중첩의 원리

같은 진동수의 두 파동의 중첩

임의의 두 파동이 중첩되는 경우는 파장, 진폭, 진행방향, 위상 등의 차이에 따라 다양한 경우가 있을 것이다. 그러나 두 파동의 이러한 속성들이 서로 관련되어 있지 않다면 중첩된 결과는 거의 특이한 결과를 주지 않는다. 예를 들어 소음이 난무하여 시끄러운 도시에서 공기중을 떠돌아다니는 음파의 경우에는 각각의 음파가 어지럽게 제 갈길을 갈 따름이다. 또한 호수에 빗방울이 조금씩 떨어지고 또한 소금쟁이가 여기저기 물위를 기어다닐때 물위에 형성되는 수면파는 단지 어지럽게만 보일 따름이다.

그러나 두 파동의 속성들이 서로 연관되어 있다면 합성된 결과는 믿어지지 않을 정도의 신기한 현상으로 나타나는 경우가 많다. 같은 진동수의 두 파동이 서로 마주보고 달려오는 경우의 정상파, 비슷한 진동수의 파동이 만드는 맥놀이 등이 그것이다. 여기에서는 그중 가장 단순한 경우로서 진동수와 진행방향이 같고, 단지 두 파의 진폭과 위상만이 차이나는 경우에 대하여 생각해 보자

다음과 같은 1차원의 두 파동을 중첩시켜보자. \[ \Psi_1 = A_1 \sin (kx - \omega t + \varepsilon_1 ) \] \[ \Psi_2 = A_2 \sin (kx - \omega t + \varepsilon_2 ) \] 여기서 각각의 진폭과 위상은 $A_1$, $A_2$와 , $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$ 로 표기하였고, 진동수와 파수는 $\omega$와 $k$로 공통의 값을 가지고 있다. 이 두 파동이 합해지면 다음과 같이 같은 진동수와 파수의 파동이 된다. \[ \Psi= \Psi_1 + \Psi_2 =A \sin (kx - \omega t + \varepsilon) \] 여기서 새로운 진폭과 위상은 다음 식으로 표시한 새로운 값을 갖지만 진동수와 파수가 같으므로 파동의 형태는 변화가 없다. \[ \begin{equation} \label{eq4} A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos (\varepsilon_2 - \varepsilon_1 ) \end{equation} \] \[ \begin{equation} \label{eq5} \tan \varepsilon = \frac {A_1 \sin \varepsilon_1 + A_2 \sin \varepsilon_2 }{A_1 \cos \varepsilon_1 + A_2 \cos \varepsilon_2} \end{equation} \]

이와 같이 진동수와 파수가 같은 파가 세 개나 네 개, 혹은 무수히 많이 중첩되더라도 그 결과는 역시 진폭과 위상만 다른 파동이 만들어진다는 것은 쉽게 유추할 수 있다. 파동의 개수가 많아지면 이러한 중첩의 셈은 삼각함수의 덧셈보다 더 편리한 방법이 있다. 파동을 복소수로 나타내어 2차원 벡터 공간에서의 덧셈으로 취급하는 것이 편리한 데 이를 위상자 방법이라 한다.

[질문1] 삼각함수의 합법칙을 이용해서 \eqref{eq4}와 \eqref{eq5}가 되는 것을 보여라.

[질문2] 진폭이 같은 두 파동이 중첩되어 있다. 이 파동의 위상이 각 파동의 위상의 평균값이 되는 것을 증명하라.

[질문3] 진폭이 1:2이고 위상차가 45°인 두 파동이 중첩되어 있다. 이 파동의 진폭은 얼마인가? 또한 이 파동의 위상은 원래의 두 파동과 어떤 관계가 있는가?

[질문4] 두 파동이 중첩되어 하나로 나타난다. 각각의 진폭과 위상이 $A_1=6$, $A_2=8$, $\varepsilon_1 = 0$, $\varepsilon_2 = \frac{\pi}{2}$이라면 이 파동의 진폭과 위상은 얼마인가?

_ 위상자_ 정상파_ 진동수_ 복소수_ 진폭_ 음파_ 보일_ 파수_ 파동