양자파동의 운동 2

퍼텐셜이 주어져 있는 한 입자의 운동을 고전역학에서의 해밀토니안에 대응되는 슈뢰딩거 방정식으로 이해했다. 그러나 한 입자가 느끼는 퍼텐셜은 언제나 다른 입자로부터 온 것이므로 엄밀하게는 한 입자의 문제란 있을 수 없다. 이처럼 둘이나 여럿이 관여하는 경우를 어떻게 다루어야 할까?

여기서는 두 입자가 1차원공간에서 서로 상호작용하는 경우를 생각해 보자. 이 경우 파동함수는 $\Psi(x_1, x_2, t)$처럼 표현될 것이다. 첫째 입자가 $x_1$에 둘째 입자가 $x_2$에 존재하는 데 대한 파동함수이다. 이제 각각 $x_1$, $x_2$에서 발견할 확률은 $|\Psi(x_1, x_2, t)|^2$가 된다.

만일 두 입자가 비록 같은 질량을 가지고, 또 같은 퍼텐셜을 느껴서 고전적으로는 동일한 성격의 입자라고 하더라도 일반적으로는 둘을 교환하는 변환에 대해서 대칭적이지 않다. 즉 \[ |\Psi(x_1, x_2, t)|^2 \neq |\Psi(x_2, x_1, t)|^2 \] 이고, 이를 서로 구분가능한 입자(distinguishable particle)라고 한다.

이와 달리 입자의 모양이나 질량 등 물리적인 모든 속성을 같이 가지고 있어서 어떤 방법으로든 서로 구분할 수 없는 입자는 입자를 서로 바꾸는 변환에 대해 특정한 대칭성을 가지고 있어야 한다. 이를 구분불가능한(indistinguishable) 입자라고 하고 뒤에서 다루게 된다.

여기서 다루는 두 입자 모두 $x=0\sim 1$ 영역에 놓여 있으며, 이들은 모두 같은 질량을 가지고 있고, 중심점 $x=0.5$에서의 거리에 비례하는 조화력을 받고 있다. 또한 서로 떨어진 거리에 비례하는 조화력을 가지고 상호작용한다. 이들의 퍼텐셜에너지는 다음과 같다. \[ U(x_1) = \frac{K}{2} x_1^2, \quad U(x_2) = \frac{K}{2} x_2^2 \] \[ U_c(x_1, x_2) = \frac{C}{2} (x_1-x_2)^2 \] 따라서 두 입자의 해밀토니안은 \[ H = - \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} + U(x_1) - \frac{\partial^2}{\partial x_2^2} + U(x_2) + U_c(x_1, x_2) \] 이다. 이는 2차원의 한 입자가 $U(x,y) = \frac{K}{2} (x^2 + y^2) + \frac{C}{2} (x-y)^2$의 퍼텐셜에 놓여 있는 것과 전적으로 동일하므로 앞서의 수치해석 기법을 그대로 적용할 수 있다. 다음 프로그램은 이러한 상황에 놓인 두 입자의 파동묶음의 행동을 보여준다.

exp

Java?

두 입자가 결합된 조화진동자_ 1차원의 두 입자가 서로 조화력을 받으면서 운동하고 있다. 두 입자는 서로 구분가능하며, 각각의 좌표값을 $x_1$, $x_2$로 나타낸다. 여기서 $x_1$과 $x_2$가 동일한 1차원 좌표 $x$에 놓여 있지만 2차원처럼 나타낸다.

프로그램 설명

1. 앞의 '2차원 조화진동자에서의 파동묶음의 운동'과 같은 조건으로 프로그램을 작성하였다. 여기서 각각의 입자는 1차원의 같은 공간에 놓여 있으며, 각각의 좌표값이 $x_1$, $x_2$이다.

2. 처음에 주어지는 파동함수는 다음과 같이 각각의 좌표에 대한 1차원 가우스함수의 곱으로 되어 있다. 이 파동묶음의 중심좌표는 $(x_{10}, x_{20})$이다. \[ \Psi(x_1,x_2,0)= A\exp \left( - \frac{(x_1-x_{10})^2}{4\Delta_{1}^2} \right) e^{ik_{10}(x_1-x_{10})} \exp \left( - \frac{(x_2-x_{20})^2}{4\Delta_{2}^2} \right) e^{ik_{20}(x_2-x_{20})} \] 여기서 $\Delta_{1}$, $\Delta_{2}$를 달리하면 중심축에 대해 회전대칭이 아닌 보다 일반적인 2차원 가우스함수가 된다.

