¾çÀÚÅë°èÀÇ ÀÀ¿ë


°íüÀÇ ºñ¿­

°íü ³»ºÎÀÇ °ÝÀÚÁøµ¿ÀÌ ºñ¿­À» °áÁ¤ÇÑ´Ù.

°íü´Â À̸¦ Çü¼ºÇÏ´Â ¿øÀÚµéÀÌ °íÁ¤µÈ À§Ä¡¸¦ Â÷ÁöÇÏ¿© ±× ÇüÅ°¡ À¯ÁöµÇ´Â °ÍÀÌ´Ù. ¿øÀÚ³¢¸®ÀÇ °áÇÕ·ÂÀº °øÀ¯°áÇÕ, À̿°áÇÕ µî ´Ù¾çÇÑ ÇüÅ°¡ ÀÖÁö¸¸ À̵éÀº ¸¶Ä¡ ¿ë¼öö¿¡ ÀÇÇØ ÀÔüÀûÀ¸·Î ¿¬°áµÈ °ÍÀ¸·Î »ý°¢ÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù.

µû¶ó¼­ $N$°³ÀÇ ¿øÀÚ´Â °¢°¢ÀÌ 3Â÷¿øÀ¸·Î Áøµ¿ÇÒ ¼ö ÀÖÀ¸¹Ç·Î °íÀüÀûÀ¸·Î »ý°¢ÇÑ´Ù¸é À̵éÀÌ $3N$ÀÇ ÀÚÀ¯µµ¸¦ °¡Áö´Â °ÍÀ¸·Î º¼ ¼ö ÀÖ´Ù. 1Â÷¿ø¿¡ ´ëÇؼ­´Â '¿¬°áµÈ Áøµ¿ÀÚÀÇ °­Á¦Áøµ¿ ¸ðÀǽÇÇè'¿¡¼­ ÀÔÀÚ°¡ 10°³±îÁö ¿ë¼öö·Î ¿¬°áµÈ °èÀÇ °íÀ¯Áøµ¿À» °ø¸í»óŸ¦ Á¶»çÇÏ´Â °ÍÀ¸·Î À̸¦ È®ÀÎÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù.

ÇÑ °íÀ¯Áøµ¿ÀÇ Æò±Õ¿¡³ÊÁö´Â ¿¡³ÊÁö µîºÐ¹è¹ýÄ¢¿¡ ÀÇÇØ ¸ðµÎ $kT$À¸·Î ÁÖ¾îÁö¹Ç·Î ÀüüÀÇ ¿¡³ÊÁö´Â \[ E = 3 N kT \] ÀÌ´Ù. (ÀÌ¿¡ ´ëÇؼ­´Â '¿¡³ÊÁö µîºÐ¹è¹ýÄ¢ÀÇ Áõ¸í' ´Ü¿øÀ» Âü°íÇ϶ó)

µû¶ó¼­ 1 ¸ô´ç ºñ¿­Àº \[ c_v = \frac{dE}{dT} \Bigg|_{N_A} = 3 N_A k = \ 3R = 24.9~\mathrm{J/mol \cdot K} = 5.97~ \mathrm{cal/mol \cdot K} \] ÀÌ´Ù. ¿©±â¼­ $N_A$´Â ¾Æº¸°¡µå·Î ¼öÀÌ°í, $R$Àº ±âü»ó¼öÀÌ´Ù.

ÀÌ °á°ú´Â °íüÀÇ Á¾·ù¿¡ »ó°ü¾øÀÌ º¸ÆíÀûÀ¸·Î ¼º¸³ÇÏ´Â °ÍÀ¸·Î µÜ·Õ-ÇÁƼ ¹ýÄ¢(Dulong-Petit law)¶ó ÇÑ´Ù. ÇÏÁö¸¸ ¿Âµµ°¡ ³·¾ÆÁö´Â °æ¿ì¿¡ ½ÇÁ¦ÀÇ °íü´Â ÀÌ ¹ýÄ¢¿¡¼­ ¹þ¾î³ª±â ¶§¹®¿¡ ¾çÀÚÅë°è¸¦ Àû¿ëÇÒ ÇÊ¿ä°¡ »ý°å´Ù.

¾ÆÀν´Å¸ÀÎÀÇ ºñ¿­ÀÌ·Ð - ´ÜÀÏÇÑ °íÀ¯Áøµ¿¼ö¸¦ °¡Áø ÁýÇÕÀ¸·Î º¸¾Ò´Ù.

