$q$ Â÷¿øÀÇ ÀÌ»ó±âüÀÇ ¿¡³ÊÁö¿¡ ´ëÇÑ È®·ü¹ÐµµÇÔ¼ö¸¦ ¼Ó·Â¿¡ ´ëÇÑ °ÍÀ¸·Î º¯È¯ÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù. \[ \varepsilon = \frac{1}{2} m v^2 \] \[ d\varepsilon = mv dv \] ¸¦ ÀÌ¿ëÇϸé, \[ n(v) dv = \frac{N}{(kT)^{q/2}\Gamma(q/2)} \frac{m^{q/2}}{2^{q/2 -1}} v^{q-1} e^{-\frac{m}{2kT} v^2} dv \] ÀÌ´Ù. 1Â÷¿øÀÇ °æ¿ì \[ n_1(v) dv = \frac{\sqrt{2m}N}{\sqrt{\pi kT}} e^{-\frac{m}{2kT} v^2} dv \] ÀÌ°í, 2Â÷¿øÀÇ °æ¿ì \[ n_2(v) dv = \frac{mN}{kT} v e^{-\frac{m}{2kT} v^2} dv \] ÀÌ´Ù. ƯÈ÷ °ü½ÉÀÖ´Â 3Â÷¿øÀÇ °æ¿ì´Â \[ \begin{equation} \label{eq1} {\large \boxed{ n_3(v) dv = \frac{\sqrt{2}m^{3/2} N}{\sqrt{\pi}(kT)^{3/2}} v^2 e^{-\frac{m}{2kT} v^2} dv }} \end{equation} \] ÀÌ´Ù.
ÀÌ»ó±âü°¡ ƯÁ¤ÇÑ ¿Âµµ $T$ ·Î À¯ÁöµÉ ¶§ ±¸¼º ÀÔÀÚµéÀÇ ¼Ó·ÂºÐÆ÷ÇÔ¼ö $n(v)$ ´Â 1859³â ¸Æ½ºÀ£(Clerk Maxwell)ÀÌ Ã³À½À¸·Î ±¸ÇÒ ¼ö ÀÖ¾ú´Ù. ¸Æ½ºÀ£Àº ´ç½Ã±îÁöÀÇ ºÐÀÚÀÇ Æò±Õ¼Ó·Â °³³äÀ» ´õ¿í ¹ßÀü½ÃÄÑ ±âüºÐÀڿ·Ð¿¡ ÀÔ°¢ÇÏ¿© ºÐÀÚÀÇ ¼Ó·ÂºÐÆ÷ÇÔ¼ö¸¦ ±¸ÇÏ°í, µÚÀÌ¾î º¼Ã÷¸¸(L. Boltzmann)Àº Ãʱ⿡ ¾î¶² ƯÁ¤ÇÑ ¼Ó·ÂÀÇ ºÐÆ÷¸¦ ÇÏ°í ÀÖ´õ¶óµµ ºÐÀڵ鰣ÀÇ Ãæµ¹ÀÇ °á°ú·Î ÀÌ ¼Ó·ÂºÐÆ÷·Î À̸£°Ô µÇ´Â °ÍÀ» Áõ¸íÇÏ¿´´Ù. ÀÌ¿¡ µû¶ó ÀÌ»ó±âüÀÇ ¼Ó·ÂºÐÆ÷ÇÔ¼ö¸¦ ¸Æ½ºÀ£ ºÐÆ÷ÇÔ¼ö³ª ¸Æ½ºÀ£-º¼Ã÷¸¸ ºÐÆ÷ÇÔ¼ö¶ó°í ÇÏ°Ô µÇ¾ú´Ù.
