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중첩의 원리


같은 진동수의 두 파동의 중첩

임의의 두 파동이 중첩되는 경우는 파장, 진폭, 진행방향, 위상 등의 차이에 따라 다양한 경우가 있을 것이다. 그러나 두 파동의 이러한 속성들이 서로 관련되어 있지 않다면 중첩된 결과는 거의 특이한 결과를 주지 않는다. 예를 들어 소음이 난무하여 시끄러운 도시에서 공기중을 떠돌아다니는 음파의 경우에는 각각의 음파가 어지럽게 제 갈길을 갈 따름이다. 또한 호수에 빗방울이 조금씩 떨어지고 또한 소금쟁이가 여기저기 물위를 기어다닐때 물위에 형성되는 수면파는 단지 어지럽게만 보일 따름이다.

그러나 두 파동의 속성들이 서로 연관되어 있다면 합성된 결과는 믿어지지 않을 정도의 신기한 현상으로 나타나는 경우가 많다. 같은 진동수의 두 파동이 서로 마주보고 달려오는 경우의 정상파, 비슷한 진동수파동이 만드는 맥놀이 등이 그것이다. 여기에서는 그중 가장 단순한 경우로서 진동수와 진행방향이 같고, 단지 두 파의 진폭과 위상만이 차이나는 경우에 대하여 생각해 보자

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같은 진동수의 두 파동의 중첩_ 노란색과 분홍색으로 표시한 두 파동이 중첩되어 연두색의 파형을 만들어 낸다. 두 파는 공통적으로 오른쪽으로 진행하면서 같은 진동수파수(같은 파장)을 가지고 있으나 진폭과 위상은 차이가 있다. 아래 부분의 슬라이더를 움직여서 이 중 한파의 진폭과 위상을 변화시킬 수 있다. 이들을 어떻게 변화시키더라도 합성된 파는 두 파와 같은 진동수파수를 가진 파동된다는 것을 알 수 있다.

다음과 같은 1차원의 두 파동을 중첩시켜보자. Ψ1=A1sin(kxωt+ε1) Ψ2=A2sin(kxωt+ε2) 여기서 각각의 진폭과 위상은 A1, A2와 , ε1, ε2 로 표기하였고, 진동수파수ωk로 공통의 값을 가지고 있다. 이 두 파동이 합해지면 다음과 같이 같은 진동수파수파동이 된다. Ψ=Ψ1+Ψ2=Asin(kxωt+ε) 여기서 새로운 진폭과 위상은 다음 식으로 표시한 새로운 값을 갖지만 진동수파수가 같으므로 파동의 형태는 변화가 없다. A2=A21+A22+2A1A2cos(ε2ε1) tanε=A1sinε1+A2sinε2A1cosε1+A2cosε2

이와 같이 진동수파수가 같은 파가 세 개나 네 개, 혹은 무수히 많이 중첩되더라도 그 결과는 역시 진폭과 위상만 다른 파동이 만들어진다는 것은 쉽게 유추할 수 있다. 파동의 개수가 많아지면 이러한 중첩의 셈은 삼각함수의 덧셈보다 더 편리한 방법이 있다. 파동복소수로 나타내어 2차원 벡터 공간에서의 덧셈으로 취급하는 것이 편리한 데 이를 위상자 방법이라 한다.



[질문1] 삼각함수의 합법칙을 이용해서 (1)(2)가 되는 것을 보여라.

[질문2] 진폭이 같은 두 파동이 중첩되어 있다. 이 파동의 위상이 각 파동의 위상의 평균값이 되는 것을 증명하라.

[질문3] 진폭이 1:2이고 위상차가 45°인 두 파동이 중첩되어 있다. 이 파동진폭은 얼마인가? 또한 이 파동의 위상은 원래의 두 파동과 어떤 관계가 있는가?

[질문4] 파동이 중첩되어 하나로 나타난다. 각각의 진폭과 위상이 A1=6, A2=8, ε1=0, ε2=π2이라면 이 파동진폭과 위상은 얼마인가?


_ 위상자_ 정상파_ 진동수_ 복소수_ 진폭_ 음파_ 보일_ 파수_ 파동



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