1907³â ¾ÆÀν´Å¸ÀÎÀº °íÀü·ÐÀÇ ¿¡³ÊÁö µîºÐ¹è¹ýÄ¢À» ¾çÀÚÅë°è¿¡ ÀÔ°¢Çؼ­ ´ÙÀ½°ú °°ÀÌ ¼öÁ¤ÇÏ¿´´Ù. Áï, $3N$°³ÀÇ °¢°¢ÀÇ Áøµ¿ÀÚ´Â $kT$ÀÇ Æò±Õ¿¡³ÊÁö¸¦ °¡ÁöÁö ¾Ê°í º¸½º-¾ÆÀν´Å¸ÀÎÀÇ Åë°è¿¡ µû¶ó \[ \bar{\varepsilon} = \hbar \omega f(\omega) = \frac{\hbar \omega}{e^{\hbar \omega / kT} -1} \] ÀÌ´Ù. (¹°·Ð ±× ´ç½Ã º¸½º-¾ÆÀν´Å¸ÀÎÀÇ Åë°è°¡ ³ª¿Â °ÍÀº ¾Æ´Ï°í, ±¤ÀÚÀÇ Åë°è $f_{photon}$¸¦ Àû¿ëÇÏ¿´´Ù)



[Áú¹®1] ¾ÆÀν´Å¸ÀÎÀÇ ÀÌ·ÐÀ¸·Î $N$°³ÀÇ ÀÔÀÚ·Î ±¸¼ºµÈ °íüÀÇ
(a) Àüü ¿¡³ÊÁö°¡ \[ E=3RT \frac{\hbar \omega}{e^{\hbar \omega / kT} -1} \] ÀÓÀ» º¸ÀÌ°í,
(b) ¶ÇÇÑ ¸ô´ç ºñ¿­ÀÌ \[ c_v = 3R \left[\frac{e^{\hbar \omega / kT}} {(e^{\hbar \omega / kT} -1)^2} \left(\frac{\hbar \omega}{kT}\right)^2\right] \] ÀÓÀ» º¸¿©¶ó.
(c) °í¿ÂÀÇ ±ØÇÑ¿¡¼­ ÀÌ°ÍÀÌ µÜ·Õ-ÇÁƼ ¹ýÄ¢À¸·Î µÇ´Â °ÍÀ» º¸¿©¶ó.
(d) $T~\rightarrow~0$ÀÇ ±ØÇÑ¿¡¼­ $c_v$°¡ 0À¸·Î µÇ´Â °ÍÀ» ¹àÈ÷°í, Àú¿Â ¿µ¿ª¿¡¼­ $c_v$°¡ $e^{\hbar \omega / kT}$ÀÇ ÇüÅ·Π¿Âµµ¿¡ ÀÇÁ¸ÇÏ´Â °ÍÀ» º¸¿©¶ó. (ÀÌ´Â ½ÇÁ¦ÀÇ °íüÀÇ ºñ¿­°ú ¾î±ß³­´Ù)


_ ¿¬°áµÈ Áøµ¿ÀÚÀÇ °­Á¦Áøµ¿ ¸ðÀǽÇÇè_ ¿¡³ÊÁö µîºÐ¹è¹ýÄ¢ÀÇ Áõ¸í_ ¾Æº¸°¡µå·Î ¼ö_ ¾ÆÀν´Å¸ÀÎ_ ±âü»ó¼ö_ À̿°áÇÕ_ °øÀ¯°áÇÕ_ ¾çÀÚÅë°è_ °íü_ ¿Âµµ_ º¸½º_ °ø¸í

µ¥¹ÙÀÌÀÇ ºñ¿­ÀÌ·Ð

°íü°¡ ÃÑüÀûÀ¸·Î ¾î¿ì·¯Á® ¿©·¯ °íÀ¯Áøµ¿ ¸ðµå°¡ Á¸ÀçÇÑ´Ù.

°íü ºñ¿­¿¡ ´ëÇÑ ¾ÆÀν´Å¸ÀÎÀÇ À̷еµ ³·Àº ¿Âµµ¿¡¼­ Ʋ¸° °æ¿ì°¡ ¸¹¾Æ¼­ À̸¦ µ¥¹ÙÀÌ(P. Debye)°¡ ´Ù½Ã ¼öÁ¤ÇÏ¿´´Ù. µ¥¹ÙÀÌ´Â °íü¿¡ Á¸ÀçÇÏ´Â Áøµ¿ÀÚ°¡ °¢ ¿øÀÚ °³º°ÀûÀ¸·Î Áøµ¿ÇÏ´Â °ÍÀÌ ¾Æ´Ï¶ó Àüü °íü µ¢¾î¸®¿¡ °ÉÃļ­ ¿©·¯ °íÀ¯Áøµ¿¸ðµå·Î Áøµ¿ÇÑ´Ù´Â °ÍÀ» »ý°¢ÇÏ¿´´Ù. °íÀ¯Áøµ¿Àº ¿øÀÚ°£ÀÇ °Å¸®º¸´Ù ÆÄÀåÀÌ ´õ ª¾ÆÁú ¼ö ¾ø±â ¶§¹®¿¡ Áøµ¿¼öÀÇ »óÇÑÀÌ ÀÖÀ¸¸ç, ÀÌ »óÇÑÀº °¡´ÉÇÑ ¸ðµç Áøµ¿¸ðµå¼ö°¡ $3N$À̶ó´Â °ÍÀ¸·Î °áÁ¤µÈ´Ù.

