±âüÀÇ ºÐÀڿ


1Â÷¿ø ÀÌ»ó±âü

graph

1Â÷¿ø »óÀÚ¿¡¼­ ¿Õº¹¿îµ¿À» ÇÏ´Â ¹°Ã¼ÀÇ ¿îµ¿_ 1Â÷¿ø »óÀÚ ¼Ó¿¡¼­ ÀÔÀÚÀÇ ¿îµ¿À» À§»ó°ø°£¿¡¼­ ³ªÅ¸³»°í ÀÖ´Ù. ¿ÞÂÊÀÇ ½½¶óÀÌ´õ¸¦ ¿òÁ÷¿©¼­ ºÓÀº »ö°ú Ǫ¸¥ »öÀÇ µÎ ÀÔÀÚÀÇ ¿¡³ÊÁö¸¦ 0 ~ 100 ¹üÀ§·Î Á¶ÀýÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù.

$N$°³ÀÇ ÀÔÀÚ·Î ÀÌ·ç¾îÁø ÀÌ»ó±âü°¡ 1Â÷¿ø ¿ë±â ¼Ó¿¡ µé¾î ÀÖ´Â °æ¿ì¸¦ °¡Á¤ÇØ º¸ÀÚ. ÀÌ´Â ¾çÂÊÀÌ ¸·ÇôÀÖ´Â °¡´Â ´ë·Õ ¼ÓÀÇ ±¸½½À̳ª ¸·´ë¿¡ ²ç¿©ÀÖ´Â ÁÖÆǾËó·³ ÇÑ ¹æÇâÀ¸·Î¸¸ÀÇ ¿îµ¿ÀÌ Çã¿ëµÈ ¸¹Àº ÀÔÀÚµé·Î ±¸¼ºµÈ °è·Î¼­ Çö½Ç¼ºÀº ¾øÁö¸¸ ¹®Á¦¸¦ ´Ü¼øÈ­½ÃÄÑ º»ÁúÀ» ÀÌÇØÇÏ´Â µ¥ µµ¿òÀ» ÁØ´Ù.

¿ì¼± ÇÑ ÀÔÀÚ°¡ $\varepsilon \sim \varepsilon+d\varepsilon$ÀÇ ¿¡³ÊÁö·Î ÀÖÀ» (¹Ì½Ã)»óżö¸¦ °è»êÇÏÀÚ. ÀÌ¿¡ ÇØ´çÇÏ´Â ¿îµ¿·® °ø°£ÀÇ ¹üÀ§¸¦ $p\sim p+dp$À̶ó Çϸé, 1Â÷¿ø °ø°£¿¡¼­´Â $dp$°¡ ¹Ù·Î ¿îµ¿·®°ø°£ÀÇ Ã¼Àû(½ÇÁ¦·Î´Â 1Â÷¿øÀ̹ǷΠ±æÀÌ)ÀÌ µÈ´Ù. À§»ó°ø°£ÀÇ Ã¼ÀûÀº ¿îµ¿·®°ø°£ÀÇ Ã¼Àû¿¡´Ù°¡ À§Ä¡°ø°£ÀÇ Ã¼ÀûÀ» °öÇØ¾ß ÇÏÁö¸¸ ÀÌ»ó±âüÀÇ °æ¿ì¿¡´Â ÀÔÀÚÀÇ ¸ðµç »óŵéÀº À§Ä¡°ø°£ÀÇ Ã¼ÀûÀº µ¿ÀÏÇÏ´Ù. µû¶ó¼­ »óżö´Â ¿îµ¿·®°ø°£ÀÇ Ã¼Àû¿¡¸¸ ºñ·ÊÇÏ´Â °ÍÀ¸·Î ºÁµµ ¹«¹æÇÏ´Ù. Áï, \[ \varepsilon = \frac{p^2}{2m} \] \[ dp = \sqrt{\frac{m}{2\varepsilon}} d\varepsilon \]

µû¶ó¼­ $\varepsilon \sim \varepsilon+d\varepsilon$»çÀÌ¿¡ ÀÖ´Â »óżö \[ g(\varepsilon)d\varepsilon = A \sqrt{\frac{m}{2\varepsilon}} d\varepsilon \] °¡ µÈ´Ù.