3. 파속의 중심위치 $(x_{10}, x_{20})$는 '$\langle x1 \rangle$' 및 '$\langle x2 \rangle$'의 두 슬라이더로 조절할 수 있으며, 또한 초기의 중심 파수벡터 $(k_{10}, k_{20})$는 '$\langle k1 \rangle$' 및 '$\langle k2 \rangle$'로 조절할 수 있다. 그리고 파동함수의 퍼진 정도는 '$\Delta x_1$', $\Delta x_2$' 로 조절한다. 이를 통해 변경된 파동함수의 모양은 즉각 왼편에 그래프로 나타낸다.

4. 파동함수 그래프는 표면형과 이미지로 표현한다. 표면형인 경우 푸른 색조로 확률 분포를 나타내나 위의 'view HVS color'를 선택하면 진폭을 높이로, 위상을 표면색채로 표현한다. 'Wave Ftn' 탭을 선택하면 전 공간영역의 파동함수를 HSV 색모형으로 나타낸다.

5. 파동함수의 표면형 그래프에서 녹색의 막대그래프들은 각각 $x_1$와 $x_2$ 좌표축에 투영시킨 확률밀도를 나타낸다. 이때 각 축에 붉은 점으로 나타낸 지점이 입자의 평균위치, 심홍색의 막대그래프 영역은 입자의 불확정범위이다. 여기서 두 입자는 1차원 공간을 공유하고 있으므로 같은 공간 위에서 움직이는 것으로 이해해야 한다.

6. 이미지형 그래프에서는 입자의 평균위치를 붉은 색 공 모양으로, 나타내고, 장시간에 걸친 입자의 궤적도 같이 표시한다.

7. 'start'버튼을 눌러 운동을 시작시키면 파동함수가 시간의 흐름에 따라 변화되며 이 결과가 오른편의 파동함수 그래프에 반영되어 나타난다.

구분가능한 두 입자의 상호작용

1. 조건에 따라 차이가 있기는 해도 두 입자가 중심으로 향하는 조화력때문에 오랜 시간 가장자리 효과를 배제하고 상호작용을 살펴볼 수 있다.

2. 두 입자가 공유하는 조화력이 없다면 오직 입자끼리의 퍼텐셜이 둘의 상대적 위치에만 의존하기 때문에 이를 한 물체의 운동(1체문제)처럼 다룰 수 있다. 서로 구분가능한 양성자와 전자가 서로의 거리에 의존하는 수소원자가 이의 대표적인 예이다.

3. '조화력을 받는 파동묶음의 운동'에서 조화운동을 분석한 예처럼 각 축에 대해서 운동의 주기를 측정해서 고전적 주기와 동일한 것을 확인하라.

4. 각 축에 대한 운동의 주기나 진동수의 비가 유리수일 때 시작점으로 되돌아오는 완성된 리사주 도형을 만드는 것을 확인하라.

5. 이러한 완성된 리사주 도형이 나타나는 경우는 파동묶음이 경계에 이르러서 가장자리 효과가 가미되지 않아야 한다. 경계에 다가갈 때 리사주 도형에서 어긋나게 되는 것을 모의실험으로 확인하라.

6. 두 입자에 공통으로 작용하는 페텐셜이 없고 오직 서로간의 퍼텐셜만 있다고 하자. 이때 입자의 운동량의 합이 0 이 되도록 하면 둘의 질량중심은 운동하지 않는다. 이를 모의실험으로 확인하라. 두 입자가 원점에 대해 서로 반대위치에 있다면 질량중심이 제자리에 머문다. 따라서 $x_1 + x_2=0$이다. 이 경우 질량중심의 운동을 1차원으로 취급할 수 있다.

[질문1] '조화력을 받는 파동묶음의 운동'에서 1차원의 조화진동자에서 다루었다. 이 경우 에른페스트 정리에 의해 입자의 위치기댓값은 고전입자와 같은 운동을 하는 것을 보았다. 여기서처럼 1차원의 두 입자가 상호작용을 하는 경우에도 마찬가지가 성립하는 것을 검증하라.