graph |
|
¸Æ½ºÀ£-º¼Ã÷¸¸ ¼Ó·ÂºÐÆ÷ÇÔ¼ö_ 3Â÷¿ø ÀÌ»ó±âüÀÇ ¼Ó·ÂºÐÆ÷ÇÔ¼ö¸¦ º¸¿©ÁØ´Ù. ¿Âµµ°ªÀº 100~1500K±îÁö, ÀÔÀÚÀÇ Áú·®¼ö´Â ¿øÀÚÁú·®´ÜÀ§·Î 1~ 50±îÁö º¯È½Ãų ¼ö ÀÖÀ¸¸ç ÀÔÀÚÀÇ ¼ö´Â 100000°³ÀÌ´Ù. ¿øÀÚÁú·®´ÜÀ§·Î ³ªÅ¸³½ Áú·®¼ö¸¦ 2·Î ÇÏ¸é ¼ö¼ÒºÐÀÚ, 32·Î ÇÏ¸é »ê¼ÒºÐÀÚ¿¡ ´ëÀÀµÇ¸ç, Ãʱ⿡´Â »ê¼ÒºÐÀÚ°¡ 300KÀÎ »ó¿ÂÀ¸·Î ÀÖÀ» ¶§¸¦ º¸¿©ÁØ´Ù. ȸéÀÇ ¾Æ·¡ ¿ÞÂÊÀÇ 'ÃÖºó¼Ó·Â, Æò±Õ¼Ó·Â, RMS ¼Ó·Âº¸±â'¸¦ ¼±ÅÃÇϸé ÀÌµé ¼Ó·Â °ª°ú ÀÌ¿¡ ´ëÀÀµÇ´Â ÇÔ¼öÀÇ ±×·¡ÇÁ¸¦ °¢°¢ÀÇ »öÀ¸·Î Ç¥½Ã ÇØÁØ´Ù. ¶ÇÇÑ ±×·¡ÇÁ À§¸¦ ¸¶¿ì½º·Î Ŭ¸¯Çϸé ÇØ´ç ¼Óµµ¿Í ÀÌÀÇ ÇÔ¼ý°ªÀ» È¸é ¿À¸¥ÂÊ À§¿¡ ³ªÅ¸³½´Ù. ¿Âµµ¿Í Áú·®¼ö¸¦ º¯È½ÃÄÑ°¡¸ç ±×·¡ÇÁ ¸ð¾çÀÌ ¾î¶»°Ô ´Þ¶óÁö´Â Áö¸¦ »ìÆ캸ÀÚ. ÇÔ¼ö·ÎºÎÅÍ ¾Ë ¼ö ÀÖ´Â °Íó·³ ±×·¡ÇÁ´Â Ç×»ó Áú·®°ú ¿ÂµµÀÇ ºñ¿¡¸¸ ÀÇÁ¸ÇÏ°Ô µÈ´Ù.
|
ÇÑÆí ¼Ó·ÂºÐÆ÷ÇÔ¼ö·ÎºÎÅÍ ¸î °¡Áö ÀǹÌÀÖ´Â ¼Ó·Â °ªÀ» À̲ø¾î³¾ ¼ö ÀÖ´Ù. ±×Áß Çϳª´Â °¡Àå È®·üÀÌ ³ôÀº ¼Ó·ÂÀ¸·Î ÇÔ¼ö°¡ ÇÇÅ© °ªÀ» °¡Áú ¶§ÀÇ ¼Ó·Â, Áï ÃÖºó¼Óµµ(most probable velocity) $v_{mp}$°¡ ÀÖ´Ù. ÀÌ°ÍÀº ¸¹Àº ºñÀ²ÀÇ ºÐÀÚ°¡ ÀÌ ¼Ó·Â ÁÖº¯¿¡ ¸ô·Á ÀÖ´Â °ÍÀ» ¸»Çϸç, ÀÌ °ªÀº $dn(v)/dv = 0$ÀÇ Á¶°Ç¿¡¼ ±¸ÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù. 3Â÷¿øÀÇ °æ¿ì ÀÌ °ªÀº ´ÙÀ½°ú °°´Ù. \[ v_{mp} = \sqrt{\frac{2kT}{m}} \approx 1.4142 \sqrt{\frac{kT}{m}} \] ¶ÇÇÑ Æò±Õ¼Ó·Â $v_{av}$´Â ¼Ó·ÂÀÇ ±â´ñ°ªÀ¸·Î¼ $\int vn(v)dv$·Î ºÎÅÍ °è»êµÇ¾î, \[ v_{av} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}} \approx 1.5958 \sqrt{\frac{kT}{m}} \] ¹«¾ùº¸´Ùµµ Àǹ̰¡ Å« °ÍÀº ¼Ó·ÂÀÇ RMS °ª(RMS ¼Ó·Â)À¸·Î ¼ÓµµÁ¦°ö ±â´ñ°ªÀÇ Á¦°ö±ÙÀ¸·Î °è»êµÈ´Ù. Áï, $v_{rms}^2=\int v^2 n(v)dv$·Î¼, \[ v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} \approx 1.7321 \sqrt{\frac{kT}{m}} \]
¼Ó·ÂºÐÆ÷ÇÔ¼öÀÇ ±×·¡ÇÁ·ÎºÎÅÍ ¾Ë ¼ö ÀÖµíÀÌ ÀÌ ÇÔ¼ö´Â Á¾ ¸ð¾çÀ» ÀÌ·ç°í ÀÖÁö¸¸ ÇÇÅ©°ªÀ» Áß½ÉÀ¸·Î ´ëĪÀÎ ÇüÅ´ ¾Æ´Ï´Ù. ¼Ó·ÂÀÇ ÇÏÇÑÀº ´ç¿¬È÷ 0 ÀÌ¸ç »óÇÑÀº ¾ø´Ù. ¶ÇÇÑ ¿Âµµ°¡ ¿Ã¶ó°¡¸é ÇÇÅ©°ªÀº ºü¸¥ ¼Ó·Â ÂÊÀ¸·Î À̵¿ÇÏ°Ô µÇ¸ç µû¶ó¼ ±×·¡ÇÁ´Â Á¡Â÷ ÆøÀÌ ³Ð¾îÁö°Ô µÈ´Ù.
