양자통계의 응용

흑체복사의 해석

광자는 보손으로 보스-아인슈타인 분포함수를 따른다. 그러나 '양자 분포함수'에서 설명한대로 광자는 개수가 유지될 필요가 없기 때문에 분포함수에서의 $\alpha=0$이고, 따라서 다음의 분포함수를 따른다. $$f_{photon}(\varepsilon) = \frac{1}{e^{\varepsilon/kT}-1}$$ 이 분포함수는 온도 $T$로 유지되는 계에서 $\varepsilon$의 에너지를 가진 상태에 놓인 광자의 평균 개수를 말한다.

한편 광자의 에너지는 $$\varepsilon = \hbar \omega$$ 와 같이 $\omega$에 관련되어 있다. 따라서 $\omega$인 모드에 놓인 광자의 평균에너지는 다음과 같이 광자의 평균 개수에 하나의 에너지 $\hbar \omega$를 곱하면 된다. $$\bar{E} = \frac{\hbar \omega}{e^{\hbar \omega/kT}-1}$$

이는 레일리와 진스가 흑체복사를 설명하기 위해 에너지 등분배법칙으로 제안하였던 $\bar{E}= kT$와 다른 결과로서 1900년 플랑크가 처음으로 제안하였다.

이제 주어진 열적인 계가 가질 수 있는 양자상태를 나열해서 각 상태에 $\bar{E}$를 부여하면 전체 에너지를 파악할 수 있다. 일반적으로 상태밀도는 계가 놓인 체적에 비례하여 단위 체적당 상태밀도를 도입하는 것이 효과적이다. ('공동 속의 전자기파'에서 다루었고, 거기서는 모드밀도라 하였다) 이는 $$G(\omega)d\omega = \frac{\omega^2 d\omega}{\pi^2 c^3}$$ 따라서 단위 체적당 $\omega \sim \omega + d\omega$의 광자의 에너지는 $$\rho (\omega ) d\omega = \frac{\omega^2 }{ \pi^2 c^3} \frac{\hbar \omega}{e^{\hbar \omega/ kT}-1} d\omega$$ 이다. 혹은 이를 단위 체적당 $\nu \sim \nu + d\nu$의 광자의 에너지로 표현을 바꾸면 $$\rho (\nu ) d\nu = \frac{8\pi h}{c^3}\frac{\nu^3}{\exp(h\nu/kT)-1} d\nu$$ 와 같다. 여기서 $\hbar$ 대신에 $h$를 썼다. 어떤 온도 $T$로 유지되는 공동내에 깃들게 되는 광자의 에너지 분포가 이와 같다는 것이 플랑크가 발견하였던 흑체복사 법칙이다.

실제 빛에서 측정되는 파동의 요소는 (각)진동수가 아니라 파장이다. 이는 빛의 진동수가 ~10¹⁴Hz 이상으로 매우 높아 어떤 측정장치도 이를 따라갈 수 없기 때문이다. 그러나 파장은 간섭, 회절과 분산을 이용하여 직접적으로나 간접적으로 측정되어 위 식을 파장에 대한 관계로 바꾸는 것이 유용하다. $$\omega = 2\pi \nu = \frac{2\pi c}{\lambda}$$ 의 관계를 이용하면, $$\rho(\lambda) d\lambda = \frac{8\pi h c}{\lambda^5} \frac{d\lambda}{e^{hc/\lambda kT}-1}$$ 이다. 여기서도 $\hbar$ 대신에 $h$를 썼는 데 이는 플랑크 법칙의 원형이기도 하고 또한 통상적인 표현이기도 해서이다.

위에서 계산한 것은 단위체적의 공동 속에서 뛰노는 빛의 에너지이다. 실험에서는 이 값이 측정되는 것이 아니라 방출되어 측정기에 쏟아지는 빛의 밝기이다. 이를 정량화한 것이 흑체의 표면이나 공동의 구멍의 단위면적당, 단위시간당 방출되는 빛의 밝기로 정의하는 복사율(radiancy) ${\cal R}$이다. 복사율과 에너지밀도의 관계는 $${\cal R}(\lambda)d\lambda = \frac{c}{4} \rho(\lambda)d\lambda$$ 이다.

