기체의 분자운동

3차원 기체분자운동의 모의실험

아래 프로그램은 앞의 2차원 기체분자운동의 경우와 거의 비슷한 상황이지만 여기서의 입자는 3차원으로 운동할 수 있고 정육면체 용기 속에 갇혀 있다.

상자 속의 입자는 각 차원당 $\frac{1}{2} kT$의 평균운동에너지를 가지고 있으므로 설정한 온도 값에 해당하는 평균 운동에너지를 다음과 같이 갖도록 하였다. \[ \overline{K} = \frac{3}{2} kT \]

또한 기체의 열적인 운동만을 만들기 위해서 전체의 운동량 벡터의 평균값은 0으로 두어 기체 분자가 특정한 방향으로 이동하지는 않는 상황으로 하였고, 또한 평균운동에너지도 각 차원별로 동등하게 분배해 가지도록 하였다.

이렇게 초기값이 주어진 입자들은 시간이 흐름에 따라 오직 입자 서로 간에나 벽과의 탄성충돌에 의해 입자들의 운동에너지와 운동량이 서로 교환된다. 따라서 공간적인 분포나 속도 분포, 에너지 분포 등이 쉴 새 없이 변하게 되지만 입자의 수가 많거나 오랜 시간에 대해 평균을 취하면 기체와 같은 열적 평형상태를 나타낼 것으로 기대할 수 있다.

여기서도 2차원의 경우와 마찬가지로 속력의 분포나 벽이 받는 압력을 시간평균하여 화면의 오른쪽 면에 나타내었고 이로부터 속도분포함수의 형태와 함께 압력과 부피, 온도 사이의 관계가 어떻게 되는지를 따져볼 수 있게 하였다.

또한 앞서 유도한 다음 3차원의 맥스웰 분포함수를 히스토그램에 겹쳐서 나타내어 모의실험의 결과와 비교할 수 있도록 하였다. \[ n(v) dv = \frac{\sqrt{2}m^{3/2} N}{\sqrt{\pi}(kT)^{3/2}} v^2 e^{-\frac{m}{2kT} v^2} dv \]

모의실험의 상황

이 프로그램은 거시적인 상황에서 열적운동을 이해하기 위해 입자의 질량이나 속도와 용기의 크기 등을 우리 눈으로 관찰하기 좋은 초기값으로 주었다. 이에 따라 속력도 0 ~ 10m/s정도로 하여 실시간으로 입자의 움직임을 관찰하기 좋도록 하였고, 또한 입자의 질량도 1kg으로 하였다.

1kg의 질량은 실제의 기체분자를 이루고 있는 입자보다 질량이 10²⁵배 이상 무겁고, 이에 따라 입자의 운동에너지도 그 정도로 큰 값을 가지고 있다. 따라서 $kT$의 단위로 표시한 온도가 J 정도의 크기이므로 이것이 10J이라 하는 것은 실제로 7.24×10²³K 정도의 어마어마한 온도 값을 갖는 것이 된다.

이러한 온도에서는 존재할 수 있는 1kg의 입자가 있다면 위 모의실험에서와 같은 열적 운동을 하는 것을 관찰할 수도 있을 것이다.

이에 따라 이 모의실험의 상황을 다음과 같이 보다 더 현실적인 영역으로 옮겨서 생각할 수 있다.

우선 이 프로그램에서의 입자의 질량을 원자량 60 정도인 원자나 분자로 하여 10^-25kg으로 한다면, J 단위의 온도 값에 10^-25를 곱해주어야 한다. 따라서 10J의 온도는 10^-24J이 되고, 이를 K 단위의 온도로 환산하면 0.0724K 정도 된다.

그리고 전체의 입자의 속도를 100배로 크게 한다면 운동에너지는 10,000배가 되어 온도 값이 그 배율만큼 커지게 된다. 따라서 앞서의 0.0724K의 온도는 724K의 온도가 되어 모의실험에서의 온도 변경범위가 0 ~ 724K가 되고, 히스토그램의 눈금은 0 ~ 1000m/s 가 되어 실제의 기체의 상황에 보다 가까워진다.

맥스웰 분포함수와 보일-샤를의 법칙의 모의실험

앞에서의 2차원의 모의실험의 절차를 그대로 따르면 된다. 단지 앞에서와 달리 압력이 실제의 압력과 같이 단위 면적이 받는 힘이 되어 N/m²가 되고 부피도 m³이 되어 PV의 차원이 N·m로 에너지의 단위 J이 된다.

_ 상자 속의 입자_ 탄성충돌_ 운동량_ 배율