[Áú¹®1]
À§ '¸Æ½ºÀ£-º¼Ã÷¸¸ ¼Ó·ÂºÐÆ÷ÇÔ¼ö' ±×·¡ÇÁ¿¡¼ óÀ½¿¡ ³ªÅ¸³ª´Â ȸéÀº Áú·®¼ö 32 ÀÎ »ê¼Ò ºÐÀÚ°¡ 300 K ÀÏ ¶§¸¦ ³ªÅ¸³½´Ù. ȸéÀÇ ¾Æ·¡ ¿ÞÂÊÀÇ 'ÃÖºó¼Ó·Â, Æò±Õ¼Ó·Â, RMS ¼Ó·Âº¸±â'¸¦ ¼±ÅÃÇؼ ÀÌµé °¢°¢ÀÇ ¼öÁ÷ ¸·´ë°¡ ³ªÅ¸³ª¸é À̸¦ ¸¶¿ì½º·Î Ŭ¸¯Çؼ ÀÌµé °ªÀ» ¾Ë¾Æº¸ÀÚ. ¸¸ÀÏ »ê¼Ò¸¦ Áú·®¼ö 2ÀÎ ¼ö¼Ò ºÐÀÚ·Î ¹Ù²Ù¸é ÀÌµé °ªÀÌ ÀüüÀûÀ¸·Î Ä¿Áø´Ù. ÀÌµé °ªµé »çÀÌÀÇ °ü°è´Â ¾î¶»°Ô µÇ´ÂÁö ¾Ë¾Æº¸ÀÚ. ÀÌ °á°ú´Â ¹«¾ùÀ» ¸»Çϴ°¡?
[Áú¹®2]
¼Ó·ÂÀÌ 1.0 ÀÎ ÀÔÀÚ°¡ 2°³, 2.0 ÀÎ ÀÔÀÚ°¡ 4°³, 3.0 ÀÎ ÀÔÀÚ°¡ 3°³, 4.0 ÀÎ ÀÔÀÚ°¡ 1°³·Î µÇ¾î ÀÖ´Â 10°³ÀÇ ÀÔÀÚ·Î µÈ ±âü°¡ ÀÖ´Ù. ÀÌÀÇ ÃÖºó¼Ó·Â, Æò±Õ¼Ó·Â, RMS ¼Ó·ÂÀ» °¢°¢ ±¸Çغ¸¶ó. (¸ðµÎ SI ´ÜÀ§°è¿¡¼ÀÇ °ªÀÌ´Ù)
[Áú¹®3]
ÃÖºó¼Ó·Â, Æò±Õ¼Ó·Â, RMS ¼Ó·Â Áß¿¡¼ ±âü ºÐÀÚÀÇ ¿îµ¿¿¡³ÊÁöÀÇ Æò±Õ°ªÀ» ¹Ý¿µÇÏ´Â °ªÀº ¹«¾ùÀϱî? À̵鿡 ´ëÇÑ À̷нÄÀ» Âü°í·Î Çؼ ±âü ºÐÀÚÀÇ Æò±Õ¿¡³ÊÁö°¡ ¿Âµµ¿Í ¾î¶² °ü°è°¡ ÀÖ´ÂÁö¸¦ À¯µµÇØ º¸¶ó.
[Áú¹®4]
±âü°¡ °¡Áø ¼ÓµµºÐÆ÷¸¦ ÃøÁ¤ÇÒ ¼ö ÀÖ´Â ¹æ¹ýÀÌ ÀÖÀ»±î? ÀÖ´Ù¸é ÀÌ ÀåÄ¡¸¦ °í¾ÈÇØ º¸¶ó.
_ ¿øÀÚÁú·®´ÜÀ§_ È®·ü¹ÐµµÇÔ¼ö_ ±â´ñ°ª_ º¼Ã÷¸¸_ ¸Æ½ºÀ£
|