양자통계의 응용

상자처럼 제한된 공간에 놓여 있는 입자나 광자는 이들의 파동, 즉 물질파나 전자기파가 정상파의 형태를 하게 된다. 이에 따라 그 영역에서 뛰노는 파동의 파장이나 진동수가 특정한 값만 가질 수 있고 아울러 특정한 에너지만 가질 수 있다. 특히 통계역학에서의 입자들은 이들이 놀고 있는 계를 직육면체와 같이 단순한 형태로 가정할 수 있기 때문에 상태수를 계산하는 것이 어렵지 않다.

일반적인 파동의 정상파는 '정상파와 공명' 단원에서, 물질파의 정상파는 '정상상태'에서 다루었다. 여기서는 파동함수를 정확하게 구하기보다는 상태밀도를 계산하는 목적이므로 줄의 파동처럼 1차원, 2차원, 3차원으로 차원을 확장하여 정상파가 이루어지는 조건, 이들의 에너지, 그리고 상태밀도를 계산한다.

1차원 상자 - 줄의 정상파 조건

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줄의 진동 모드_ 길이가 1 m인 양쪽 끝이 고정되어 있는 줄의 고유진동 모습이다. 진동 모드수는 $j$ 축을 따라 1, 2, 3 등의 자연수로 주어지면, 이에 따라 파수, 파장, 진동수가 정해진다.

우선 1차원의 경우를 생각하자. 모드수에 따른 파동의 진동 모습을 위 그림으로 나타내었다. 이 파동은 길이 $L$의 양쪽 가장자리에서 진동이 억제되어 있으므로 마디를 이루어야 하고 $L$을 등간격으로 배분한 지점에 마디가 올 수 있다. 따라서 파장은 다음 조건을 만족하게 된다. \[ \lambda = \frac{2L}{j}, \quad \mathrm{where} \quad j = 1, 2, 3, \cdots \] 이를 파수로 고쳐서 표현하면, \[ k = \frac{2 \pi}{\lambda} = \frac{\pi}{L} j \] 이렇게 파수로 표현하는 것은 2차원이나 3차원으로 차원을 늘이는 데 편하다. 파수는 벡터의 성질을 가지기 때문이다. (볼츠만 상수도 $k$로 쓰나 보통 $kT$처럼 $T$와 같이 나타나서 쉽게 구별이 된다)

2차원 상자 - 정사각형 막의 정상파 조건

다음 그림은 2차원의 가능한 여러 고유진동모드를 보여준다. 1차원의 경우와 비슷하게 하나의 진동모드를 $j_x, j_y$의 공간에 표시하고 있다. 여기서는 상자를 각 변의 길이가 $L$인 정사각형으로 하였으므로 고유진동의 조건이 \[ k_x = \frac{\pi}{L} j_x, \quad \quad \quad k_y = \frac{\pi}{L} j_y \] 으로 가능한 $j_x, j_y$의 값이 모두 1, 2, 3, ... 이다. 따라서 $j_x, j_y$의 공간에서 이들 좌표값이 자연수인 격자점에 한 상태가 배치된다.

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2차원의 진동 모드_ 정사각형 상자의 내부에 형성되는 고유진동모드의 그림이다. 왼쪽은 가능한 모드를 $j_x, j_y$의 공간에 격자점으로 표시한 것이고, 오른쪽은 이의 진동양상을 붉고 푸른색으로 나타낸 것이다. 그리고 선택한 모드에 대한 파벡터, 파장 등의 값은 상자가 1 m 인 경우에 대해서이다. $j_x, j_y$의 공간에서 모드를 대표하는 격자점은 단위 길이의 간격을 하고 있어 어떤 영역의 상태수는 그 영역의 면적과 같다. 그림에서 두 원호 사이에 있는 상태들은 모두 $j$의 크기가 비슷하고, 따라서 파장과 진동수가 거의 같은 값을 가지고 있다.

앞의 식을 파벡터의 크기, 즉 파수와 관련시키면, \[ k = \sqrt{k_x^2 + k_y^2} = \frac{\pi}{L} \sqrt{j_x^2 + j_y^2} = \frac{\pi}{L} j \] 이 된다. 한편 $j \sim j+dj$의 상태수는 위 그림에서 볼 수 있듯이 두 개의 원호로 이루어진 면적의 1/4 이다. 즉, \[ g_2(j)dj = \frac{1}{2} \pi j dj \] 따라서 $k \sim k+dk$의 상태수는, \[ g_2(k)dk = \frac{1}{2} \frac{L^2}{\pi} k dk \] 이다. 이 결과는 $k$ 값이 커질수록 밀도는 이에 비례하여 커지는 것을 말한다.