ani

¾ÆÀν´Å¸Àΰú µ¥¹ÙÀÌÀÇ °íü_¾ÆÀν´Å¸ÀÎÀº °íü¸¦ $N$°³ÀÇ ´ÜÀÏ Áøµ¿ÀÚ°¡ $\omega$ÀÇ Áøµ¿¼ö·Î Áøµ¿ÇÏ´Â ¸ðÇüÀ» Á¦¾ÈÇÏ¿© °íüÀÇ ºñ¿­À» ±×·±´ë·Î Àß ¸ÂÃèÀ¸³ª ³·Àº ¿Âµµ¿¡¼­ ¹®Á¦Á¡ÀÌ ³ªÅ¸³µ´Ù. µ¥¹ÙÀÌ´Â °íüÀÇ Áøµ¿ÀÚ°¡ ÀÔüÀûÀ¸·Î ¿¬°áµÇ¾î ¿©·¯ °íÀ¯Áøµ¿¸ðµå·Î Áøµ¿ÇÏ´Â ¼öÁ¤µÈ ¸ðÇüÀ¸·Î ºñ¿­À» Àß ¼³¸íÇÒ ¼ö ÀÖ¾ú´Ù.

¾Õ¼­ 3Â÷¿ø »óÀÚ¼ÓÀÇ Á¤»óÆÄÀÇ »óÅ¹еµ¸¦ °è»êÇÏ¿´°í À̸¦ ºûÀÇ °æ¿ì¿¡ Àû¿ë½ÃÄ×´Ù. °íüÀÇ Áøµ¿Àº ºûÀÇ °æ¿ì¿Í ´Þ¸® Æĵ¿ÀÇ ¸ðµå¼ö°¡ Á¾ÆıîÁö Æ÷ÇÔÇÒ ¼ö ÀÖÀ¸¹Ç·Î °á°ú¸¦ 3¹è ÇØ¾ß ÇÑ´Ù. µû¶ó¼­ \[ g(\omega) d\omega = \frac{3V}{2\pi^2 v^3} \omega^2 d\omega \] ÀÌ´Ù. °ÝÀÚÀÇ Áøµ¿¿¡ ÀÇÇÑ Æĵ¿ÀÌ ¹Ù·Î °íü¿¡¼­ÀÇ À½Æķμ­ À̸¦ Æ÷³í(phonon)À̶ó ºÎ¸¥´Ù. ÀÌ À½ÆÄÀÇ ¼Óµµ´Â ÀÏÁ¤ÇÑ °ªÀ¸·Î¼­ ½Ä¿¡¼­ $v$À¸·Î Ç¥±âÇÏ¿´´Ù. ¶ÇÇÑ ½Ä¿¡¼­ $V$´Â °íüÀÇ Ã¼ÀûÀÌ´Ù.

½ÇÁ¦ Áøµ¿ÀÚÀÇ ¼ö°¡ À¯ÇÑÇϹǷΠ°¡´ÉÇÑ ¸ðµå¼ö´Â »óÇÑÀÌ ÀÖ´Ù. Áï $N$°³ÀÇ Áøµ¿ÀÚ°¡ ÀÖÀ» ¶§ »óÇѱîÁöÀÇ Áøµ¿ ¸ðµå¼ö´Â $3N$°¡ µÇ¾î¾ß ÇϹǷΠ\[ \int_{0}^{\omega_m} g(\omega) d\omega = 3N \] µû¶ó¼­ »óÇÑ Áøµ¿¼ö $\omega_m$Àº \[ \omega_m^3 = 6\pi^2 v^3 \frac{N}{V} \]

