양자파동의 운동

조화력을 받는 파동묶음의 운동

다음 프로그램은 입자가 용수철과 같은 조화력을 받을 때의 운동을 보여준다. 고전역학에서라면 입자는 조화진동을 하게 되는 데 파동묶음도 그것과 매우 닮은 운동을 하는 것을 볼 수 있을 것이다.

프로그램 설명

1. 앞의 '퍼텐셜 계단에 진입하는 파동묶음의 운동'과 같은 조건으로 프로그램을 작성하였다.

2. 가우스 형 파동묶음의 모든 정보를 $x_0$, $\Delta x$, $k_0$ 슬라이더로 변경할 수 있다.

3. 주어진 영역에 $U(x) = \frac{1}{2} K (x-x_c)^2$ 형의 퍼텐셜이 주어진다. $x_c$는 퍼텐셜 중심으로 화면의 중앙점인 $x=1.7$로 고정하였다. 'potential strength' 슬라이더로 조절하는 값은 양쪽 경계 $x=0$, $x=3.4$에서의 퍼텐셜에너지이다. 따라서 이를 통해 용수철 상수 $K$를 변경하게 된다.

4. 화면 아래 시공간 평면에 나타낸 그래프에는 퍼텐셜의 중심 $x_c$의 위치가 붉은 선으로 표시된다.

5. 처음에 나타나는 아래 그림은 'show plane'가 선택된 것으로 세로 축은 $x$를, 가로 축은 $t$를 나타낸다. 그림에서 입자의 평균위치 $\langle x \rangle$를 흰 선으로 나타내고 있다. 이 그래프의 모눈은 시간간격은 $200\delta = 0.005$, 공간간격 $40\varepsilon = 0.2$이다.

6. 처음에 나타난 퍼텐셜은 조화 퍼텐셜로 조화력이 작용하는 상황이다. 'potential type' 콤보박스에서 퍼텐셜의 유형을 'V-type potential'과 'U-type potential'로 변경할 수 있다. 이때 'potential strength'는 언제나 가장자리에서의 퍼텐셜 값을 뜻한다.

7. 'V-type potential'은 $U(x) = K |x-x_c|$, 'U-type potential'은 $U(x) = K (x-x_c)^4$이다.

파동묶음의 조화운동

조화력의 해밀토니안은 $$H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega_0^2 x^2$$ 이다. 이에 에른페스트 정리를 적용하면 $$\frac{d}{dt} \langle x \rangle = \left\langle \frac{\partial H}{\partial p} \right\rangle = \frac{\langle p \rangle}{m},$$ $$\frac{d}{dt} \langle p \rangle = - \left\langle \frac{\partial H}{\partial x} \right\rangle = - m \omega_0^2 \langle x \rangle$$ 이다. 따라서 $$\frac{d^2}{dt^2} \langle x \rangle = \frac{1}{m} \frac{ d \langle p \rangle}{dt} = - \omega_0^2 \langle x \rangle$$ 즉, $$\frac{d^2}{dt^2} \langle x \rangle + \omega_0^2 \langle x \rangle = 0$$ 이다. 이는 고전역학에서 조화진동자의 위치함수 $x(t)$가 만족하는 운동방정식과 동일하다. 이의 해는 $$\langle x \rangle (t) = A \sin (\omega_0 t + \phi)$$ 으로 입자의 평균위치가 $\omega_0$의 진동수로 조화진동을 하는 것을 알 수 있다.

조화운동의 분석의 예

프로그램이 처음에 나타난 조건에서 아래 'show plane'이 완성되게 해서 그 결과를 분석해 보자. 이때 'potential strength'가 10000으로 선택되어 있으므로 $10,000 = \frac{1}{2}K (1.7)^2$에서 $K \approx 6,920$임을 알 수 있다. 이때 $2m=1$의 단위를 이용하므로 고유진동수는 다음 식으로 계산된다. $$\omega_0 = \sqrt{\frac{K}{m}} = \sqrt{2K}$$ 따라서 $\omega_0 = 117.6$ 이고, 이로부터 주기 $T \approx 0.053$이 된다. 이는 위 프로그램의 궤적의 그래프로써 확인할 수 있다.

_ 에른페스트 정리_ 조화진동자_ 고유진동수_ 파동함수_ 파동묶음_ 주기