에너지 띠 이론

결정의 상태밀도

양자상태가 얼마나 밀집되어 있는가?

앞서 크로니그-페니 모형의 고유에너지를 구하고 이 상태에 대한 파동함수를 풀이하는 절차를 알아보았다. 이로부터 격자수 $N$이 커짐에 따라서 에너지 고윳값이 연속적으로 되어서 띠 형태를 이루는 원리도 살펴보았다. 이 모형은 1차원인 데다가 퍼텐셜의 형태가 실제 결정과는 차이가 나겠지만 전체적으로 실제 상황과 맥락은 비슷하다. 따라서 크로니그-페니 모형에 대한 이해를 바탕으로 결정의 여러 물리적인 특성을 파악할 수 있다.

이러한 결정의 특성 중에서 고유상태가 얼마나 밀집되어 있는가를 알아내는 것이 중요하다. 결정의 각 원자들은 공유하는 전자로 1개 이상을 제공하게 되는 데 이것이 각각의 고유상태 하나하나에 자리잡게 된다. 한편 하나의 에너지 띠에는 실제로 격자당 1개의 상태를 만들게 되어 격자 하나가 전자 1개를 제공한다면 스핀을 고려했을 때에 에너지 띠의 반을 채울 것이다. 만일 2개의 전자를 제공한다면 띠가 다 채워지게 되고, 이러한 특성에 따라 부도체, 반도체, 도체로 전기적인 행동이 판이하게 달라지게 된다. 한편 이들의 열적인 특성은 각 띠에 가능한 상태가 어떻게 밀집되어 있는가와 금지띠의 폭 등에 관계된다. 특히 금지띠의 폭은 띠틈(band gap)이라 하는 데, 이는 전자기 그 폭을 극복하여 위의 띠로 들뜨기가 얼마나 어렵냐를 좌우하기 때문에 중요하다.

1차원의 크로니그-페니 모형에서 상태의 밀집정도를 나타내는 상태밀도(density of states: DOS)를 단위길이, 단위에너지에 대한 상태수로 정의하면 크로니그-페니 모형의 경우 상태밀도는 다음과 같이 계산된다. \[ g(E) = \frac{1}{L}\frac{\delta \#}{\delta E} = \frac{1}{L} \frac{\delta \#}{\delta k} \left| \frac{\delta E}{\delta k} \right|^{-1} \] 여기서 $\#$는 상태수, $L$은 고리의 길이 $Na$이다. 실제의 결정의 격자수 $N$은 거의 무한대로 볼 수 있어서 $k$는 연속적인 값을 가지는 것으로 보고 $k$의 양자화 관계 $kNa=2l\pi$을 이용하면 \[ \frac{\delta \#}{\delta k} = \frac{Na}{2\pi} \times 2 \times 2 \] 이 된다. 여기서 전자의 스핀과 두 가지와 $\pm k$의 두 상태가 있는 것을 반영하여 4 배 하였다. 이제 상태밀도함수는 다음과 같다. \[ \begin{equation} \label{eq3} \fbox{$ g(E) = \frac{2}{\pi} \left| \frac{\delta E}{\delta k} \right|^{-1} $} \end{equation} \]

다음 그림은 크로니그-페니 모형의 상태밀도를 그래프로 보여준다. \eqref{eq3} 식에 의하면 k-E 그래프의 기울기가 완만할수록 상태밀도는 큰 값을 가지는 것으로부터 에너지의 함수로서의 상태밀도의 대략적인 형태를 예상할 수 있다. 또한 금지띠에서는 상태가 존재하지 않으므로 0 이어야 한다.

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