기체의 분자운동

이상기체

기체를 구성하는 분자나 원자는 다양하게 다른 형태를 하고 있으며 이들이 서로 반응하는 양상도 각기 다르다. 따라서 기체의 부피, 압력 등이 관련된 하나의 법칙을 세우기는 어렵다. 그러나 보통의 조건 아래에서 기체는 거의 비슷한 거동을 보이는 데 이에 대한 단순한 모형으로서 이상기체를 도입하였다.

이상기체를 구성하는 각각의 입자는 용기 내부를 운동하면서 때때로 용기의 벽을 때려서 바깥으로 밀어내는 힘을 받게 되고, 이것이 압력의 근원이 된다. 이상기체는 거의 부피를 점유하지 않고 또한 입자끼리의 인력이나 척력, 충돌도 거의 없어 상호작용이 매우 약하게 작용하는 가상적인 기체이다. 만일에 앞의 '이상기체 모형' 그림처럼 아무런 상호작용이 없다면 처음에 주어진 속도의 분포가 변하지 않을 것이다. 그러나 실제의 이상기체는 미약한 상호작용의 결과로 얼마간의 에너지를 서로 교환하게 되며, 그 입자의 수가 많으면 빠른 시간에 속도의 분포가 일정해지는 열적 평형을 이루게 된다.

기체의 압력

만일에 기체를 용기에 가두어 두지 않는다면 활발한 분자의 운동으로 인해서 얼마 후 기체는 모두 제멋대로의 방향으로 뿔뿔이 흩어져 버릴 것이다. 이를 기체의 확산이라 한다. 그러나 용기 속에 갇혀 있다면 기체의 분자는 끊임없이 용기의 벽에 충돌하여 되튈 것이고 이에 따라 용기의 벽은 바깥으로의 힘을 받을 것이다. 고무풍선처럼 탄력을 가지고 늘어나기 쉬운 용기에 들어 있다면 용기의 탄성력이 기체의 각 분자가 바깥으로 밀어내는 힘과 비기는 조건까지 부풀게 되거나 아니면 용기가 터져버릴 것이다.

이렇게 기체를 구성하는 분자가 벽이나 그 속에 있는 물체에 계속 충돌하여 가해지는 단위면적당의 힘을 압력이라 한다.

위 그림에서 볼 수 있는 것처럼 질량 $m$인 입자들이 $x$축으로의 길이가 $L$이고 $yz$면의 면적이 $A$인 직육면체 속에서 벽과 탄성충돌을 거듭하면서 돌아다니는 것을 생각하자. 상황을 단순하게 취급하기 위하여 입자들은 서로 충돌하지 않는 것을 가정한다. 그림에서 $x$축에 수직인 오른쪽 벽면에 작용하는 압력을 계산한다면, 입자의 $x$ 성분의 속도만 고려하면 된다. 이 입자가 벽에 충돌하여 되튀어 나갈때 y와 z성분의 운동량은 바뀌지 않고 x성분의 운동량이 반대가 된다. 따라서 1회의 충돌에서 입자의 운동량 변화량은 $$\Delta p_x = p_{\mathrm{final}}-p_{\mathrm{initial}} = (-mv_x)-(mv_x) = -2mv_x$$ 입자는 건너편 벽에서 되튀어 나와 다시 이 벽에 충돌할 것이고 이때 걸리는 시간은 $\Delta t = 2L/v_x$이다. 입자는 이 시간을 주기로 하여 벽을 거듭 충돌하여 바깥 방향으로 밀어내게 된다. 벽이 한 입자로부터 받는 힘을 평균하면 $$F_1 = \frac{-\Delta p_x}{\Delta t} = \frac{2mv_x}{2L/v_x} = \frac{mv_x^2}{L}.$$ 의 힘을 지속적으로 받는 것으로 생각할 수 있다. 실제의 기체처럼 이러한 입자가 아보가드로 수 정도로 많다면 끊임없이 입자가 충돌을 하므로 거의 일정한 힘이 작용하게 된다. 상자 속에 있는 입자가 $N$이면 이들이 벽에 작용하는 총 힘은, $$F = N \frac{m \overline{v_x^2}}{L}.$$

이들 입자의 속도의 크기는 특정한 분포로 넓게 퍼져 있으므로 $\overline{v_x^2}$처럼 모든 입자에 대한 평균값을 고려해야 한다. 한편 입자의 속도는 특정한 방향으로 치우친 경향성이 없으므로 $\overline{v_x^2}=\overline{v_y^2}=\overline{v_z^2}$ 으로 놓을 수 있다. (기체에서 분자의 속도가 특정한 방향으로 치우쳐 있으면 이는 바람처럼 기체가 전체적으로 이동하는 일종의 대류이고, 이는 열적인 현상이 아니다)

이에 따라 $$\overline{v^2}=\overline{v_x^2}+\overline{v_y^2}+\overline{v_z^2} = 3 \overline{v_x^2}$$ 여기서 계의 차원이 1차원이거나 2차원이라면 $\overline{v^2}=\overline{v_x^2}$거나 $\overline{v^2}=2\overline{v_x^2}$이라는 것을 알 수 있다.

그리고 단위면적당 작용하는 힘, 즉 압력은 $$P=\frac{F}{A} = N \frac{m \overline{v_x^2}}{AL} = \frac{1}{3} \frac{Nm \overline{v^2}}{V}$$ $$PV = N m \left( \frac{\overline{v^2}}{3} \right) = N \frac{2}{3} \left( \frac{1}{2} m \overline{v^2} \right) = N \frac{2}{3} \left( \overline{ \frac{1}{2} m v^2} \right) = N \frac{2}{3} \overline{K}$$ 여기서 $V$는 입자가 뛰놀고 있는 용기의 체적이다. $K$는 입자의 운동에너지이고, 따라서 $\overline{K}$는 평균운동에너지이다.

_ 아보가드로 수_ 탄성충돌_ 운동량_ 충격량_ 주기

온도

앞에서 이상기체의 운동론적인 접근을 통하여 기체방정식과 동일한 관계를 얻을 수 있었다. 따라서 이 둘을 비교해보면 열역학에서의 절대온도 $T$를 분자의 평균운동에너지와 다음과 같이 관련시킬 수 있게 된다. $$\frac{2}{3} \overline{K} = kT \quad \Rightarrow \quad \overline{K} = \frac{3}{2} kT$$ 즉 절대온도는 분자의 평균운동에너지와 비례하게 정의하여 비례상수를 아래와 같은 볼츠만 상수 $k$로 놓으면 이전에 열역학에서 조작적으로 정의하였던 온도와 일치하게 된다. $$k = 1.38 \times 10^{-23} ~\mathrm{J/K}$$ 이상기체의 관계식을 이 온도로 표현하면 다음과 같은 이상기체법칙이 유도된다. $$PV=NkT$$

[질문1] 우주의 빈 공간은 온도는 2.725 K 이고 수소분자가 희박하게 채워져 있다. 이의 평균속력$(\sqrt{\overline{v^2}})$은 얼마일까?

[질문2] 0°C, 1기압의 상태인 STP에서의 산소분자의 평균속력은 얼마일까? 대기중에서 아르곤은 원자상태로 존재한다. 이의 평균속력은 얼마인가?

_ 볼츠만 상수