중첩의 원리

맥놀이

귀에서 느껴지는 긴 주기의 진동

서로 엇비슷한 진동수의 두 소리가 겹쳐서 들릴 때 주기적으로 소리가 커졌다 작아졌다 하는 데 파동에서 이러한 현상을 맥놀이라 한다. 맥놀이는 파동이 공간의 한 점에서 시간에 따라 진폭이 변하는 현상으로 비슷한 주기의 두 진동이 합성되었을 때에 나타나게 된다.

합성되는 두 진동의 진폭이 비슷할수록 그 효과는 크게 나타나는 데 아래와 같이 같은 진폭의 두 진동이 합성된 경우를 생각해 보자. 진동의 각진동수 $(2 \pi f)$를 각각 $\omega_1$, $\omega_2$이라 하면, \[ \Psi_{1}=A\sin (\omega _{1} t) \] \[ \Psi_{2}=A\sin (\omega _{2} t) \] \[ \begin{equation} \label{eq3} \Psi=\Psi_{1}+\Psi_{2}=\left[ 2A\cos \frac{\omega _{1}-\omega _{2}}{2}t \right] \left[ \sin \frac{\omega _{1}+\omega _{2}}{2} t \right] \end{equation} \] 이 된다.

합성된 진동은 각각 $\frac{\omega _{1}-\omega _{2}}{2}$ 와 $\frac{\omega _{1}+\omega _{2}}{2}$ 의 두 진동수를 가진 진동의 곱한 형태로 나타나는 데 $\omega_1$과 $\omega_2$가 비슷한 경우에는 뒤 항은 원래의 진동을 그대로 닮아 있고, 앞의 항은 작은 진동수를 가진다. 따라서 원래의 진동이 긴 주기로 진폭이 변화되는 것으로 이해할 수 있다.

아래 그림은 진동수의 차이를 달리하였을 때 합성된 파형을 그래프로 그려주는 프로그램이다. 차이를 변화시키면서 합성된 결과를 관찰하여 파동이 시간에 따라 커졌다가 작아졌다가 하는 진동수, 즉 맥놀이 진동수를 측정해 보자.

아래 프로그램은 300Hz와 280~320Hz의 음을 합성하였을 때 맥놀이의 효과를 귀로 들을 수 있게 한다. 실제로 피아노 등의 악기를 조율할 때 이 맥놀이의 원리를 이용한다. 기준음을 내는 소리굽쇠와 이와 일치시키려는 음을 동시에 내게 하여 맥놀이 진동의 주기가 점점 길어져서 사라지게 되면 두 음의 진동수가 일치되었다고 말 할 수 있다.

위 프로그램을 운용해보면 두 음의 진폭이 거의 1/10 차이가 나더라도 맥놀이의 효과가 어느 정도 나타나는 것을 알 수 있을 것이다. 또한 화면의 시간 눈금을 이용하거나 시계로 맥놀이 진동수를 측정해보면 두 음의 진동수 차이와 같다는 것을 알 수 있다. 이는 앞의 \eqref{eq3} 식에서 합성된 파의 맥놀이 진동수는 형식상 $\frac{\omega _{1}-\omega _{2}}{2}$로 주어지지만 실제로 소리가 커졌다 작아졌다 하는 주기는 이의 두 배로서 $\omega _{1}-\omega _{2}$이 된다. 각진동수가 아닌 Hz 단위로 이 맥놀이 진동수를 표시하면 다음과 같다. \[ f_{beat} = |f_{1}-f_{2}| \]

[질문1] 피아노 조율에서 표준 소리굽쇠를 쓴다. 이의 진동수가 440Hz이고 비교하려는 피아노 음이 441.5Hz이라고 할 때, 이 둘이 비슷한 크기로 동시에 울렸을 때 "웅~웅~" 하는 음의 강약이 1초에 몇 번 울리는가?

_ 각진동수_ 진폭_ 악기_ 주기_ 파동