ÇÑÆí °¢ Áøµ¿ ¸ðµåÀÇ Æò±Õ¿¡³ÊÁö´Â ¾Õ¼­ ¾ÆÀν´Å¸Àο¡¼­ $\bar{\varepsilon}$¿Í °°ÀÌ µÑ ¼ö ÀÖÀ¸¹Ç·Î °èÀÇ Àüü¿¡³ÊÁö´Â \[ E = \int_{0}^{\omega_m} g(\omega) \bar{\varepsilon} d\omega = \frac{3V\hbar}{2\pi^2 v^3} \int_{0}^{\omega_m} \frac{ \omega^3}{e^{\hbar \omega / kT} -1} d\omega \] ÀÌ´Ù. ÀûºÐÀº °íüÀÇ ³»ºÎ¿¡³ÊÁö°¡ ¿Âµµ¿¡ ÀÇÁ¸ÇÏ´Â ÇüÀÓÀ» º¸ÀÌ´Â µ¥ À̸¦ ¿Âµµ¿¡ ´ëÇØ ¹ÌºÐÇÏ¸é ºñ¿­ÀÌ °è»êµÉ °ÍÀÌ´Ù. ÀûºÐÀ» Á»´õ Á¤¸®Çϸé, \[ E = \frac{3Vk^4T^4}{2\pi^2v^3\hbar^3} \int_0^{x_m} \frac{x^3}{e^x - 1}dx \] ¿©±â¼­ \[ x = \hbar \omega /kT \] ÀÌ°í \[ x_m = \frac{\hbar \omega_m}{kT} = \frac{\Theta}{T} \] ÀÌ´Ù. $\Theta$´Â °íüÀÇ µ¥¹ÙÀÌ ¿Âµµ(Debye temperature)¶ó Çϸç, À̸¦ ´Ù½Ã Ç¥ÇöÇϸé, \[ \Theta = \frac{\hbar v}{k} \cdot \left( \frac{6\pi^2 N}{V} \right)^{1/3} \] µû¶ó¼­ \[ E = 9NkT \left( \frac{T}{\Theta} \right)^3 \int_0^{x_m} \frac{x^3}{e^x - 1}dx \]

ÀÌÁ¦ 1 ¸ô´ç ºñ¿­Àº À§ ½ÄÀ¸·ÎºÎÅÍ Á¤¸®Çϸé \[ \begin{equation} \label{debyeCv} c_V = 9N_A k \left( \frac{T}{\Theta} \right)^3 \int_0^{x_m} \frac{x^4 e^x}{(e^x - 1)^2}dx \end{equation} \] ÀÌ µÈ´Ù. ÀÌ °á°ú´Â ½ÇÁ¦ °íüÀÇ ºñ¿­À» ¸Å¿ì Á¤È®ÇÏ°Ô ¸ÂÃá´Ù. ´ÜÁö µ¥¹ÙÀÌ´Â °íüÀÇ Áøµ¿À» ¿¬¼Óü·Î º¸°í °è»êÇßÀ¸³ª ½ÇÁ¦ÀÇ °áÁ¤Àº °ÝÀÚ·Î µÇ¾î ÀÖÀ¸¹Ç·Î $\omega$°¡ Ŭ ¶§¿¡´Â ¸ðµå¼ö°¡ ¾Õ¼­ÀÇ $g(\omega)$ ½Ä¿¡¼­ Á¦¹ý ¹þ¾î³ª°Ô µÈ´Ù.



[Áú¹®1] \eqref{debyeCv} ½ÄÀº °í¿Â¿¡¼­ µÜ·Õ-ÇÁƼ ¹ýÄ¢À¸·Î ȯ¿øµÇ´Â °ÍÀ» °ËÁõÇ϶ó.

[Áú¹®2] \eqref{debyeCv} ½ÄÀ¸·ÎºÎÅÍ $T~\rightarrow~0$ÀÇ ¿µ¿ª¿¡¼­ÀÇ ºñ¿­ÀÌ $T^3$¿¡ ºñ·ÊÇÏ´Â °ÍÀ» º¸ÀÌ°í ÀÌÀÇ Á¤È®ÇÑ °ü°è¸¦ ¹àÇô¶ó. ÀÌ°ÍÀÌ µ¥¹ÙÀÌÀÇ T 3½Â ¹ýÄ¢(Debye T3 raw)ÀÌ´Ù.


_ °áÁ¤_ À½ÆÄÀÇ ¼Óµµ_ ³»ºÎ¿¡³ÊÁö_ ¾ÆÀν´Å¸ÀÎ_ Áøµ¿ÀÚ_ Á¤»óÆÄ_ Áøµ¿¼ö_ °íü_ °ÝÀÚ_ ¿Âµµ_ Á¾ÆÄ_ Æĵ¿



Copyright ¨Ï 1999~ physica.gnu.ac.kr All rights reserved