°íü°¡ ÃÑüÀûÀ¸·Î ¾î¿ì·¯Á® ¿©·¯ °íÀ¯Áøµ¿ ¸ðµå°¡ Á¸ÀçÇÑ´Ù.
°íü ºñ¿¿¡ ´ëÇÑ ¾ÆÀν´Å¸ÀÎÀÇ À̷еµ ³·Àº ¿Âµµ¿¡¼ Ʋ¸° °æ¿ì°¡ ¸¹¾Æ¼ À̸¦ µ¥¹ÙÀÌ(P. Debye)°¡ ´Ù½Ã ¼öÁ¤ÇÏ¿´´Ù. µ¥¹ÙÀÌ´Â °íü¿¡ Á¸ÀçÇÏ´Â Áøµ¿ÀÚ°¡ °¢ ¿øÀÚ °³º°ÀûÀ¸·Î Áøµ¿ÇÏ´Â °ÍÀÌ ¾Æ´Ï¶ó Àüü °íü µ¢¾î¸®¿¡ °ÉÃļ ¿©·¯ °íÀ¯Áøµ¿¸ðµå·Î Áøµ¿ÇÑ´Ù´Â °ÍÀ» »ý°¢ÇÏ¿´´Ù. °íÀ¯Áøµ¿Àº ¿øÀÚ°£ÀÇ °Å¸®º¸´Ù ÆÄÀåÀÌ ´õ ª¾ÆÁú ¼ö ¾ø±â ¶§¹®¿¡ Áøµ¿¼öÀÇ »óÇÑÀÌ ÀÖÀ¸¸ç, ÀÌ »óÇÑÀº °¡´ÉÇÑ ¸ðµç Áøµ¿¸ðµå¼ö°¡ $3N$À̶ó´Â °ÍÀ¸·Î °áÁ¤µÈ´Ù.
ani |
|
¾ÆÀν´Å¸Àΰú µ¥¹ÙÀÌÀÇ °íü_¾ÆÀν´Å¸ÀÎÀº °íü¸¦ $N$°³ÀÇ ´ÜÀÏ Áøµ¿ÀÚ°¡ $\omega$ÀÇ Áøµ¿¼ö·Î Áøµ¿ÇÏ´Â ¸ðÇüÀ» Á¦¾ÈÇÏ¿© °íüÀÇ ºñ¿À» ±×·±´ë·Î Àß ¸ÂÃèÀ¸³ª ³·Àº ¿Âµµ¿¡¼ ¹®Á¦Á¡ÀÌ ³ªÅ¸³µ´Ù. µ¥¹ÙÀÌ´Â °íüÀÇ Áøµ¿ÀÚ°¡ ÀÔüÀûÀ¸·Î ¿¬°áµÇ¾î ¿©·¯ °íÀ¯Áøµ¿¸ðµå·Î Áøµ¿ÇÏ´Â ¼öÁ¤µÈ ¸ðÇüÀ¸·Î ºñ¿À» Àß ¼³¸íÇÒ ¼ö ÀÖ¾ú´Ù.
|
¾Õ¼ 3Â÷¿ø »óÀÚ¼ÓÀÇ Á¤»óÆÄÀÇ »óÅ¹еµ¸¦ °è»êÇÏ¿´°í À̸¦ ºûÀÇ °æ¿ì¿¡ Àû¿ë½ÃÄ×´Ù. °íüÀÇ Áøµ¿Àº ºûÀÇ °æ¿ì¿Í ´Þ¸® Æĵ¿ÀÇ ¸ðµå¼ö°¡ Á¾ÆıîÁö Æ÷ÇÔÇÒ ¼ö ÀÖÀ¸¹Ç·Î °á°ú¸¦ 3¹è ÇØ¾ß ÇÑ´Ù. µû¶ó¼ \[ g(\omega) d\omega = \frac{3V}{2\pi^2 v^3} \omega^2 d\omega \] ÀÌ´Ù. °ÝÀÚÀÇ Áøµ¿¿¡ ÀÇÇÑ Æĵ¿ÀÌ ¹Ù·Î °íü¿¡¼ÀÇ À½Æķμ À̸¦ Æ÷³í(phonon)À̶ó ºÎ¸¥´Ù. ÀÌ À½ÆÄÀÇ ¼Óµµ´Â ÀÏÁ¤ÇÑ °ªÀ¸·Î¼ ½Ä¿¡¼ $v$À¸·Î Ç¥±âÇÏ¿´´Ù. ¶ÇÇÑ ½Ä¿¡¼ $V$´Â °íüÀÇ Ã¼ÀûÀÌ´Ù.
