면 파동의 움직임을 대강 파악할 수 있다. 실제로 이 파는 어떤 점으로부터 발생된 원형파(2차원의 구면파)이다. 파면의 움직임을 추정해 보라. 또 이로부터 파원의 위치를 찾아보라. (파원은 $\omega$의 선택에 무관하게 한 점으로 고정되어 있다)

[질문3] '파동의 합성' 프로그램에서 맥놀이의 상황을 만들어 보라. 맥놀이가 일어나는 원인을 위상자의 행동을 관찰해서 설명하라.

[질문4] '파동의 합성' 프로그램에서 두 파동의 진동수와 진폭을 동일한 값으로 주고, 두 파동의 진행방향을 서로 반대로 하면 정상파가 만들어진다. 여러 지점에 대한 위상자의 행동을 살펴보고 이로부터 정상파의 특징을 설명하라.

[질문5] 질문 4의 조건에서 두 파동의 진폭을 달리해서 결과를 관찰해 보자. 이때도 파동이 정지해 있는 것처럼 나타나는가? 위상자의 행동이 질문 4의 경우와 어떻게 다른가?