1차원 충돌

탄성충돌과 비탄성충돌

충돌 과정에서 두 입자의 운동량의 합은 언제나 일정하게 유지되지만 역학적 에너지는 언제나 보존되는 것은 아니다. 이는 에너지가 여러 가지의 다양한 형태로 있을 수 있고, 특히 충돌이 일어날 때 열로 변할 가능성이 크기 때문이다. 역학적 에너지가 보존되는 여부를 가지고 탄성충돌과 비탄성충돌로 대별하는 데 전자는 보존되는 경우이고 후자는 보존되지 않는 경우이다.

탄성충돌인 경우에는 운동량보존법칙과 역학적에너지 보존법칙을 같이 쓸 수 있어 충돌 과정에서 일어나는 세세한 작용을 모르더라도 충돌 결과에 대하여 어느 정도 예측할 수 있다.

_ 운동량보존법칙

1차원 탄성충돌

두 입자가 직선상으로만 움직일 수 있거나 정면충돌하여 운동이 직선상에 국한되어 있는 경우에는 1차원의 문제가 된다. 이러한 1차원의 탄성충돌은 충돌 과정에 무관하게 충돌 이전의 정보로부터 충돌 이후를 완벽하게 예측할 수 있게 된다.

질량 $m_1$, $m_2$ 인 두 입자가 위 그림처럼 속도 $v_{1i}$, $v_{2i}$로 충돌한 후 $v_{1f}$, $v_{2f}$ 의 속도로 움직이는 것을 생각해 보자. 운동량과 에너지가 보존되어야 하므로 $$m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f}$$ $$\frac{1}{2} m_1 v_{1i}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2i}^2 = \frac{1}{2} m_1 v_{1f}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2f}^2$$ 이다. 충돌이 시작된 조건을 알고 있고 충돌 후의 각 입자의 속도를 모르고 있으므로 이를 두 미지수를 구하는 연립방정식으로 생각하여 풀이할 수 있다. 그 결과는 $$v_{1f} = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) v_{1i} + \left( \frac{2m_2}{m_1 + m_2} \right) v_{2i}$$ $$v_{2f} = \left( \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} \right) v_{1i} + \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) v_{2i}$$ 으로 구해진다.

만일에 두 입자의 질량이 같다면 이 식은 다음과 같이 간단한 형태가 된다. $$v_{1f} = v_{2i}, \quad \quad v_{2f} = v_{1i}$$ 1번 입자의 속도를 2번 입자가 갖게 되고 2번입자의 속도를 1번입자가 갖게 되어 두 입자는 서로 속도를 교환하게 되는 것을 알 수 있다.

한편 두 입자의 질량은 다르지만 멈추어 있는 입자에 충돌하는 경우도 흥미있는 상황이다. 두 번째 입자의 처음 속도 $v_{2i}$를 0두면 앞의 결과는 $$v_{1f} = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) v_{1i}$$ $$v_{2f} = \left( \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} \right) v_{1i}$$ 으로 두 입자의 질량이 같다면 멈추어 있던 두 번째 입자가 첫 번째 입자의 속도를 그대로 가지고 가게 되고 첫 번째 입자는 멈추게 된다는 것을 알 수 있다.

한편 달걀로 바위를 치는 경우처럼 가벼운 입자를 멈추어 있는 매우 무거운 입자에 충돌시키면 앞의 식에서 $$v_{1f} \cong -v_{1i}, \quad \quad v_{2f} \cong 0$$ 이 되어 무거운 입자는 여전히 멈추어 있고 가벼운 입자는 반대방향으로의 같은 크기의 속도로 되튀어 나온다는 것을 알 수 있다. 공이 벽에 부딪혀서 튀어나오는 경우나 땅에 떨어트렸을 때 되튀어 오르는 경우가 가벼운 공과 무거운 지구와의 충돌이라고 생각할 수 있다. 또한 정지해 있던 입자가 가볍고 이것에 부딪히는 입자가 무거울 경우에는 다음과 같이 무거운 입자는 거의 속력에 변화가 없고 정지해 있던 가벼운 입자는 무거운 입자의 두배의 속도로 튀어 나간다. $$v_{1f} \cong v_{1i}, \quad \quad v_{2f} \cong 2 v_{1i}$$

_ 운동량