기체의 분자운동

2차원 기체분자운동의 모의실험

아래 프로그램은 2차원의 네모 상자 속에서 탄성충돌하는 구형의 입자가 주어진 온도 값에 해당하는 운동에너지를 가진 채로 운동하고 있는 것을 보여주고 있다. 입자끼리의 충돌로 각 입자는 그 운동에너지와 운동량을 서로 교환하여 계속해서 그 값들이 변한다.

한편 입자들은 견고한 벽에 의해 반사되어 운동량의 방향이 변하지만 운동에너지 값은 그대로 유지된다. 이에 따라 벽은 바깥 방향으로 쉴 새 없는 충돌로 인한 힘을 받으며 이것이 벽에 미치는 압력이 된다.

입자의 수가 기껏 200개까지어서 열역학적인 계를 흉내내기는 어려운 점이 있지만 오랜 시간 동안 평균을 취한다면 많은 수의 입자의 상황을 재현할 것이라고 기대할 수 있다.

이에 따라 각 입자의 속력의 분포의 시간평균값을 화면의 오른편 아래의 히스토그램으로 나타내었다. 0 ~ 10 m/s의 범위에서 50구간을 나누어 일정한 시간 간격으로 샘플링한 시간평균의 값이 계산되어 그려진다. 따라서 시간이 오래 흐르면 통계적으로 많은 표본이 추출되어 거의 일정한 형태로 수렴할 것이다.

이 모의실험의 상황은 2차원에서 일어나는 일이므로 속도분포함수는 다음과 같은 2차원의 맥스웰 분포함수를 따를 것으로 예상하여 이의 이론값을 히스토그램 위에 같이 나타내어 통계역학의 예측과 일치하는 여부를 판단할 수 있도록 하였다. \[ n(v) dv = \frac{mN}{kT} v e^{-\frac{m}{2kT} v^2} dv \]

또한 단위 시간당, 단위 길이 당 각 벽에 작용하는 힘, 즉 2차원의 압력 값도 시간 평균되어 화면의 오른편 위에 누워있는 형태의 막대그래프로 기록되고 네 벽의 평균값이 N/m를 단위로 하여 값을 표시한다.

온도 값은 왼편 아래의 슬라이더로 0 ~ 10 J 의 범위로 변화시킬 수 있는 데 이 값은 $kT$의 단위로 하였다. 각 입자는 모두 1kg으로 두었고, 또한 화면의 가로 세로 폭도 왼편 위에 나타낸 것처럼 수 m 의 크기를 가지고 있어 우리가 눈으로 보는 거시세계의 규모에 해당한다. 따라서 분자나 원자의 규모로 적당히 줄인다면 실험에서의 온도 값도 상온 정도로 줄어들 수 있을 것이다.

조작방법을 잘 숙지하여 여러 측면으로 실험해 보자.

맥스웰 분포함수의 모의실험

1. 온도를 1.0 ~ 10.0 J의 범위에서 1.0 J 간격으로 변화시켜가면 각각의 온도에 해당하는 분포함수의 이론 그래프를 잘 살펴보고, 또한 오랜 시간 운동을 '실행'시켜 히스토그램이 이론값과 점차 일치해 가는 것을 잘 관찰해 보자. 이때 이론값과 일치해 가는 데 걸리는 시간은 온도와 어떤 관계가 있는지를 알아보자. 히스토그램의 상단에 'dev. (1E-5)' 로 표시한 값은 10^-5의 단위로 계산한 편차이다. 이 값이 50 정도의 작은 값을 나타낼 때까지의 'sampling #'를 비교할 수 있을 것이다.

2. 온도를 5.0 J로 고정하고 입자의 수를 3 개에서 200 개까지 변화시키면서 이론 그래프와 히스토그램이 일치하는지를 살펴보자. 이때 입자의 수가 적으면 이론 그래프를 잘 따르지 않고 히스토그램이 상한을 가지게 된다. 이렇게 되는 이유는 무엇인가? 만일에 상자의 주변에 열저장체를 설치하고, 이와 에너지를 주고받는 경우라도 이러한 상황이 생길까?