ÇÑ ÀÔÀÚ°¡ ¿Âµµ $T$ÀÇ ¿­ÀúÀåü¿¡ ¿­ÀûÀ¸·Î Á¢ÇյǾî ÀÖ´Ù¸é ÀÌ ÀÔÀÚ°¡ $\varepsilon \sim \varepsilon+d\varepsilon$ÀÇ ¹üÀ§ ³»ÀÇ Æ¯Á¤ÇÑ ÇÑ »óÅ¿¡ ÀÖÀ» È®·üÀº º¼Ã÷¸¸ ÀÎÀÚ $e^{-\varepsilon/kT}$¿¡ ºñ·ÊÇϹǷΠ$\varepsilon \sim \varepsilon+d\varepsilon$ ¹üÀ§ Àüü¿¡ ÀÖÀ» È®·üÀº ´ÙÀ½°ú °°´Ù. \[ n(\varepsilon)d\varepsilon=C \varepsilon^{-1/2} e^{-\varepsilon/kT} d\varepsilon \] ¿©±â¼­ $C$´Â ÀÏÁ¤ÇÑ ºñ·Ê»ó¼öÀÌ´Ù.

Áö±Ý±îÁö´Â ÇϳªÀÇ ÀÔÀÚ¿¡ ´ëÇØ Çؼ®ÇÏ¿´À¸³ª $N$°³ÀÇ ÀÔÀÚ°¡ ¶Ù³ë´Â $N$Â÷¿øÀÇ À§»ó°ø°£Àº °¢°¢ µ¶¸³ÀûÀÎ 1Â÷¿øÀÇ À§»ó°ø°£ÀÌ ´ëµîÇÏ°Ô ÁßøµÈ °ÍÀ¸·Î º¼ ¼ö ÀÖ´Ù. ÀÌ´Â ÀÌ»ó±âüÀÇ ÀÔÀÚµéÀÌ ¼­·Î »óÈ£ÀÛ¿ëÀ» ÇÏÁö ¾Ê±â ¶§¹®ÀÌ´Ù.

µû¶ó¼­ ÀüüÀÇ ÀÔÀÚ¼ö°¡ $N$ÀÌ µÇµµ·Ï ÇÏ´Â Á¶°ÇÀ¸·Î ´ÙÀ½°ú °°ÀÌ $C$¸¦ Á¤Çϵµ·Ï ÇÏÀÚ. \[ N = \int_0^{\infty} n(\varepsilon)d\varepsilon = C\int_0^\infty \varepsilon^{-1/2} e^{-\varepsilon/kT} d\varepsilon = C \sqrt{\pi kT} \] À¸·ÎºÎÅÍ $C$¸¦ Á¤ÇÏ¿© $n(\varepsilon)$À» ´Ù½Ã ¾²¸é, \[ n(\varepsilon) d\varepsilon = \frac{N}{\sqrt{\pi kT}} \varepsilon^{-1/2} e^{-\varepsilon/kT} d\varepsilon \]

ÀÌÀÇ Àǹ̸¦ ´Ù½Ã Çؼ®Çϸé Àüü $N$°³ÀÇ ÀÔÀÚ Áß¿¡¼­ $\varepsilon \sim \varepsilon+d\varepsilon$ ÀÇ ¿¡³ÊÁö¸¦ °¡Áö°í ÀÖ´Â ÀÔÀÚÀÇ ¼ö°¡ µÇ°í, $n(\varepsilon)$´Â È®·ü¹ÐµµÇÔ¼ö°¡ µÈ´Ù. À̵é ÀÔÀÚ ÀüüÀÇ ¿¡³ÊÁö´Â \[ E = \int_0^{\infty} \varepsilon n(\varepsilon) d\varepsilon = \frac{1}{2} kT N \] ÀÌ´Ù.


_ ¿îµ¿·®

q Â÷¿øÀÇ ÀÌ»ó±âü

¾Õ¿¡¼­ 1Â÷¿øÀÇ ÀÌ»ó±âü¿¡ ´ëÇÑ È®·ü¹ÐµµÇÔ¼ö¸¦ ±¸Çß´Ù. ¸¸ÀÏ¿¡ ÀÔÀÚ°¡ $q$ Â÷¿øÀÇ °ø°£À» ¶Ù³î°í ÀÖ´Ù¸é ¾î¶»°Ô µÉ±î?

