2차원 진동

2차원 조화진동

2차원의 진동계가 각 축에 대하여 단조화진동을 하는 경우에는 각각의 주기와 진폭에 따라 다른 특이한 운동을 하게 된다. 이를 리사주 운동(Lissajous motion)이라 한다. 특히 두 진동의 주기가 작은 숫자의 정수비로 되어 있다면 그 두 수의 공배수를 새로운 주기로 하는 순환운동이 되어 리사주 곡선(Lissajous curve)이라 불리는 아름다운 궤적을 남기게 된다.

만일에 두 진동의 주기가 같다면 2차원 평면 위에서도 같은 주기로 타원운동을 하게 된다. 이때 타원의 형태는 두 진동의 상대적인 위상차와 진폭의 비에 의해 정해진다. 위상차가 π/2 이면서 진폭이 같다면 원운동이 된다.

다음과 같은 복원력을 받는 물체의 운동을 고려해 보자. $$- k_x x = m \frac{d^2 x}{dt^2}, \quad - k_y y = m \frac{d^2 y}{dt^2}$$ 이는 각 축이 서로 다른 용수철상수 $k_x$, $k_y$의 복원력을 받고 있어 각 축으로의 조화진동이 다음과 같이 서로 다른 진동수($\omega_x, \omega_y$)와 위상($\phi_x, \phi_y$), 진폭($A_x, A_y$)으로 진동을 하게 된다. $$x(t) = A_x \sin (\omega_x t + \phi_x), \quad y(t) = A_y \sin (\omega_y t + \phi_y)$$ 이 운동은 가로 $2A_x$, 세로 $2A_y$의 직사각형 속에서 이루어지는 운동이다. 만일에 각 축에 대한 진동의 주기가 정수의 비로 놓을 수 있다면 이는 닫혀진 리사주 곡선의 운동을 하게 되는 것이다.

아래 도형을 통해서 아름다운 리사주 곡선의 모습을 살펴볼 수 있다. 여기서 각 축의 진동수를 1 부터 15까지의 정수 값으로 설정할 수 있으며, 또한 위상차도 -180 ~ 180 도까지 변화시킬 수 있다. 진동수의 비가 정수값으로 제한 되어 있으므로 주기의 비도 정수의 비로 놓을 수 있어 이 경우는 닫혀진 운동을 하게 되어 리사주 운동의 특별한 한 형태를 나타낸다.

위 프로그램에서 $x$, $y$의 두 진동수를 동일하게 놓으면 직사각형 속에 내접된 타원의 궤적을 그리는 것을 확인할 수 있다. 특별한 위상차에서는 타원의 특수한 형태의 운동을 하여 위상차가 0도 이거나 180도이면 45도 기울어진 직선운동을, 90도이거나 -90도이면 원운동을 한다.

_ 용수철상수_ 조화진동_ 복원력_ 진동수_ 진폭_ 위상_ 주기