3. 입자의 수와 입자의 수를 일정하게 하고 입자의 반경을 변화시켜가며 같은 실험을 되풀이 하자. 이때 이론값과 일치해 가는 데 걸리는 시간은 입자의 수와 어떻게 관련되어 있을까?

보일-샤를의 법칙의 모의실험

1. 오른편 상단에 각 벽이 받는 압력과 이들의 평균값이 N/m 를 단위로 표시되어 있다. 온도 $T$, 입자의 수 $N$, 용기의 부피 $V$와 압력 $P$와의 관계가 다음과 같은 지를 알아보는 실험이다. \[ PV=NkT \] 여기서는 $kT$를 온도의 단위로 하였기 때문에 J 단위의 온도 $\tilde{T}$와는 $PV=N\tilde{T}$의 관계가 성립해야 한다. 용기의 부피는 상자 속의 왼편 위에 표시되어 있으며 m²을 단위로 하고 있다. (여기서는 2차원의 운동이기 때문에 압력은 단위 길이가 받는 힘으로 하여 N/m의 단위를 갖고 부피도 m²가 된다)

2. 2. 여러 상황에 따라 이 법칙이 성립하는 여부를 판단해 보자. 특히 입자의 반경이 법칙의 성립에 어떤 영향을 주는지를 알아보고 그 이유를 생각해 보자.

3. 속도분포가 이론값으로 접근하는 것과 $PV=N\tilde{T}$ 관계의 성립여부가 관련되어 있는가?

모의실험의 한계

이 모의실험이 현실의 기체를 그런대로 흉내낸다고 하더라도 몇 가지 한계를 가지고 있다. 이는 여기서의 모형이 실제의 기체 분자수 10²³에 비하여 기껏 200개 정도의 입자로 구성되었다는 것과 각 입자가 거시적인 크기를 하고 있다는 것 등에서 비롯된 것이다.

1. 상태가 열적 평형에 이르게 되지 않거나 훨씬 긴 시간이 필요하다. 예를 들어 입자의 공간적인 분포도 균질하지 못하며 또한 벽이 받는 힘도 순간적인 충격으로 전달되어 지속적인 힘이 되지 못한다.

2. 속도의 분포에서 입자가 있을 수 있는 최고 한계값이 있다. 예를 들어 입자수가 3개로서 온도가 10 J 이라면 전체 에너지는 30 J 인 데 모든 에너지를 한 입자가 갖는 극단적인 상황에서 그 입자의 속도는 7.7 m/s 이고 이것이 최고 한계속도값이 된다. 이러한 사정은 입자의 수가 많아지면 크게 문제가 되지 않아 예를 들어 500개의 입자일 때는 100 m/s 가 되고 10²³개의 입자라면 빛의 속도에 비하여도 훨씬 빠른 한계속도를 갖는다.

3. 쇠구슬이나 당구공같이 내부 구조를 가지고 있는 거시적인 입자라면 그 또한 전체 계와 열적인 상호작용을 하게 된다. 이에 따라 완전탄성충돌을 하지 않고 내부 열에너지로 흡수된다. 따라서 여기서 고려하는 입자는 기본입자와 같이 다른 내부에너지를 갖지 않는 것으로 가정한다.

4. 이상기체의 경우는 입자의 크기를 무시할 수 있고, 또한 상호작용도 최소한의 탄성충돌에 의한 것이다. 그러나 여기서는 그 크기가 용기의 크기에 비견할 수 있을 정도로 커서 이상기체의 경우와 벗어나는 행동을 하게 된다. 예를 들어 입자의 용기도 실제의 입자의 체적이나 크기를 고려하여 보다 적은 값으로 삼아야 한다. 입자가 놀 수 있는 용기의 크기도 입자의 직경을 용기의 가로 세로값에서 빼주어야 한다.

_ 내부에너지_ 탄성충돌_ 운동량