¿ª½Ã $\varepsilon \sim \varepsilon+d\varepsilon$ÀÇ »óżö $g(\varepsilon)d\varepsilon$ ¸¦ °è»êÇØ¾ß ÇÏ´Â µ¥ 1Â÷¿øÀÇ °æ¿ì¿Í ´Ù¸¥ Á¡ÀÌ ÀÖ´Ù. ÇÑ ÀÔÀÚÀÇ ¿îµ¿·®°ø°£ÀÌ $q$ Â÷¿øÀÌ µÇ¾î¼­ $p\sim p+dp$ »çÀÌ°¡ 2Â÷¿øÀÎ °æ¿ì¿¡´Â °¡¶ôÁö °°Àº ¿øÇüÀÇ ¶ì°¡ µÇ°í, 3Â÷¿øÀÇ °æ¿ì ¾ãÀº µÎ²²¸¦ °¡Áø ±¸¸é, Áï ±¸°ûÀÌ µÈ´Ù. ÀϹÝÀûÀÎ $q$Â÷¿øÀ̶ó¸é ¹Ý°æÀÌ $p$ÀÌ°í µÎ²²°¡ $dp$ÀÎ $q$ Â÷¿ø ±¸²®ÁúÀÇ Ã¼ÀûÀ» °è»êÇØ¾ß ÇÑ´Ù. ÀÌ Ã¼ÀûÀº $p^{q-1}dp$¿¡ ºñ·ÊÇÏ¿© \[ g(p)dp \sim p^{q-1}dp \] µû¶ó¼­ $\varepsilon=p^2/2m$À» ÀÌ¿ëÇÏ¿© $g(\varepsilon)$À» ±¸Çϸé, \[ g(\varepsilon)d\varepsilon = A (2m\varepsilon)^{\frac{q-1}{2}}\sqrt{\frac{m}{2\varepsilon}} d\varepsilon \]

1Â÷¿øÀÇ °æ¿ì¿Í ºñ½ÁÇÏ°Ô º¼Ã÷¸¸ ÀÎÀÚ¸¦ °í·ÁÇÏ¿© $n(\varepsilon)d\varepsilon$À» ±¸ÇÏ°í, $N$°³ÀÇ ÀÔÀÚ·Î ±Ô°ÝÈ­Çϸé, \[ n(\varepsilon) d\varepsilon = \frac{N}{(kT)^{q/2}\Gamma(q/2)} \varepsilon^{q/2 -1} e^{-\varepsilon/kT} d\varepsilon \] ÀÌ µÈ´Ù.


_ È®·ü¹ÐµµÇÔ¼ö_ ¿îµ¿·®_ ±Ô°ÝÈ­

ÀÌ»ó±âüÀÇ ¼Ó·ÂºÐÆ÷ÇÔ¼ö

$q$ Â÷¿øÀÇ ÀÌ»ó±âüÀÇ ¿¡³ÊÁö¿¡ ´ëÇÑ È®·ü¹ÐµµÇÔ¼ö¸¦ ¼Ó·Â¿¡ ´ëÇÑ °ÍÀ¸·Î º¯È¯ÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù. \[ \varepsilon = \frac{1}{2} m v^2 \] \[ d\varepsilon = mv dv \] ¸¦ ÀÌ¿ëÇϸé, \[ n(v) dv = \frac{N}{(kT)^{q/2}\Gamma(q/2)} \frac{m^{q/2}}{2^{q/2 -1}} v^{q-1} e^{-\frac{m}{2kT} v^2} dv \] ÀÌ´Ù. 1Â÷¿øÀÇ °æ¿ì \[ n_1(v) dv = \frac{\sqrt{2m}N}{\sqrt{\pi kT}} e^{-\frac{m}{2kT} v^2} dv \] ÀÌ°í, 2Â÷¿øÀÇ °æ¿ì \[ n_2(v) dv = \frac{mN}{kT} v e^{-\frac{m}{2kT} v^2} dv \] ÀÌ´Ù. ƯÈ÷ °ü½ÉÀÖ´Â 3Â÷¿øÀÇ °æ¿ì´Â \[ \begin{equation} \label{eq1} {\large \boxed{ n_3(v) dv = \frac{\sqrt{2}m^{3/2} N}{\sqrt{\pi}(kT)^{3/2}} v^2 e^{-\frac{m}{2kT} v^2} dv }} \end{equation} \] ÀÌ´Ù.

