에너지 띠 이론

블로흐 함수 $u(x)$가 주기 $a$인 주기함수이므로 다음과 같이 푸리에 급수로 나타낼 수 있다. \[ u_k(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f_n e^{ik_n x}. \] 이는 임의의 주기함수가 단위파수 $\frac{2\pi}{a}$의 정수 배를 파수로 하는 평면파의 합으로 표현된다는 것으로 \[ k_n = \frac{2n\pi}{a} \] 이다. 또한 퍼텐셜 함수도 같은 주기의 주기함수이므로 \[ U(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} G_n e^{ik_n x} \] 로 파동함수와 같은 형태로 표현된다. 따라서 파동함수와 퍼텐셜은 각각 $\{\cdots, f_{-1}, f_{0}, f_1, \cdots \}$과 $\{\cdots, G_{-1}, G_{0}, G_1, \cdots \}$으로 완벽하게 묘사된다. 이제 (시간에 무관한) 슈뢰딩거 방정식은 이들 계수들의 관계식으로 구성할 수 있다. 우선 파동함수를 다시 쓰면, \[ \psi(x) = e^{ikx} u_k(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f_n e^{i(k_n + k) x} \] 이다. 여기서 $\psi(x)$는 특정한 $k$ 값에 대한 것이다. 이를 $x$에 대해 두 번 미분한 \[ \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = \sum_{n} [-(k_n+k)^2] f_n e^{i(k_n + k) x} \] 을 이용해서 슈뢰딩거방정식을 다시 쓰면, \[ \sum_{n} \left[\frac{\hbar^2 (k_n+k)^2}{2m} - E_k \right] f_n e^{i(k_n + k) x} + \sum_{n} \sum_{n'} G_{n'} f_n e^{i(k_n + k_{n'} + k) x} = 0. \] 이다. 이를 정리하면 $k$-공간에서의 관계로 다음과 같이 표현된다. \[ \sum_{n}\left\{\left[\frac{\hbar^2 (k_n+k)^2}{2m}-E_k \right] f_n + \sum_{n'} G_{n-n'} f_{n'} \right\} e^{i(k_n + k) x} = 0. \] $\{ \cdots \}$의 내용이 모든 $n$에 대해서 0 이 되어야 이 방정식이 만족된다. 즉, \[ \begin{equation} \label{eq8} {\Large \boxed{ \left[\frac{\hbar^2 (k_n+k)^2}{2m} - E_k \right] f_n + \sum_{n'} G_{n-n'} f_{n'} = 0 } } \end{equation} \] 이다. 이 형식은 미분방정식인 슈뢰딩거 방정식이 대수방정식으로 달리 표현된 것으로 이로부터 모든 $G_n$이 주어졌을 때에 파동함수의 계수 $f_n$를 구할 수 있다. 그러나 이것은 크로니그-페니 모형에서처럼 동차연립방정식이므로 미지수 $f_n$의 계수로 이루어진 행렬식이 0 이 되어야 해가 존재한다. 이러한 요구는 다시 $E_k$에 대한 방정식으로 되는 데 이의 근이 바로 에너지 고윳값이다.

\eqref{eq8} 식은 모든 $n$에 대한 것으로 무한한 식이어서 행렬식 역시 무한 개의 차수를 가지기 때문에 적절한 영역에서 잘라야 계산이 가능해진다. 실제의 물리적인 상황에서는 퍼텐셜의 계수가 제한되는 데다가 또한 낮은 에너지의 상태에서는 파동함수 역시 제한된 차수의 영역에 있으므로 이들 식을 유한하게 잘라서 풀이하게 된다. 이처럼 파수공간, 즉 운동량공간에서의 풀이법은 퍼텐셜이 계단형이 아닌 임의의 유형에서도 쉽게 적용가능할 뿐만 아니라 2차원, 3차원에 대해 체계적으로 이론을 확장할 수 있다.

파동함수의 푸리에 계수의 관찰

아래 그림은 크로니그-페니 모형의 풀이 결과를 다시 보여준다. 여기서 $k$ 공간에서의 파동함수를 막대그래프로 나타내고 있어서 운동량공간에서의 해석의 의미를 알아볼 수 있다.

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크로니그-페니 모형의 운동량공간 표현_ 원형 고리에 주기적인 퍼텐셜이 주어졌을 때의 양자상태를 다양하게 보여준다. 화면 이래의 막대 그래프는 위로부터 각각 퍼텐셜과 파동함수의 푸리에 계수를 나타낸다.

프로그램 설명

1. 앞서의 '크로니그-페니 모형의 양자상태'의 상황과 마찬가지이나 추가로 화면 아래에 퍼텐셜과 파동함수의 푸리에 계수를 막대그래프로 나타내고 있다.

2. 복소수의 푸리에 계수를 나타내기 위해서 그 위상을 HSV 색모형으로 채색하고 있다. 그리고 막대그래프의 길이는 복소수의 크기를 적절한 축척으로 나타내고 있다.

3. 'energy order' 슬라이더로 에너지 고윳값을 순서를 선택하는 데 이는 푸리에 급수전개의 차수를 나타내는 $n$과는 무관하다.

4. 퍼텐셜은 실수함수이므로 $G_n$과 $G_{-n}$은 서로 켤레이고 이들의 기여를 합하면 '푸리에 급수'에서와 같이 cos과 sin 함수로 나타날 것이다. 따라서 퍼텐셜의 푸리에 계수는 중앙의 원점을 중심으로 서로 대칭점의 막대의 길이는 같으며, 위상을 나타내는 색채는 실수축에 대한 대칭의 색으로 입혀져 있는 것을 확인할 수 있다.

5. 'run'으로 시간을 경과시키면 파동함수는 에너지 고윳값에 따라 복소평면에서 회전한다. 따라서 파동함수의 푸리에 계수의 색채가 색상표에서 반시계방향으로 회전하는 것을 볼 수 있다.

6. 푸리에 계수의 그래프에서 파수를 가로축으로 나타내고 있으며, 여기서 붉은 표식의 간격은 $\frac{2\pi}{a}$이다. 한편 그 사이의 미세한 눈금은 이를 격자수 $N$으로 다시 나눈 것으로 이는 결정운동량 $k$이 $\frac{2\pi}{Na}$를 단위로 하는 것을 반영한 것이다. 이때 'k mode' 슬라이더로 $l$값을 변화시켜서 다른 상태를 선택한다. 그래프의 맨 아래의 ▲ 표식은 선택된 $k$의 위치를 나타낸다.

7. 'copy data' 버튼을 누르면 선택된 조건에서의 파동함수의 푸리에 계수 등 전체 데이터를 클립보드에 복사한다.

[질문1] 파동함수의 푸리에 계수가 $\frac{2\pi}{Na}$를 단위로 하고 있지만 $\frac{2\pi}{a}$를 단위로 띄엄띄엄하게 주어지는 이유는 무엇인가?

[질문2] $U_0$를 거의 0 으로 줄이면 파동함수의 푸리에 계수가 하나 외에는 줄어들어서 $U_0=0$ 인 경우에는 단 하나만 나타날 것을 예상할 수 있을 것이다. 이 이유를 설명하라.

[질문3] 'k mode' 슬라이더로 $n$값을 변경하면 동일한 파동함수가 반복해서 나타난다. 왜 그런가?