이제 복사율, 엄밀히 분광복사율(spectral radiancy)은 $${\cal R}(\lambda)d\lambda = \frac{2\pi h c^2}{\lambda^5} \frac{d\lambda}{e^{hc/\lambda kT}-1}.$$ 이다.

[질문1] 위에서 설명한 흑체 내부의 에너지 밀도와 복사율의 관계를 유도하라.

[질문2] 백열등은 흑체복사를 이용한 발광기구이다. 이는 진공의 용기 속에 텅스텐으로 만든 필라멘트에 전류를 흘려 열을 발생시켜 최종적으로 빛을 발생시킨다. 백열등 내부의 필라멘트는 텅스텐의 녹는점 이하인 약 3300 K로 가열되고 이 온도의 흑체복사에 가까운 빛을 낸다. 위 '흑체복사의 분광복사율' 그래프의 적분 데이터를 이용하여 백열등이 내는 빛의 전체 에너지 중에서 가시광선 영역의 비율(효율)이 얼마인지 구하라. 이때 가시광선을 400 ~ 700 nm로 하라. 만일 백열등이 태양의 표면온도인 5800 K 정도로 가열할 수 있다면 이의 효율은 얼마가 될까?

[질문3] 전체 복사량에 대한 가시광선의 복사비율로 백열등의 효율을 정의하자. '흑체복사의 분광복사율' 그래프를 이용하여 가장 효율이 높은 온도를 찾아보라. 50 K 단위로 온도를 변화시켜서 최적치를 찾을 수 있을 것이다.

[질문4] 고온의 물체가 내는 빛을 분석하여 물체의 온도를 잴 수 있다. 이를 복사온도계라 하는 데 이때 전체 복사율을 측정하는 것이 아니라 보통 1 ~ 2 개의 파장을 선택하거나 주어진 파장 영역에 대한 총 복사강도를 측정하게 된다. 1 개의 단색광만 이용하는 경우 이미 알려진 온도에서의 복사량과 비교하게 된다. 여기서 2000 K의 물체를 기준물체로, 파장을 500nm로 하는 온도계를 생각하자. 2000 K에 대한 복사량을 1 로 했을 때 측정하는 물체의 복사량에 대한 온도를 함수로 표현하라. 또한 위 '흑체복사의 분광복사율'의 그래프에서 데이터를 구해서 복사량-온도의 그래프를 그리고, 이를 이론적인 결과와 비교하라.

[질문5] 앞에서 설명한 복사온도계는 낮은 온도에서는 사용하기 곤란하다. 이유가 무엇일까?

_ 보스-아인슈타인 분포함수_ 공동 속의 전자기파_ 에너지 등분배법칙_ 양자 분포함수_ 흑체복사_ 가시광선_ 모드밀도_ 진동수_ 플랑크_ 레일리_ 회절_ 온도_ 간섭_ 전류_ 분산_ 보손_ 진스_ 파동

흑체복사의 법칙들

빈의 변위법칙

일상에서도 느낄 수 있듯이 물체가 내는 빛의 색은 온도가 올라갈수록 붉은색에서 푸른색으로 바뀐다. 이를 정교하게 나타낸 것이 빈의 변위법칙(Wien's displacement law)으로 다음 식으로 나타낸 것처럼 최고로 밝은 빛의 파장은 온도에 반비례한다. $$\lambda_{\mathrm{max}}T = \frac{hc}{4.965 k} = 2.897~773 \times 10^{-3} ~ \mathrm{m\cdot K}$$ 이다. 이는 다음처럼 분광복사율 함수의 극대치를 갖는 파장이 $\lambda_{\mathrm{max}}$이다. $$\frac{d{\cal R}(\lambda)}{d\lambda} \Bigg|_{\lambda_{\mathrm{max}}}= 0$$