ÀÌ»ó±âü°¡ ƯÁ¤ÇÑ ¿Âµµ $T$ ·Î À¯ÁöµÉ ¶§ ±¸¼º ÀÔÀÚµéÀÇ ¼Ó·ÂºÐÆ÷ÇÔ¼ö $n(v)$ ´Â 1859³â ¸Æ½ºÀ£(Clerk Maxwell)ÀÌ Ã³À½À¸·Î ±¸ÇÒ ¼ö ÀÖ¾ú´Ù. ¸Æ½ºÀ£Àº ´ç½Ã±îÁöÀÇ ºÐÀÚÀÇ Æò±Õ¼Ó·Â °³³äÀ» ´õ¿í ¹ßÀü½ÃÄÑ ±âüºÐÀڿ·Ð¿¡ ÀÔ°¢ÇÏ¿© ºÐÀÚÀÇ ¼Ó·ÂºÐÆ÷ÇÔ¼ö¸¦ ±¸ÇÏ°í, µÚÀÌ¾î º¼Ã÷¸¸(L. Boltzmann)Àº Ãʱ⿡ ¾î¶² ƯÁ¤ÇÑ ¼Ó·ÂÀÇ ºÐÆ÷¸¦ ÇÏ°í ÀÖ´õ¶óµµ ºÐÀڵ鰣ÀÇ Ãæµ¹ÀÇ °á°ú·Î ÀÌ ¼Ó·ÂºÐÆ÷·Î À̸£°Ô µÇ´Â °ÍÀ» Áõ¸íÇÏ¿´´Ù. ÀÌ¿¡ µû¶ó ÀÌ»ó±âüÀÇ ¼Ó·ÂºÐÆ÷ÇÔ¼ö¸¦ ¸Æ½ºÀ£ ºÐÆ÷ÇÔ¼ö³ª ¸Æ½ºÀ£-º¼Ã÷¸¸ ºÐÆ÷ÇÔ¼ö¶ó°í ÇÏ°Ô µÇ¾ú´Ù.

graph

¸Æ½ºÀ£-º¼Ã÷¸¸ ¼Ó·ÂºÐÆ÷ÇÔ¼ö_ 3Â÷¿ø ÀÌ»ó±âüÀÇ ¼Ó·ÂºÐÆ÷ÇÔ¼ö¸¦ º¸¿©ÁØ´Ù. ¿Âµµ°ªÀº 100~1500K±îÁö, ÀÔÀÚÀÇ Áú·®¼ö´Â ¿øÀÚÁú·®´ÜÀ§·Î 1~ 50±îÁö º¯È­½Ãų ¼ö ÀÖÀ¸¸ç ÀÔÀÚÀÇ ¼ö´Â 100000°³ÀÌ´Ù. ¿øÀÚÁú·®´ÜÀ§·Î ³ªÅ¸³½ Áú·®¼ö¸¦ 2·Î ÇÏ¸é ¼ö¼ÒºÐÀÚ, 32·Î ÇÏ¸é »ê¼ÒºÐÀÚ¿¡ ´ëÀÀµÇ¸ç, Ãʱ⿡´Â »ê¼ÒºÐÀÚ°¡ 300KÀÎ »ó¿ÂÀ¸·Î ÀÖÀ» ¶§¸¦ º¸¿©ÁØ´Ù. È­¸éÀÇ ¾Æ·¡ ¿ÞÂÊÀÇ 'ÃÖºó¼Ó·Â, Æò±Õ¼Ó·Â, RMS ¼Ó·Âº¸±â'¸¦ ¼±ÅÃÇϸé ÀÌµé ¼Ó·Â °ª°ú ÀÌ¿¡ ´ëÀÀµÇ´Â ÇÔ¼öÀÇ ±×·¡ÇÁ¸¦ °¢°¢ÀÇ »öÀ¸·Î Ç¥½Ã ÇØÁØ´Ù. ¶ÇÇÑ ±×·¡ÇÁ À§¸¦ ¸¶¿ì½º·Î Ŭ¸¯Çϸé ÇØ´ç ¼Óµµ¿Í ÀÌÀÇ ÇÔ¼ý°ªÀ» È­¸é ¿À¸¥ÂÊ À§¿¡ ³ªÅ¸³½´Ù. ¿Âµµ¿Í Áú·®¼ö¸¦ º¯È­½ÃÄÑ°¡¸ç ±×·¡ÇÁ ¸ð¾çÀÌ ¾î¶»°Ô ´Þ¶óÁö´Â Áö¸¦ »ìÆ캸ÀÚ. ÇÔ¼ö·ÎºÎÅÍ ¾Ë ¼ö ÀÖ´Â °Íó·³ ±×·¡ÇÁ´Â Ç×»ó Áú·®°ú ¿ÂµµÀÇ ºñ¿¡¸¸ ÀÇÁ¸ÇÏ°Ô µÈ´Ù.

