양자파동의 운동 2

앞에서 두 입자가 상호작용하는 구분가능한 입자에 대해서 살펴보았다. 그러나 전자나 쿼크 등 물질을 구성하는 모든 기본입자는 서로 구분할 수 없어서 다음과 같은 대칭성을 가져야 한다. \[ |\Psi(x_1, x_2, t)|^2 = |\Psi(x_2, x_1, t)|^2 \] 이러한 입자를 구분불가능한 입자(indistinguishable particle)라고 하며 진정으로 양자적인 입자라 할 수 있다. 둘이 질량이나 전하량이 동일하므로 두 입자가 느끼는 외부의 영향, 즉 퍼텐셜도 동일하므로 당연히 $H(x_1, x_2)=H(x_2, x_1)$의 대칭성을 가진다. 여기서 증명은 하지 않지만 이러한 조건을 충족하는 파동함수는 다음 관계를 만족해야 한다. \[ \begin{equation} \label{eq2} \Psi(x_1, x_2, t) = \pm \Psi(x_2, x_1, t) \end{equation} \] 이 식에서 $\pm$의 각각의 부호는 어떤 입자가 가지는 근본적인 속성이다. 파동함수가 대칭적인 $+$의 부류를 보손(boson), 반대칭적인 $-$의 부류를 페르미온(fermion)이라 한다.

여기서도 앞서 '두 입자가 결합된 조화진동자 - 구분가능한 입자'의 경우와 마찬가지로 두 입자가 1차원공간에서 서로 상호작용하는 경우를 생각한다. 이 경우 파동함수는 앞에서와 달리 다른 위치에 독립적으로 존재할 수 없다. \eqref{eq2} 식의 대칭성을 가지기 위해서 하나의 해 $\Psi(x_1, x_2, t)$에 대해 대칭(symmetry), 혹은 반대칭(antisymmetry)의 조합을 한다. 즉 \[ \begin{equation} \label{eq3} \Psi_\pm(x_1, x_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\Psi(x_1, x_2, t) \pm \Psi(x_2, x_1, t)\right] \end{equation} \] 이면 \eqref{eq2}를 만족한다.

다음 프로그램은 앞의 구분가능한 입자와 달리 이러한 대칭성을 부여한 두 입자에 대한 수치해석 결과를 보여준다.

exp

Java?

두 입자가 결합된 조화진동자_ 1차원의 두 입자가 서로 조화력을 받으면서 운동하고 있다. 두 입자는 서로 구분가능하며, 각각의 좌표값을 $x_1$, $x_2$로 나타낸다.

프로그램 설명

1. 앞의 '두 입자가 결합된 조화진동자 - 구분가능한 입자'과 같은 조건으로 프로그램을 작성하였다. 여기서도 두 입자는 1차원의 같은 공간에 놓여 있으며, 각각의 좌표값이 $x_1$, $x_2$이다.

2. 처음에 주어지는 파동함수는 중심좌표는 $(x_{10}, x_{20})$인 가우스함수를 이용한다. \[ \Psi(x_1,x_2,0)= A\exp \left( - \frac{(x_1-x_{10})^2}{4\Delta_{1}^2} \right) e^{ik_{10}(x_1-x_{10})} \exp \left( - \frac{(x_2-x_{20})^2}{4\Delta_{2}^2} \right) e^{ik_{20}(x_2-x_{20})} \] 여기서는 입자 둘을 구별할 수 없으므로 \eqref{eq3} 식으로 대칭화(symmetrize)를 시킨 $\Psi_{\pm}$을 초기함수로 이용한다. 여기서 $+$ 부호를 따르는 보손의 경우는 'symmetry' 체크박스를 선택한다. 반면 이를 선택하지 않으면 반대칭성의 페르미온이다.

3. 보손의 경우는 $x_1 = x_2$의 축에 대해 접었을 때 대칭이어야 하므로 위상까지 대칭이어서 색채도 대칭이다. 그러나 페르미온의 경우 반대칭이므로 색채는 서로 보색의 관계에 있다.

구분불가능한 두 입자의 상호작용

1. 두 입자가 서로 멀리 떨어져 있으면 각각의 입자는 속성에 관계없이 개별 입자처럼 관찰된다. 이 경우는 구분가능한 입자와 차이가 없다.

2. 두 입자의 확률분포함수가 한 덩어리로 뭉쳐진 경우는 파동묶음이 겹쳐 있는 것으로 이때에는 교환대칭성이나 반대칭성의 효과가 크게 나타난다. 보손의 경우 $x_1 = x_2$에서 둘의 파동함수가 두 배로 되어 입자를 발견할 확률이 크다. 그러나 페르미온의 경우는 $x_1 = x_2$에서 파동함수가 0 이 되어 두 입자를 같은 위치에서 관찰할 수 없다.

[질문1] 동일한 입자의 확률밀도함수가 대칭성을 가지기 위해서는 \eqref{eq2} 식을 만족해야 함을 증명하라.

[질문2] 페르미온의 경우 두 입자의 파동묶음의 중심이 동일한 위치에 있고, 불확정도와 파수의 기대치가 같은 입자가 존재할 수 없는 것을 프로그램을 통해서 확인하고 또한 이론적으로 검증하라.

[질문3] 파동함수의 중심이 서로 떨어져서 겹치지 않을 때 페르미온과 보손이 같은 행동을 하는 것을 프로그램을 통해서 확인하라. 더구나 앞에서의 구분가능한 입자의 경우와도 같이 행동하는 것을 확인하라.

[질문4] \eqref{eq2} 식을 만족하는 파동함수는 시간이 흘러도 그 성질이 유지되는 것을 증명하라.