강제진동

연결된 진동자의 강제진동 모의실험

아래 프로그램은 용수철에 의해 많은 물체가 달려 있는 계에 강제력이 가해질 때의 진동을 보여준다.

프로그램 설명

1. 입자의 질량은 0.01 kg 으로 동일하다.

2. 용수철의 용수철 상수는 0.16 N/m 으로 동일하다. 따라서 0.01 kg의 단일 입자가 달려있는 경우의 고유진동수는 $$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = 4 ~ \mathrm{sec^{-1}}$$ 이다.

3. 속도에 비례하는 감쇠력이 작용하고 있으며, 입자의 수에 따라 약간 차이나도록 하였다. 예를 들어 입자가 5개 이상인 경우에는 감쇠계수를 0.0005 N sec/m 으로 하였고, 입자수가 적으면 감쇠계수를 조금 크게 설정하였다. (감쇠계수를 줄이면 공명파국으로 용수철이 견디지 못하고 파괴될 수 있다)

4. 막대그래프는 모든 입자가 가진 에너지를 나타내었다. 이는 강제진동에 의해 계에 전달된 에너지로서 감쇠력에 의해 에너지가 계속 소모되는 상황이다. 그리고 에너지 값은 상대적인 것으로 그래프가 적절한 크기로 나타내도록 조절하였다.

5. 시계에 표시되는 시간의 경과는 sec를 단위로 하였고, 보여주는 속도와는 차이가 있다.

6. $\omega$를 8 sec^-1까지로 하였는 데 이 이후에는 공명되는 점이 나타나지 않는다.

7. 자동추적의 경우 $\omega$를 0.05 sec^-1씩 증가시키면서 120 sec 동안 운동시킨 결과를 막대그래프로 나타낸다. 그러나 공명 진동수 부근에서는 평형상태까지 이르게 되는 데 시간이 더 필요한 경우가 있다. 추적이 끝난 후 공명점 부근으로 진동수를 수동으로 조절하여 오랜 시간을 두어 보다 정교하게 측정해 보자.

8. 자동추적의 경우 전체 진동수에 대한 결과를 완료하는 데는 1 ~ 2시간 정도 소요된다. 그리고 입자의 수를 변경하면 지금까지의 계의 에너지 그래프는 지워지므로 주의해야 한다.

graph

7개 입자의 강제진동 결과_ 7개 입자가 용수철로 연결된 계를 진동수 1 ~ 8 sec-1의 영역에서 강제진동시킨 결과로서 7개의 공명상태가 나타나 있다. 1.55, 3.05, 4.45, 5.65, 6.65, 7.40, 7.85 sec-1에서 피크를 가져 이들이 거의 공명 진동수인 것을 알 수 있다.

관찰 사항

1. 입자가 하나인 경우에는 공명 진동수가 1개이다. 입자수가 $N$개인 경우 공명진동수가 몇 개인지를 10개까지의 입자에 대한 실험을 완료하여 추정해 보자.

2. 예를 들어 입자수가 1개인 경우의 공명 진동수는 입자수가 3개, 5개, 7개, 9개인 경우에도 나타난다. 이렇게 되는 이유를 관찰하여 그 진동의 형태가 어떻게 연관되어 있는지를 살펴보자.

3. 앞과 비슷하게 입자수가 2개인 공명 진동수는 입자수가 5개, 8개에도 나타난다. 역시 이렇게 되는 진동의 형태를 살펴보자.

4. 하나의 용수철에 하나의 입자가 매달린 경우의 공명 진동수는 $\omega_0=$4 sec^-1이다. 이와 같은 공명 진동수를 가지고 있는 모든 경우를 추리해 보고 이를 실험으로 확인해 보자.

5. 공명상태에서 입자의 가로 운동을 세로로 그린 그래프를 잘 살펴보자. 진동자와 고정단 사이에서 입자는 대체로 특정한 함수모양을 따라가는 것 처럼 보일 것이다. 이 함수의 꼴은 무엇일까? 입자를 연결한 꺾은선 그래프는 공명상태에 따라 적절하게 마디를 형성하는 것을 보여준다. 마디의 수와 공명의 순위와의 관계를 알아보자.

[질문1] 계의 에너지는 어떻게 계산하여야 할까?

[질문2] 진동자는 때로는 에너지를 계에 제공하기도 하고, 에너지를 뺏기도 한다. 또한 계는 저항이나 마찰에 의해 약간의 에너지를 잃어버린다. 공명상태와 공명 아닌 상태의 경우 각각에 대해 에너지의 흐름을 설명하라.

[질문3] 용수철의 왼쪽 끝이 진동자에 의한 강제력으로 진동을 하지만 공명상태에서는 이 지점을 고정점으로 한 정상파로 해석해야 하는 이유가 무엇인지 생각해 보자.

[질문4] 만일 오른쪽 끝에도 왼쪽과 동일한 진동자를 설치하여 왼쪽과 같은 위상으로 강제 진동시키면 결과가 어떻게 달라질까? 왼쪽과 반대의 위상(180도)으로 진동시키는 경우는 어떠할까?

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