ÇÑÆí ¼Ó·ÂºÐÆ÷ÇÔ¼ö·ÎºÎÅÍ ¸î °¡Áö ÀǹÌÀÖ´Â ¼Ó·Â °ªÀ» À̲ø¾î³¾ ¼ö ÀÖ´Ù. ±×Áß Çϳª´Â °¡Àå È®·üÀÌ ³ôÀº ¼Ó·ÂÀ¸·Î ÇÔ¼ö°¡ ÇÇÅ© °ªÀ» °¡Áú ¶§ÀÇ ¼Ó·Â, Áï ÃÖºó¼Óµµ(most probable velocity) $v_{mp}$°¡ ÀÖ´Ù. ÀÌ°ÍÀº ¸¹Àº ºñÀ²ÀÇ ºÐÀÚ°¡ ÀÌ ¼Ó·Â ÁÖº¯¿¡ ¸ô·Á ÀÖ´Â °ÍÀ» ¸»Çϸç, ÀÌ °ªÀº $dn(v)/dv = 0$ÀÇ Á¶°Ç¿¡¼­ ±¸ÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù. 3Â÷¿øÀÇ °æ¿ì ÀÌ °ªÀº ´ÙÀ½°ú °°´Ù. \[ v_{mp} = \sqrt{\frac{2kT}{m}} \approx 1.4142 \sqrt{\frac{kT}{m}} \] ¶ÇÇÑ Æò±Õ¼Ó·Â $v_{av}$´Â ¼Ó·ÂÀÇ ±â´ñ°ªÀ¸·Î¼­ $\int vn(v)dv$·Î ºÎÅÍ °è»êµÇ¾î, \[ v_{av} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}} \approx 1.5958 \sqrt{\frac{kT}{m}} \] ¹«¾ùº¸´Ùµµ Àǹ̰¡ Å« °ÍÀº ¼Ó·ÂÀÇ RMS °ª(RMS ¼Ó·Â)À¸·Î ¼ÓµµÁ¦°ö ±â´ñ°ªÀÇ Á¦°ö±ÙÀ¸·Î °è»êµÈ´Ù. Áï, $v_{rms}^2=\int v^2 n(v)dv$·Î¼­, \[ v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} \approx 1.7321 \sqrt{\frac{kT}{m}} \]

¼Ó·ÂºÐÆ÷ÇÔ¼öÀÇ ±×·¡ÇÁ·ÎºÎÅÍ ¾Ë ¼ö ÀÖµíÀÌ ÀÌ ÇÔ¼ö´Â Á¾ ¸ð¾çÀ» ÀÌ·ç°í ÀÖÁö¸¸ ÇÇÅ©°ªÀ» Áß½ÉÀ¸·Î ´ëĪÀÎ ÇüÅ´ ¾Æ´Ï´Ù. ¼Ó·ÂÀÇ ÇÏÇÑÀº ´ç¿¬È÷ 0 ÀÌ¸ç »óÇÑÀº ¾ø´Ù. ¶ÇÇÑ ¿Âµµ°¡ ¿Ã¶ó°¡¸é ÇÇÅ©°ªÀº ºü¸¥ ¼Ó·Â ÂÊÀ¸·Î À̵¿ÇÏ°Ô µÇ¸ç µû¶ó¼­ ±×·¡ÇÁ´Â Á¡Â÷ ÆøÀÌ ³Ð¾îÁö°Ô µÈ´Ù.



