양자통계

양자통계

'열과 물질의 상태' 단원에서 '통계역학'의 기본 개념을 알아보았다. 무수히 많은 입자로 이루어진 계가 어떤 특정한 거시적인 상태에 있을 확률은 이에 해당하는 미시적인 상태의 수에 비례한다는 것이다. 그리고 이 미시 상태의 수는 위상공간에서의 체적에 비례한다는 가정으로 이상기체의 속도분포를 정확하게 계산할 수 있었다.

그러나 상태의 수의 의미를 고전적인 발상으로는 받아들이기 어렵다. 즉, 고전적으로는 입자가 연속적인 값을 다 가질 수 있어서 상태를 수로 센다는 것이 불가능하기 때문이다. 물론 확률이 상태의 수에 비례하게 주어지므로 상태가 연속적이라도 적절하게 확률밀도의 개념을 도입할 수도 있겠지만 그렇다하더라도 위상공간으로 그 척도를 삼는 것의 명확한 이유는 없다.

그렇다면 양자역학으로 해석하면 어떨까? 양자역학은 근본적으로 계가 띄엄띄엄한 상태에 있다고 가정하므로 통계역학과의 연결이 아주 자연스럽다. 즉, 계의 미시상태는 아무리 그것이 조밀하게 주어지더라도 상태가 명확하게 구별되고, 따라서 그 수를 세어 확률을 연관시키는 것에 대해 달리 해석할 여지가 없기 때문이다.

양자역학에서의 입자는 앞서 '파동함수의 대칭성'에서 알아본 것처럼 기본적으로 구별 불가능할 뿐더러 그 종류에 따라 페르미온과 보손으로 나뉘어지므로 이를 감안하여 통계역학을 다시 구성할 필요가 생겼다. 페르미온이라면 한 상태에 두 입자가 들어갈 수 없기 때문에 이 제한이 집단의 성격을 바꿀 것이다. 보손의 경우라도 비록 고전적인 입자처럼 상태에 점유되는 수는 제한이 없지만 이제 입자 서로를 분간하지 못하므로 이것 때문에 집단의 성격이 역시 달라지게 된다 이렇게 양자역학의 결과를 통계역학에 가미한 것을 양자통계라 한다.

_ 파동함수의 대칭성_ 페르미온과 보손_ 통계역학_ 이상기체_ 위상공간_ 양자역학_ 확률밀도

고전 분포함수

온도 $T$인 열저장체에 열적으로 접합하고 있는 S 계가 에너지 $\varepsilon$의 특정한 한 상태에 있을 확률은 다음과 같이 주어진다. \[ P(\varepsilon) = C \exp \left( - \frac{\varepsilon}{kT} \right) \] 여기서 오른쪽의 지수함수를 '볼츠만 인자'라 하였고, 이것이 S 계의 통계적인 거동을 결정한다. 이렇게 고전통계와 마찬가지로 볼츠만 인자를 도입하는 것은 양자통계에서도 그대로 적용되나 차이가 있다면 S 계의 상태에 대한 해석이 보손이냐, 페르미온이냐, 아니면 고전적인 것이냐에 따라 달라지는 점이다.

고전적인 입자: 맥스웰-볼츠만 분포함수

서로 상호작용이 없고 분간 가능한 고전적인 입자를 양자역학적으로 해석해 보자. 이 입자는 각각 별개의 파동방정식, 파동함수를 따를 것이다. 따라서 각 입자는 개별적으로 볼츠만 인자에 의한 확률의 지배를 받는다. 만일에 그 입자들의 물리적인 행동이 동일하다면 이들의 파동방정식으로부터 계산되는 상태도 모두 동일하게 나열될 것이다. 그중 $\varepsilon$인 상태를 생각했을 때, 계 속의 많은 입자가 이 상태에 있을 수도 있겠지만 각각은 나름대로의 $\varepsilon$인 상태에 있는 것이지 하나의 상태에 많은 입자가 몰려 있다고 해석할 이유가 없다.

따라서 이러한 고전적인 입자가 각자의 $\varepsilon$의 상태에 있을 확률은 오직 볼츠만 인자에 의존하고, 이 상태에 점유된 입자의 평균 개수는 다음과 같이 주어진다. \[ f_{MB}(\varepsilon) = e^{-\alpha} e^{-\frac{\varepsilon}{kT}} \] 이를 맥스웰-볼츠만 분포함수(Maxwell-Boltzmann distribution function: MB 분포함수)라고 한다. 이 식에서 $\alpha$는 S 계에 들어 있는 전체 입자의 개수 등 다른 속박조건으로 정하게 되는 상수이다.

_ 에너지 준위_ 볼츠만 인자_ 파동방정식_ 페르미온_ 열저장체_ 양자역학_ 파동함수_ 온도_ 보손