슈테판-볼츠만 법칙

이제 흑체가 내는 총복사율을 계산해 보면, $${\cal R}_{\mathrm{total}} = \int_{0}^{\infty} {\cal R}(\lambda)d\lambda = \sigma T^4$$ 이다. 이는 총복사가 온도의 네제곱에 비례한다는 것으로 앞의 상수는 슈테판-볼츠만 상수(Stefan-Boltzmann constant) 다음과 같이 오직 자연 상수들로만 계산된다. $$\sigma = \frac{2\pi^5 k^4}{15c^2h^3} = 5.670~373 \times 10^{-8} ~ \mathrm{W/m^2 K^4}$$

[질문1] 태양의 빛이 지표상에 338 W/m²의 비율로 쏟아진다. 태양과 지구의 여러 물리량들을 동원하여 이를 확인하라. 만일 지표에 도착하는 모든 빛이 다시 우주공간으로 복사된다고 했을 때 지구는 몇 도인 흑체복사를 하는 것으로 볼 수 있을까?

[질문2] 어느 온도에서나 $0 \sim \lambda_{\mathrm{max}}$의 영역에서 방출되는 에너지는 전체 방출에너지의 약 25%이다. 여기서 '흑체복사의 분광복사율' 그래프의 적분 데이터에서 이를 확인하라.

[질문3] '흑체복사의 분광복사율' 그래프를 이용하여 빈의 변위법칙과 슈테판-볼츠만 법칙이 만족되는지 확인해 보라.

[질문4] 다음의 방정식의 수치해가 $x=4.965~114~231$이라는 것을 이용하여 빈의 변위법칙을 유도하라. $$\frac{xe^x}{e^x-1} - 5 = 0$$

[질문5] 핵폭탄이 폭발할 때 순간적으로 온도가 천만 도(10⁷K)에 이른다. 이의 $\lambda_{\mathrm{max}}$는 얼마인가? 또한 이때 만들어지는 불구덩이(fire ball)의 표면적이 10 m²라 하자. 이의 총복사는 같은 면적의 태양과 비교하여 얼마나 강할까? 또한 이러한 핵폭탄이 얼마나 멀리 떨어져서 폭발할 때 정오의 태양 빛의 밝기와 같이 느껴질까? (단순히 총복사량만 고려하라)

[질문6] 빈의 변위법칙은 때때로 광자의 에너지에 대해서 표시하기도 한다. 이 경우는 앞서의 분광복사율을 단위파장이 아니라 단위진동수로 고쳐서 표현하여 최댓값인 진동수를 구해서 다시 에너지로 환산해야 한다. 이러한 절차를 거쳐서 빈의 변위법칙이 다음과 같이 표현되는 것을 보여라. $$\varepsilon= 2.82 ~ kT$$

[질문7] 우주의 온도는 $2.725~K$로 알려져 있다. 빈의 변위볍칙을 이용해서 온도에서의 최대 복사의 파장을 구하라. 또한 앞 문제에서 제시된 수정된 변위법칙을 이용해서 최대 복사의 에너지와 이에 해당하는 진동수, 파장을 각각 구하라. (이를 우주의 배경복사라고 하며, 마이크로 파의 영역에 있다. 천체물리학에서의 배경복사의 측정은 주로 진동수에 대해서 행한다. 따라서 앞 문제의 수정된 변위법칙이 더 유용하다. 최대 복사의 파장과 최대 복사의 에너지에 대한 파장은 차이가 있다. 왜 그럴까?)

[질문8] 앞 질문에서 유도한 빈의 변위법칙에서 이를 파장으로 환산하면 앞서 본문에서의 변위법칙의 표현과 차이가 있는 것을 알 수 있다. 왜 그런지 설명하라. 이의 예로서 표면온도가 5800K의 태양 빛에서 최대 복사율의 파장을 단위파장과 단위진동수의 두 측면에서 각각 계산해 보라.

_ 슈테판-볼츠만 법칙_ 빈의 변위법칙_ 흑체복사_ 핵폭탄_ 진동수_ 온도