½ÇÁ¦ Áøµ¿ÀÚÀÇ ¼ö°¡ À¯ÇÑÇϹǷΠ°¡´ÉÇÑ ¸ðµå¼ö´Â »óÇÑÀÌ ÀÖ´Ù. Áï $N$°³ÀÇ Áøµ¿ÀÚ°¡ ÀÖÀ» ¶§ »óÇѱîÁöÀÇ Áøµ¿ ¸ðµå¼ö´Â $3N$°¡ µÇ¾î¾ß ÇϹǷΠ\[ \int_{0}^{\omega_m} g(\omega) d\omega = 3N \] µû¶ó¼ »óÇÑ Áøµ¿¼ö $\omega_m$Àº \[ \omega_m^3 = 6\pi^2 v^3 \frac{N}{V} \]
ÇÑÆí °¢ Áøµ¿ ¸ðµåÀÇ Æò±Õ¿¡³ÊÁö´Â ¾Õ¼ ¾ÆÀν´Å¸Àο¡¼ $\bar{\varepsilon}$¿Í °°ÀÌ µÑ ¼ö ÀÖÀ¸¹Ç·Î °èÀÇ Àüü¿¡³ÊÁö´Â \[ E = \int_{0}^{\omega_m} g(\omega) \bar{\varepsilon} d\omega = \frac{3V\hbar}{2\pi^2 v^3} \int_{0}^{\omega_m} \frac{ \omega^3}{e^{\hbar \omega / kT} -1} d\omega \] ÀÌ´Ù. ÀûºÐÀº °íüÀÇ ³»ºÎ¿¡³ÊÁö°¡ ¿Âµµ¿¡ ÀÇÁ¸ÇÏ´Â ÇüÀÓÀ» º¸ÀÌ´Â µ¥ À̸¦ ¿Âµµ¿¡ ´ëÇØ ¹ÌºÐÇÏ¸é ºñ¿ÀÌ °è»êµÉ °ÍÀÌ´Ù. ÀûºÐÀ» Á»´õ Á¤¸®Çϸé, \[ E = \frac{3Vk^4T^4}{2\pi^2v^3\hbar^3} \int_0^{x_m} \frac{x^3}{e^x - 1}dx \] ¿©±â¼ \[ x = \hbar \omega /kT \] ÀÌ°í \[ x_m = \frac{\hbar \omega_m}{kT} = \frac{\Theta}{T} \] ÀÌ´Ù. $\Theta$´Â °íüÀÇ µ¥¹ÙÀÌ ¿Âµµ(Debye temperature)¶ó Çϸç, À̸¦ ´Ù½Ã Ç¥ÇöÇϸé, \[ \Theta = \frac{\hbar v}{k} \cdot \left( \frac{6\pi^2 N}{V} \right)^{1/3} \] µû¶ó¼ \[ E = 9NkT \left( \frac{T}{\Theta} \right)^3 \int_0^{x_m} \frac{x^3}{e^x - 1}dx \]
ÀÌÁ¦ 1 ¸ô´ç ºñ¿Àº À§ ½ÄÀ¸·ÎºÎÅÍ Á¤¸®Çϸé \[ \begin{equation} \label{debyeCv} c_V = 9N_A k \left( \frac{T}{\Theta} \right)^3 \int_0^{x_m} \frac{x^4 e^x}{(e^x - 1)^2}dx \end{equation} \] ÀÌ µÈ´Ù. ÀÌ °á°ú´Â ½ÇÁ¦ °íüÀÇ ºñ¿À» ¸Å¿ì Á¤È®ÇÏ°Ô ¸ÂÃá´Ù. ´ÜÁö µ¥¹ÙÀÌ´Â °íüÀÇ Áøµ¿À» ¿¬¼Óü·Î º¸°í °è»êÇßÀ¸³ª ½ÇÁ¦ÀÇ °áÁ¤Àº °ÝÀÚ·Î µÇ¾î ÀÖÀ¸¹Ç·Î $\omega$°¡ Ŭ ¶§¿¡´Â ¸ðµå¼ö°¡ ¾Õ¼ÀÇ $g(\omega)$ ½Ä¿¡¼ Á¦¹ý ¹þ¾î³ª°Ô µÈ´Ù.
[Áú¹®1]
\eqref{debyeCv} ½ÄÀº °í¿Â¿¡¼ µÜ·Õ-ÇÁƼ ¹ýÄ¢À¸·Î ȯ¿øµÇ´Â °ÍÀ» °ËÁõÇ϶ó.
[Áú¹®2]
\eqref{debyeCv} ½ÄÀ¸·ÎºÎÅÍ $T~\rightarrow~0$ÀÇ ¿µ¿ª¿¡¼ÀÇ ºñ¿ÀÌ $T^3$¿¡ ºñ·ÊÇÏ´Â °ÍÀ» º¸ÀÌ°í ÀÌÀÇ Á¤È®ÇÑ °ü°è¸¦ ¹àÇô¶ó. ÀÌ°ÍÀÌ µ¥¹ÙÀÌÀÇ T 3½Â ¹ýÄ¢(Debye T3 raw)ÀÌ´Ù.
_ °áÁ¤_ À½ÆÄÀÇ ¼Óµµ_ ³»ºÎ¿¡³ÊÁö_ ¾ÆÀν´Å¸ÀÎ_ Áøµ¿ÀÚ_ Á¤»óÆÄ_ Áøµ¿¼ö_ °íü_ °ÝÀÚ_ ¿Âµµ_ Á¾ÆÄ_ Æĵ¿
|