3차원 상자의 정상파

다음 그림은 3차원에 대한 것이다. 모든 진동모드는 $j_x, j_y, j_z$의 양의 영역의 단위 길이 격자점에 놓이게 된다. 즉, \[ k_x = \frac{\pi}{L} j_x, \quad k_y = \frac{\pi}{L} j_y, \quad k_z = \frac{\pi}{L} j_z \] 이다. 그리고 파수는 \[ k = \sqrt{k_x^2 + k_y^2 + k_z^2} = \frac{\pi}{L} \sqrt{j_x^2 + j_y^2 + j_z^2} = \frac{\pi}{L} j \] 으로 $j_x, j_y, j_z$ 공간에서 격자점과의 거리 $j$와 관련된다.

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모드수의 계산_ 3차원의 진동모드는 $j$ 공간에서 단위 길이 간격의 격자점으로 대표된다. 따라서 $j \sim j+dj$의 상태수는 1/8 구껍질의 체적과 같아서 $\frac{1}{2} \pi j^2 dj$이다.

물질파나 전자기파의 에너지는 파벡터의 크기와 관련되어 있기 때문에 파벡터의 입장에서 본 상태밀도를 셈해두는 것이 유용하다. 즉, $k \sim k+dk$ 사이에 있는 상태밀도는 다음 절차로 계산된다. 우선 위 그림에서 알 수 있듯이 $j \sim j+dj$의 상태수는 1/8 구껍질의 체적과 같아서 \[ g(j)dj = \frac{1}{2} \pi j^2 dj \] 이다. 이를 이용하여 $k$ 입장에서 상태수를 정리하면, \[ \label{eqfinal} {\large \boxed{ g(k) dk = \frac{1}{2} \frac{L^3}{\pi^2} k^2 dk = \frac{1}{2} \frac{V}{\pi^2} k^2 dk } } \] 이다. 여기서 $V=L^3$으로 3차원 상자의 부피다. 이로부터 상태수는 부피에 비례하는 것을 알 수 있으며, 나아가서 상자의 모양에는 무관하다. 또한 $k$가 커질수록 상태수는 1차원과 2차원이 경우와 달리 제곱에 비례하여 많아진다.

빛의 상태밀도

상자 속에서 정상파로 존재하는 파동이 빛, 즉 전자기파라 하자. 빛은 횡파이므로 진행방향에 대해 수직한 두 방향으로의 전기장이나 자기장, 즉 두 편광 상태가 있을 수 있다. 따라서 앞의 계산 결과를 2배해야 한다. 또한 $k$로 나타낸 상태밀도를 $\omega$로 바꾸면, \[ \omega = kc \] 이므로 \[ g(\omega) d\omega = \frac{V}{\pi^2 c^3} \omega^2 d\omega \] 이다.

전자의 상태밀도

전자가 상자 속에 마음대로 움직일 수 있는 경우에도 물질파의 정상파 형태로 존재한다. 물질파는 본질적으로 전자기파 등 다른 파동의 정상파와 같은 양상이므로 일반적인 파동해석이 그대로 적용된다. 빛이 편광상태 때문에 2배 해주어야 하는 것처럼 전자의 스핀 때문에 2배 해 주어야 한다. 전자의 파수는 물질파 관계 \[ p = \hbar k \] 를 만족하고, \[ \varepsilon = \frac{p^2}{2m} = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \] 이다. 따라서 \[ g(\varepsilon) d\varepsilon = \frac{\sqrt{2} V m^{3/2}}{\pi^2\hbar^3} \sqrt{\varepsilon} d\varepsilon \] 이다.

[질문1] 3차원에서와 같이 가능한 상태의 격자수를 셈해서 1차원과 2차원의 상태수 함수 $g(j)dj$를 유도하라. 그리고 1차원과 2차원에서 행동하는 빛과 전자의 $g(\omega) d\omega$와 $g(\varepsilon) d\varepsilon$을 각각 구하라.

[질문2] '기체의 분자운동' 단원의 'q 차원의 이상기체'에서 고전적인 가설, 즉 '... 미시상태수는 위상공간에서의 체적에 비례한다.'와 여기서의 파동론적인 상태수의 계산 결과를 비교하고, 이것이 최종 결과를 다르게 할 것인지를 판단하라.