기체의 분자운동

기체의 속도분포

분자나 원자 등 많은 입자가 모여 있는 기체의 경우에도 각 입자는 계속해서 충돌을 하게 된다 . 본질적으로 분자나 원자의 소립자들은 그 자체 내부에는 열적인 운동을 하는 것이 없어서 그들끼리의 충돌에서 열에너지로 역학적에너지를 잃어버리지 않는다. 따라서 이들은 탄성충돌을 하게 되며 충돌 결과로 각각의 입자들은 서로 간에 운동에너지를 활발하게 교환하게 된다. 이러한 교환의 결과로 입자들의 속도나 운동량은 그 방향은 무질서하게 아무 방향이나 보게 되지만 크기는 무질서한 값을 가지는 것이 아니라 특별한 분포를 하게 된다.

아래 프로그램은 기체의 분자운동을 흉내내기 위하여 동일한 구형의 입자를 용기 속에 넣어 둔 것이다. 입자끼리 충돌할 때 보통의 기체를 구성하는 분자처럼 탄성충돌을 하므로 에너지를 잃어버리지 않는다. 각각의 입자가 충돌할 때 전적으로 운동량과 에너지가 보존되는 역학의 충돌원리를 따르게 프로그램 하여 실제의 입자들과 하는 행동이 거의 같다. 또한 용기를 둘러싸고 있는 벽에 끊임없이 충돌하여 벽에 충격을 가하게 된다. 여기서 아래 왼편의 '온도(temperature)'의 슬라이더로써 입자의 평균에너지를 변경할 수 있다.

이 프로그램은 실제의 기체와는 몇 가지 점에서 차이가 있다. 우선 여기서의 입자는 부피가 용기에 비견할 정도로 크다. 따라서 입자들의 점유공간이 커서 용기의 부피를 감소시키는 효과를 줄 것이다. 또한 입자가 뛰노는 공간이 실제의 3차원과는 달리 2차원이어서 입자끼리의 충돌이 훨씬 활발하게 일어나게 된다.

또한 입자의 수가 50개로 실제의 기체의 경우보다 월등히 적다. 거시적인 규모의 기체 속에 들어있는 분자는 아보가드로 수인 $N_A=6.02\times 10^{23}$개 정도의 입자가 있어 그러한 물리계를 역학적으로 추적하는 것은 불가능하다. 입자의 수가 적을 때에는 속력의 분포가 계속해서 제법 큰 폭으로 요동을 치게 되지만 입자의 수가 실제의 거시계에서 기체를 구성하는 정도가 되면 거의 요동이 없이 정확한 분포를 하게 된다. 앞 가상실험에서도 볼 수 있는 것처럼 일정한 온도에서 속도의 분포는 함수 형태가 언제나 거의 일정한 것을 확인할 수 있는 데 분자의 수가 많아지면 더욱 정확한 형태가 된다. 고전적인 특성을 가진 이상적인 분자의 경우 이 분포함수를 정확하게 계산해 낼 수 있다.

_ 탄성충돌_ 운동량

맥스웰 분포함수

위 모의실험을 통하여 기체의 속력분포를 관찰해 보아 알 수 있듯이 동일한 질량의 분자로 이루어진 기체의 속력은 상당히 넓은 영역에 걸쳐 있게 된다. 간혹 매우 빠르게 움직이는 입자가 나타나기도 하며 이것은 얼마 후에는 움직임이 아주 느려지기도 한다. 이는 쉴 새 없이 입자들이 서로 에너지를 주고받기 때문이다. 그러나 이 분포는 온도가 일정하다면 거의 그 형태가 변함이 없고 단지 온도가 올라가면 전체적으로 속력이 커지는 쪽으로 그래프가 이동하는 것을 관찰할 수 있어 속력의 분포에 대한 법칙이 있음을 느낄 수 있을 것이다. 이러한 기체의 분자속력분포를 맥스웰이 처음으로 알아내어 이를 맥스웰 분포함수라 한다.

이 분포함수를 알아내기 위해서는 입자계가 가질 수 있는 무수히 많은 역학적 상태 중에서 무슨 상태를 더 선호하는지에 대해 알고 있어야 한다. 그런데 특별한 어떤 상태에 대한 선호가 없고 가능한 모든 상태에 동등하게 있을 확률이 있다는 가정 이 가장 자연스럽고 가장 단순하여 일찍이 열물리를 뒷받침하게 되는 통계역학의 근본가정으로 자리를 잡게 되었다. 그리고 이러한 가정으로 수많은 열적현상들이 잘 설명되기 때문에 의심할 여지가 없이 이를 받아들이게 되었다.

그렇다면 입자의 에너지가 높은 쪽으로는 상태에 대한 상한이 없어 극단적으로 높은 에너지로 있을 가능성이 크게 생긴다. 그러나 기체계가 열적으로 고립되어 있기 때문에 외부와의 에너지 교환이 없어 전체의 에너지는 보존된다는 제한에 의해서 적당한 에너지에서 최댓값을 갖는 가운데가 볼록한 종 형태의 분포함수가 만들어진다.

이 분포함수는 맥스웰-볼츠만 분포함수라고도 한다. 3차원의 이상기체에서는 다음과 같은 함수형태를 갖는다. $$n(v)=4\pi N \left( \frac{m}{2\pi kT} \right)^{3/2} v^2 e^{-mv^2/2kT}$$ 여기서 $n(v)$은 확률밀도함수로서 $n(v)dv$가 $v\sim v+dv$사이에 존재하는 분자수를 나타낸다.

뒤에서 이 분포함수가 통계역학의 기법으로 유도되는 것을 보이고, 이와 관련한 몇 가지 모의실험을 제시할 것이다.

_ 확률밀도함수_ 입자계_ 맥스웰