[Áú¹®1] À§ '¸Æ½ºÀ£-º¼Ã÷¸¸ ¼Ó·ÂºÐÆ÷ÇÔ¼ö' ±×·¡ÇÁ¿¡¼­ óÀ½¿¡ ³ªÅ¸³ª´Â È­¸éÀº Áú·®¼ö 32 ÀÎ »ê¼Ò ºÐÀÚ°¡ 300 K ÀÏ ¶§¸¦ ³ªÅ¸³½´Ù. È­¸éÀÇ ¾Æ·¡ ¿ÞÂÊÀÇ 'ÃÖºó¼Ó·Â, Æò±Õ¼Ó·Â, RMS ¼Ó·Âº¸±â'¸¦ ¼±ÅÃÇؼ­ ÀÌµé °¢°¢ÀÇ ¼öÁ÷ ¸·´ë°¡ ³ªÅ¸³ª¸é À̸¦ ¸¶¿ì½º·Î Ŭ¸¯Çؼ­ ÀÌµé °ªÀ» ¾Ë¾Æº¸ÀÚ. ¸¸ÀÏ »ê¼Ò¸¦ Áú·®¼ö 2ÀÎ ¼ö¼Ò ºÐÀÚ·Î ¹Ù²Ù¸é ÀÌµé °ªÀÌ ÀüüÀûÀ¸·Î Ä¿Áø´Ù. ÀÌµé °ªµé »çÀÌÀÇ °ü°è´Â ¾î¶»°Ô µÇ´ÂÁö ¾Ë¾Æº¸ÀÚ. ÀÌ °á°ú´Â ¹«¾ùÀ» ¸»Çϴ°¡?

[Áú¹®2] ¼Ó·ÂÀÌ 1.0 ÀÎ ÀÔÀÚ°¡ 2°³, 2.0 ÀÎ ÀÔÀÚ°¡ 4°³, 3.0 ÀÎ ÀÔÀÚ°¡ 3°³, 4.0 ÀÎ ÀÔÀÚ°¡ 1°³·Î µÇ¾î ÀÖ´Â 10°³ÀÇ ÀÔÀÚ·Î µÈ ±âü°¡ ÀÖ´Ù. ÀÌÀÇ ÃÖºó¼Ó·Â, Æò±Õ¼Ó·Â, RMS ¼Ó·ÂÀ» °¢°¢ ±¸Çغ¸¶ó. (¸ðµÎ SI ´ÜÀ§°è¿¡¼­ÀÇ °ªÀÌ´Ù)

[Áú¹®3] ÃÖºó¼Ó·Â, Æò±Õ¼Ó·Â, RMS ¼Ó·Â Áß¿¡¼­ ±âü ºÐÀÚÀÇ ¿îµ¿¿¡³ÊÁöÀÇ Æò±Õ°ªÀ» ¹Ý¿µÇÏ´Â °ªÀº ¹«¾ùÀϱî? À̵鿡 ´ëÇÑ À̷нÄÀ» Âü°í·Î Çؼ­ ±âü ºÐÀÚÀÇ Æò±Õ¿¡³ÊÁö°¡ ¿Âµµ¿Í ¾î¶² °ü°è°¡ ÀÖ´ÂÁö¸¦ À¯µµÇØ º¸¶ó.

[Áú¹®4] ±âü°¡ °¡Áø ¼ÓµµºÐÆ÷¸¦ ÃøÁ¤ÇÒ ¼ö ÀÖ´Â ¹æ¹ýÀÌ ÀÖÀ»±î? ÀÖ´Ù¸é ÀÌ ÀåÄ¡¸¦ °í¾ÈÇØ º¸¶ó.


_ ¿øÀÚÁú·®´ÜÀ§_ È®·ü¹ÐµµÇÔ¼ö_ ±â´ñ°ª_ º¼Ã÷¸¸_ ¸Æ½ºÀ£



Copyright ¨Ï 1999~ physica.gnu.ac.kr All rights reserved