'타원편광' 단원에서 타원편광이 가장 일반적인 편광의 형태라는 것을 보았다. 이때 $x, y$ 방향으로 선편광된 빛이 임의의 진폭, 임의의 위상차를 가지고 만나서 만드는 편광상태가 공간의 한 단면에서 타원의 궤적을 그리게 되고, 이 타원의 형태는 진폭과 위상에 의해 정해지게 된다. 여기서는 전기장을 다음과 같이 복소수로 나타도록 한다. 따라서 $z$ 방향으로 진행하는 빛의 두 성분은 \[ \eqalign{ E_x (z, t) &=& E_{0x} e^{i (kz-\omega t + \phi_x)}, \\ E_y (z, t) &=& E_{0y} e^{i (kz-\omega t + \phi_y)} } \] 이다. $x$와 $y$의 두 성분은 실제의 진폭 $E_{0x}$과 $E_{0y}$와 함께 위상 $\phi_x$와 $\phi_y$도 차이가 있을 수 있다. 따라서 이들을 통합적으로 다루기 위해 공통인 부분을 제외하고 다음과 같이 복소진폭을 정의하자. \[ \mathbf{E}_0 = \mathbf{\hat{x}} ~ E_{0x} e^{i\phi_x} + \mathbf{\hat{y}} ~ E_{0y} e^{i\phi_y} \] 알짜의 편광상태는 복소진폭의 비율로만 결정되기 때문에 다음과 같이 복소진폭의 $y$ 성분을 $x$ 성분으로 나눈 다음 값이 특정한 편광상태를 유일하게 결정한다. \[ \zeta = \frac{E_{0y} e^{i\phi_y}}{E_{0x} e^{i\phi_x}} = \frac{E_{0y}}{E_{0x}} e^{i(\phi_y - \phi_x)} = \tan \psi e^{i\phi} \] 이렇게 복소수 $\zeta$로 한 편광상태를 표현하는 것을 복소표현(complex number representation)이라 한다.
다음 그림은 복소평면 위에서의 편광상태를 보여주고 있다. 원점에는 $E_y$가 0 이므로 x선편광이 자리한다. 그리고 $x$-축 위에서는 $x, y$ 두 성분의 위상차가 없으므로 $\psi$만큼 기울어진 선편광이 된다. 단 y선편광은 $x=\infty$에 있으므로 유한한 영역에서는 나타낼 수 없는 것이 약점이다.
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편광의 복소표현_편광상태를 복소수 평면에서 표시하였을 때의 다양한 편광상태를 보여준다. $x, y$로 표시한 축은 편광의 복소표현 $\zeta$의 실축과 허축이기도 하지만 전기장이 진동하는 방향을 나타내기도 한다. 따라서 원점에서의 편광은 x선편광이다.
여기서는 빛의 파동을 나타낼 때 $E_x (z, t) = E_{0x} e^{i (kz-\omega t + \phi_x)}$ 형식으로 표기하였다. 많은 정규 광학 도서들이 이 표기를 따르지만 광공학(photonics) 관련 도서들은 그렇지 않는 경우가 많다. 이는 \[ \begin{equation} \label{eq4} E_x (z, t) = E_{0x} e^{i (\omega t - kz + \phi_x)} \end{equation} \] 와 같이 $kz$와 $\omega t$를 바꾸어 쓴 것이다. 파동함수에서 물리적인 의미가 있는 것은 복소수로 표현한 파동함수의 실수 성분이거나 절대값이므로 위상을 감안하지 않으면 두 표현 모두 동일하다. 그러나 편광을 다룰 때는 두 위상 $\phi_x$와 $\phi_y$, 특히 이들의 차이 $\phi = \phi_y-\phi_x$의 의미가 커진다. 따라서 두 표현은 이들 위상을 서로 반대 부호를 택한 것으로 볼 수 있다.
\eqref{eq4}의 표기를 따른다면 복소표현에서 $\phi$를 $-\phi$로 바꾼 것으로 볼 수 있어서 도형의 형태는 같지만 진동하는 방향이 반대가 될 것이다. 공간의 특정한 점, 즉 $z$를 고정시켜서 시간의 경과에 대한 행동으로 편광상태를 정하는 데 $-\omega t$와 $\omega t$의 차이 때문에 행동이 반대로 되는 것으로도 이해할 수 있다. 앞서의 '편광의 복소표현' 도형뿐만 아니라 앞으로의 편광에 관련된 여러 도형에서 시간에 따라 움직이는 편광상태는 그 움직이는 방향으로 반대로 하면 \eqref{eq4} 식으로의 표기법에 의한 것이 된다. 따라서 타원편광에서 '좌향, 왼'과 '우향, 오른'의 입장이 서로 바뀌게 된다. 그러나 표기법으로 편광에 대한 본질적인 것이 달라지는 것은 아니다.
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