에너지 띠 이론

결정운동량과 유효질량

결정에서는 전자의 운동량과 질량을 달리 정의하여 자유입자처럼 취급한다.

블로흐 정리에서 도입한 $k$는 일종의 파수이지만 자유전자에서처럼 운동량이 $\hbar k$는 아니다. 여기서의 $k$는 단지 슈뢰딩거 방정식을 풀이하는 과정에서 파라미터로 도입한 값으로 마치 보통의 풀이에서 양자수 $n$ 등을 도입하는 경우와 같다. 격자수가 무한하다면 고유상태는 전 실수영역의 $k$값에 대해 해가 존재하며 , 아울러 주어진 하나의 $k$ 값에 대해 불연속의 에너지 고윳값을 가지는 무한한 해가 존재한다. 즉, 특정한 $k$에 대한 고유상태를 $n$의 양자수로 순차적으로 표현하면 $\psi_{nk}(x)$처럼 표현할 수 있을 것이다. 그리고 이의 에너지 고윳값은 $E_{nk}$ 혹은 로 $E_{n}(k)$표시할 수 있다. 그렇다면 $k$는 특별한 의미가 없는 것일까?

만일 퍼텐셜이 제거된 자유입자라면 $k$는 운동량과 비례하며, \[ E=\frac{p^2}{2m} = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} = \hbar \omega \] 처럼 입자의 에너지와 단순한 형태로 관련된다. 이제 퍼텐셜이 점점 크게 걸리게 되면 $k$와 $E$의 관계가 조금씩 왜곡될 것이다. 또한 파동함수도 덩달아서 조금씩 왜곡된다. 퍼텐셜에 주기성이 부여되면 공간의 병진이동에 대한 불변성이 깨지므로 $p$나 $p/\hbar$가 운동상수(constant of motion)가 아니게 된다. 반면, 퍼텐셜의 주기성 때문에 격자간격 $a$ 만큼의 이동에 대해서 계가 불변이고 $k$를 운동상수로 만든다. 이러한 이유로 $k$는 해밀토니안 $H$와 교환가능하다. 따라서 $H$의 고유상태는 $k$에 대한 고유상태도 되고, 한 상태의 $k$와 $E$는 동시에 결정될 수 있다. 반면에 $p$는 $H$와 교환가능하지 않아서 둘은 동시에 결정되지 않을 뿐더러 $H$에 대한 고유상태는 특정한 $p$값을 가지지도 않는다. 이제 자유입자에서 운동량과 비슷한 역할을 $k$가 하는 것이다. $k$는 결정에서의 입자를 이해하는 데 중요한 의미를 가져서 $\hbar k$를 결정운동량(crystal momentum)이라 한다. 여기서 $k$의 의미와 $E_{nk}$의 $k$에 대한 의존성으로 해석되는 군속도나 유효질량을 정리한다.

1. 퍼텐셜은 파동함수를 지배하므로 시간이 흐름에 따라 파동함수가 변화되어 간다. 그러나 주기적인 퍼텐셜에서라면 언제나 결정운동량은 운동상수로서 $k$가 일정하게 유지된다. 여기서 $k$가 $2\pi/a$의 정수 배만큼 변하더라도 상황이 달라지지 않는 점에 유의해야 한다. 자유입자에서 운동량보존법칙으로 입자의 충돌과정을 다루듯이 결정에서의 전자와 격자진동의 충돌에서도 비슷한 법칙이 성립한다. 예를 들어 포논이 파수 $q$로 전자에 흡수된다면 다음의 보존법칙을 만족한다. \[ k + q = k' + Q \] 여기서 $Q$는 $2\pi/a$의 정수 배로 역격자이다.

2. 파동묶음의 속도, 즉 군속도는 \[ \begin{equation} \label{eq1} v_g = \frac{d \omega_{nk}}{dk} = \frac{1}{\hbar} \frac{d E_{nk}}{dk} \end{equation} \] 이다.

