파동의 표현

2차원 파동

수면파의 경우

호수나 바다에 형성되는 파동, 즉 수면파는 평면 위에 펼쳐진 파동으로 파동함수가 공간의 2차원, 시간의 1차원의 함수이다. 줄의 파동은 그 파동이 뛰노는 공간이 1차원이어서 1차원 파동이라 한다면 이 수면파는 2차원의 공간에 분포된 것이어서 2차원 파동이라 할 수 있다. 우리가 수면파에서 관찰 할 수 있는 파의 양상은 매우 복잡하여 쉽게 설명하기 힘든 것처럼 보인다. 그러나 한 지점으로부터 비롯된 파동은 동심원 의 원형파가 되고, 이 원형파가 멀리 퍼져 나갔을 때에는 마루나 골의 모양이 직선이 되는평면파로 비교적 간단하게 기술할 수 있다.

원형파

호수에 돌을 던지면 고요하던 물이 일렁거리면서 그 일렁거리는 것이 퍼져나간다. 돌이 던져진 지점을 중심으로 하여 사방으로 퍼져나가는 물결은 동심원을 이루게 된다. 또한 멀리 진행할수록 파의 높이는 줄어들어 아주 먼곳에서는 파가 거의 사라져 버린다. 뿐만 아니라 시간이 흘러가면 다시 고요한 호수의 본래의 모습으로 되돌아 간다. 원형파가 멀어질수록 줄어드는 이유는 파동의 에너지가 보존되어야 하기 때문이다. 멀어질수록 파가 점유된 공간(여기서는 길이)가 커지기 때문에 진폭이 줄어들어야 전체의 에너지가 그대로 유지된다. 한편 수면파는 물의 마찰열로의 발산에 의해 에너지가 서서히 열에너지로 소모되어 상당한 시간이 흐르면 수면이 고요해진다.

아래의 그림은 수면의 한 지점을 진동시켰을 때 사방으로 퍼져 나가는 파동의 모습을 움직이는 그림으로 보여주고 있다. 진동의 지점이 원점이 되는 동심원으로 파동이 번져나가는 것을 관찰 할 수 있다.

평면파

호수에서 막대기로 수면에 나란하게 치면 길다란 파가 생겨 날 것이다. 이러한 파는 진행을 하여도 계속 나란하게, 또한 파의 진폭도 별로 줄어들지 않고 전파되어 나갈 것이다.앞의 그림의 파동을 구면파라 한다면 이러한 파동을 평면파라 한다. 평면파는 2차원의 파동 중에서 가장 취급하기 쉬운 것으로 마루를 이은 영역, 즉 파면은 직선을 이루고 있어 직선파라 부를 수 있겠지만 3차원의 평면파와 성질이 같아서 평면파로 부른다.

[질문1] 줄의 각 요소가 물리적으로 연결 되어 있어 서로를 당겨주는 탄성 때문에 줄에서 파동이 생겨난다. 수면파의 경우 이러한 탄성은 무엇에서 비롯될까?

[질문2] 2차원의 파동방정식의 형태는 어떨까? 1차원에 대한 '진동자계의 운동 해석'에서와 비슷한 절차로 방정식을 세워보자. (각각의 입자가 가로세로로 탄성을 가진 용수철이나 고무줄로 연결되어 있는 단순한 모형을 생각하자. 이때 한 입자는 주변 4 개의 입자의 상대적인 위치에 따라 힘을 받게 된다)

[질문3] 평면의 한 점에서 비롯된 파동은 동심원을 그리면서 점점 멀리 퍼져나갈 수록 진폭이 줄어든다. 파동의 에너지가 보존되기 위해서는 진폭이 거리에 따라 어떤 비율로 줄어들어야 할까?

[질문4] 시간을 거꾸로 진행시켰을 때(시간역전) 나타날 수 있는 물리현상도 실제로 존재할 수 있다. 앞에서 그림으로 나타낸 여러 가지 파동들에 대해 시간역전시켜보라. 이들은 어떤 운동 모습을 보일까? 맨 위 그림인 원형파의 경우, 어떻게 이러한 파동을 만들 수 있을까?

[질문5] 2차원이나 3차원 평면파는 1차원의 파동으로 이해할 수 있다. 3차원 파동 중에서 2차원 파동으로 이해 할 수 있는 경우도 있다. 이는 어떤 경우이고, 앞의 원형파는 3차원 파동의 경우 원통파가 되는 것을 생각 해보자.

[질문6] 2차원 파동으로서 진폭 1 m, 파장 0.5 m, 파의 진동수 10 s^-1로 x 축에서 30도 방향으로 진행하는 평면파의 파동함수를 표현하라.

_ 진동자계의 운동 해석_ 여러 가지 파동_ 진동수_ 진폭_ 주기_ 보일