감쇠조화진동

속도에 비례하는 저항력을 갖는 조화진동자의 경우의 운동은 해석적 풀이가 가능하다. 이 경우 질량

$m$ 인 물체의 운동방정식은 다음과 같다.

$m \frac{d^2 x(t)}{dt^2} = - kx(t) - b \frac{dx(t)}{dt}$ 여기서 속도에 비례하며 움직이는 반대방향으로의 힘이 오른편 마지막 항으로 표시되어 있다. 비례계수

$b$ 를 감쇠계수라 하고 이 값이 커질수록 감쇠력이 커져서 빠른 시간 이내에 평형위치로 돌아 가게 되고, 이 값이 작으면 거의 감쇠가 일어나지 않고 진동이 오랫동안 지속될 것으로 예상할 수 있다. 위 운동방정식의 해는

$x(t) = e^{pt}$ 로 가정하여

$p$ 를 찾는 방정식으로 바꾸어 풀 수 있다. 이

$p$ 가 만족하는 방정식은

$mp^2 + bp + k = 0$ 이고, 이를 만족하는

$p$ 값은 다음과 같다.

$p = - \frac{b}{2m} \pm \sqrt{ \left( \frac{b}{2m}\right)^2 - \frac{k}{m}}.$ 여기서

$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}, \quad\quad \gamma= \frac{b}{2m}$ 로 이

$p$ 를 나타내면,

$p = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}$ 이 식에서 오른쪽 두 번째의 제곱근항은

$\omega_0 \gt \gamma,\quad\omega_0 \lt \gamma,\quad\omega_0=\gamma$ 의 세 조건에 따라 허수, 실수, 0이 되어

$p$ 의 근은 각각 두 허근, 두 실근, 중근을 갖게 된다. 이

$p$ 가 두 실근, 중근, 두 허근을 갖는 데 따라서 운동의 양상이 판이하게 달라지게 된다. 감쇠력이 없다면

$b = \gamma= 0$ 이어서

$p$ 는 두 개의 허근

$i\omega_0$ 와

$-i\omega_0$ 를 가져 끊임없이 진동하는 운동이 일어나지만

$b\neq 0$ 인 경우

$p$ 의 실수항

$\gamma$ 로 인하여 예측할 수 있었던 것처럼 시간에 따라

$x$ 가 줄어드는 것을 나타내게 된다.

한편 중근을 갖는 경우에는

$x(t) = t e^{pt}$ 형의 해를 하나 더 도입하여야 한다. 이는 2계미분방정식이 두 개의 독립적인 특수해가 필요하기 때문이다.

$\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}, \quad\quad \gamma_{1,2} = \gamma\pm\sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}$ 로 놓고 근의 종류에 따른 운동의 모양을 살펴보자.

진폭이 줄어드는 진동

두 허근을 갖는 경우 해는

$x(t) = A e^{-\gamma t}\sin(\omega_1 t + \phi)$ 가 되어 감쇠가 일어나지 않는 경우에 비하여 진동수는 작은 값을 갖게 되고, 시간이 지남에 따라

$e^{-\gamma t}$ 의 비율로 진폭이 줄어드는 진동으로 미약감쇠(underdamping)이라 한다.

서서히 평형위치로 접근

두 실근을 갖는 경우에는 진동을 하지 않고 다음과 같이 계속해서 평형점으로 수렴하는 운동의 과다감쇠(overdamping)을 하게된다.

$x(t) = C_1 e^{-\gamma_1 t}+C_2 e^{-\gamma_2 t}$

빨리 평형위치로 접근

한편 중근을 갖는 경우에는

$x(t) = (C_1 + C_2 t ) e^{-\gamma_1 t}$ 가 되어 역시 진동을 하지 않고 평형위치로 수렴하는 운동이지만 앞의 경우에 비하여 급격하게 수렴하여 이를 임계감쇠(critical damping)이라 한다.

graph