3. 주기적인 퍼텐셜에 놓인 전자가 전기장에 의한 전기력 등 다른 힘 $F$를 받는다고 하자. 앞에서의 군속도 $v_g$가 고전적인 입자의 실제 이동속도로 볼 수 있으므로 \[ \delta E = F v_g \delta t \] 이다. 또한 \eqref{eq1} 식은 \[ \delta E = \frac{d E_{nk}}{dk} \delta k = \hbar v_g \delta k \] 이다. 이제 앞 두 식을 비교하면 결정에서 전자가 받는 힘은 다음과 같이 실질적으로 결정운동량을 변화시킨다는 것을 알 수 있다. \[ \fbox{$ \frac{d(\hbar k)}{dt} = F $} \] 한편, 입자의 가속도는 \eqref{eq1} 식을 다시 시간에 대한 미분으로 볼 수 있으므로 \[ a = \frac{dv_g}{dt} = \frac{1}{\hbar} \frac{d^2 E_{nk}}{dk dt} = \frac{1}{\hbar} \frac{d^2 E_{nk}}{dk^2} \frac{dk}{dt} \] 이다. 이제 고전적인 $F=ma$의 관계로부터 실질적인 질량의 의미를 부여할 수 있다. 외부에서의 힘을 받는 입자는 다음과 같이 정의하는 유효질량(effective mass) $m^*$을 가진 자유입자처럼 운동하는 것으로 이해할 수 있게 된다. \[ \fbox{$ \frac{1}{m^*} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E_{nk}}{\partial k^2} $} \] 주기적인 퍼텐셜의 모든 영향은 달라진 $m^*$에 반영된다. 위 상태밀도 그래프에서 알 수 있는 것처럼 $m^*$은 $k-E$곡선의 2차 미분값에 반비례한다. 주기적인 퍼텐셜이 없다면 어느 $k$에서나 원래의 질량 $m$과 같지만 주기적인 퍼텐셜이 크게 걸리면 $k$ 값에 따라 $m^*$은 $m$과 다른 값을 가질 뿐더러 $ka=\pi$ 부근에서는 $-$ 값을 가지기도 한다.

위 그림은 첫째 띠, 즉 $n=1$에 대해 군속도와 유효질량의 그래프로 퍼텐셜의 높이 $U_0$에 따라 달리지는 경향을 보여준다. 이 그래프로 부터 군속도와 유효질량이 다음의 성질을 가지는 것을 확인할 수 있다.

1. $ka=0$ 주변에서는 입자의 행동이 자유입자와 비슷하지만 경계영역인 $\pm \pi$ 주변에서는 군속도와 유효질량이 크게 달라지는 것으로 보아서 물리적인 특정이 극적으로 변하는 것으로 이해할 수 있다.

2. 자유입자의 경우 군속도는 $k$에 비례한다. 이는 $\hbar k$가 입자의 실제 운동량($mv_g$)이라는 것을 말한다. 그러나 주기적인 퍼텐셜이 크게 걸리면 경계영역에서는 군속도가 거의 0이 된다. 이 경우는 결정운동량은 있으나 실제로 파동묶음은 거의 정체된다.

3. 언제나 $\frac{1}{m^*}$은 $\frac{1}{m}$ 보다 작은 값을 가지며, 음의 값까지 가지기도 한다. 즉 양의 값을 가지는 경우에는 언제나 $m^*$이 $m$보다 크다. 따라서 입자가 가진 관성이 더 커져서 외부에서 걸리는 힘에 의한 파동묶음의 가속도가 자유입자의 경우보다 더 작게 생긴다.

4. 주기적인 퍼텐셜이 크게 걸리면 경계영역에서 입자의 질량은 음의 값을 가진다. 즉 외부의 힘이 걸리는 방향과 반대방향으로 가속된다! 이는 브래그 법칙의 임계상황과 가까워져서 격자점에서 입자가 점점 더 큰 확률로 반사되는 효과로 이해할 수 있다.

5. 그림에서는 나타내지 않았지만 두 번째 띠는 $k-E$ 그래프가 위로 볼록하다. 이 경우 군속도와 유효질량이 대체로 반전된 것으로 볼 수 있다. 단 볼록한 정도가 첫째 띠의 오목한 정도보다 더 크므로 반전된 크기도 더 클 것으로 예상할 수 있다.

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