렌즈의 결상

렌즈의 배율

보통 배율이라 하면 광축에 대하여 가로로 서 있는 화살의 상의 길이가 원래의 길이에 비하여 얼마나 커 보이는가를 말한다. 만일에 배율이 2라면 상의 길이는 원래 물체의 길이의 두 배가 된다. 그러나 경우에 따라 상의 방향이 달라지는 도립의 경우도 있으므로 이를 같이 나타낼 수 있도록 이 경우 음의 값으로 나타내면 편리하다. 이러한 배율을 가로배율(transverse magnification)이라 한다. 이를 $M_T$로 나타내면, \[ M_T = \frac{y_i}{y_o}=-\frac{s_i}{s_o} \]

한편 광축과 나란한 방향으로 누워 있는 화살의 경우, 그 화살이 얼마나 커져 보이는가를 나타내기 위하여 세로배율(longitudinal magnification)을 정의한다. 이 세로배율은 가로배율의 제곱의 $-$ 값이다. \[ M_L=\frac{ds_i}{ds_o} = \frac{dx_i}{dx_o} = - \frac{f^2}{x_o^2} = - M_T^2 \] 이 가로배율은 언제나 음의 값을 가진다. 이로서 물체가 오른쪽으로 향해 있으면 상도 언제나 오른쪽으로 향해 있음을 알 수 있다.

_ 광축

상의 왜곡

그 배율이 1이 아닌 한 가로배율과 세로배율의 크기가 다르다. 따라서 폭을 가지지 않고 광축에 수직으로 서있는 화살과 같은 경우를 제외하면 그 물체의 상은 가로세로의 비가 달라져서 왜곡되어 나타난다. 우리가 볼록렌즈로 신문의 작은 글씨를 확대해 볼 때처럼 신문의 면과 렌즈의 면을 나란하게 하면 허상은 그대로 커져서 보이나 만일 깊이가 있는 물체를 보게 되면 심하게 왜곡되어 보이는 것을 알 수 있다.

_ 허상_ 광축

상의 왜곡에 대한 모의실험

아래 프로그램은 볼록렌즈에서 생기는 물체의 상을 보여주고 있다. 여기서 색으로 표현된 렌즈의 위치, 렌즈의 초점거리, 물체의 중심위치를 마우스로 이동시킬 수 있다. 물체는 무지개 색으로 채색되어 있고 대응되는 부분의 상도 같은 색으로 채색되어 어떤 형태로 왜곡이 되는 지를 바로 알 수 있게 하고 있다. 한편 화면의 다른 영역에 마우스를 클릭하면 그림의 모양이 다음의 순서로 바뀐다.

여러 가지 상황에서 물체와 상의 관계를 잘 살펴보자. 그리고 가로배율과 세로배율이 달라지는 것과 물체가 왜곡되어 나타나는 지를 관측해 보자. (움직일 수 있는 것들이 화면을 벗어나게 되어 다시 돌려놓기 곤란한 경우에는 브라우저의 "새로고침"을 눌러서 초기상태로 한다)

1) 처음의 상태(초점거리 75, 상의 중심위치 150)에서 원의 상이 실상이 왜곡되어 있는 것을 볼 수 있다. 세로배율이 가로배율의 제곱의 값을 가짐을 알 수 있는가? 이 경우 상의 좌우상하가 어떻게 바뀌어 있는가?

2) 처음의 상태에서 물체의 중심을 집어서 다른 지점으로 이동시켜 보면서 1)과 같은 관측을 해보자.

3) 볼록렌즈를 돋보기로 사용해서 물체를 관측하는 상황을 만들어 보자. 초점거리는 크게 하여 렌즈와 초점 사이에 물체를 둔다. 그리고 렌즈를 이동시켜 생기는 허상의 크기가 어떻게 달라지는지를 살펴보자.

4) 초점거리를 변화시켰을 때 상의 배율이 어떻게 달라지는지를 허상의 상황과 실상의 상황에서 관측해 보자.

_ 초점거리_ 무지개_ 허상_ 실상