에너지 띠 이론

아래 프로그램은 주기적인 계단형 퍼텐셜을 가지고 있는 고리에서 전자의 양자 상태를 보여준다. 계산은 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 수치해석으로 풀이한 결과이며, 확률밀도함수나 파동함수를 다양하게 보여준다.

exp

크로니그-페니 모형의 양자상태_ 원형 고리에 주기적인 퍼텐셜에너지가 주어져 있다. 퍼텐셜에너지는 주기가 $a=b+c$ 인 계단형 주기함수로 $0\sim b$에서는 0, $b\sim a$ 에서는 $U_0$의 값을 가지고 있다. 왼쪽의 고리에 형성되는 각 모드에 대한 파동함수를 ' ▶ '의 선택에 따라 다양한 방법으로 보여준다.

프로그램 설명

1. 앞서 설명한 크로니그-페니 모형의 풀이과정을 그대로 밟아서 파동함수를 구하여 그 결과의 파동함수를 고리 형태로 표현한다.

2. 풀이 과정은 다음과 같다. (a) 격자의 수에 따라 허용되는 $k$값에 해당하는 가능한 $E$를 찾는다. 이 과정에서 이분법(bisection method)을 20회 이상 거듭하여 근을 정교하게 찾도록 한다. (b) 여럿의 $E$의 근 중에서 선택된 순번 $p$ 번째의 근에 대한 $k_1, k_2$가 정해지고 이로부터 $A,B,C,D$의 연립방정식이 다시 구성된다. 이때 네 식 중에서 한 식은 버린다. (c) $A$는 임의의 값을 부여한다. (d) 다시 $B, C, D$에 대한 세 연립방정식을 풀이하여 이들을 확정한다. (e) 규격화 조건으로 $A,B,C,D$를 다시 결정한다.

3. 내부적으로는 $\hbar=2m=1$의 단위계로 계산하였으나 보여주는 값들은 전자에 대한 것으로 환산하였으며, 이에 대해서는 '정상상태의 수치해석의 단위계'을 참고할 수 있다.

4. 화면 위 중앙의 ' ▶ '의 선택에 따라 파동함수를 실수부와 허수부 (Re and Im graph), 확률밀도 (Probability), HSV 색표시에 의한 복소수의 색채 (Color Image), 절대값과 위상의 채색 (Abs. Graph)으로 보여준다. 이러한 표현은 '양자파동의 운동' 등 다른 단원을 참고할 수 있다.

5. 처음 나타나는 파동함수의 그래프는 실수부를 붉은 선, 허수부를 녹색 선으로 나타낸 것이며, 두 원 사이의 원이 함숫값이 0인 기준축이다.

6. 퍼텐셜의 $b, c, U_0$ 등은 각각의 해당 슬라이더로 변경할 수 있으며, 이에 따른 퍼텐셜의 그래프를 오른쪽 중앙과 왼쪽의 파동함수의 안쪽에 나타내었다. 또한 각각의 그래프에는 주어진 상태에 해당하는 고유에너지를 수평선과 원으로 나타내었다.

7. '# of lattice'로 퍼텐셜의 주기의 수를 2 ~ 15 의 범위로 변경할 수 있으며, 이를 격자로 주어지는 원자에 의한 것이라고 보았을 때의 원자의 위치를 'show atom'으로 볼 수 있다.

8. 고유모드는 'k mode'와 'energy order'로 선택할 수 있으며, 이 상태에 대한 파동함수와 에너지 고윳값을 보여준다.

9. 'run' 버튼으로 시간의 진행에 따른 파동함수의 운동을 보여준다. 이때 시간의 경과는 fs 단위로 버튼 바로 위에 보여준다. 이때 'x 10 speed'로 진행속도를 10배 빨리 할 수 있다.

10. 격자수 $N$과 $n$값이 크면 파동함수의 파장이 줄어든다. 이 경우에는 파형이 제대로 나타나지 않을 수 있다. 대체로 둘의 곱 $N\cdot n$이 50을 넘으면 해상도가 파형을 변화를 따르지 못해서 그래프가 왜곡되거나 엉뚱하게 표현될 수 있다. $n$을 낮은 값에서 서서히 높히면서 관찰하면 왜곡 여부를 쉽게 판단할 수 있다. 그러나 이 경우라도 $E$의 값은 정확하다.

11. 'copy data' 버튼을 누르면 선택된 조건에서의 파동함수 데이터를 클립보드에 복사한다.

관찰사항

1. 처음 주어진 조건에서의 시간 $t=0$의 파동함수는 실함수임을 그래프로부터 확인하라. 이를 'copy data' 버튼으로 복사해서 엑셀 등 다른 프로그램으로 데이터를 살펴보라.

2. 시간을 경과시켜서 파동함수의 행동을 보면 실수부와 허수부가 경우에 따라 시계, 혹은 반시계방향으로 회전하는 것을 알 수 있다. 즉 위상이 회전하는 것이다. $l$이나 $n$에 따른 위상의 회전상황을 살펴보고 적절한 표로 작성해 보자. 어떤 규칙이 있는가?

3. 경우에 따라 고리에 파동함수가 0 이 되는 지점 즉, 마디가 나타나기도 한다. 원을 그려서 원자(atom)의 위치에 대한 마디점을 찾아서 표시해 보자. $N$과 $l$, $n$ 등을 다양하게 변화시키면서 특별한 규칙이 있는지 알아보자.

4. $ka=q\pi$인 조건에서 에너지의 불연속이 생겨서 간극이 나타난다. 이 경우 간극 양쪽의 고유에너지도 크게 바뀌지만 파동함수도 극적으로 바뀐다. 앞의 '크로니그-페니 모형의 띠 구조'의 그래프로부터 이를 살펴보고, 이와 같은 조건을 만들어서 파동함수의 형태가 어떻게 간극 사이에서 바뀌는 지를 관찰하자. 예를 들어 $N=4$라면 $l=2$로 두고 $n=1$과 $n=2$을 비교한다. 이로부터 에너지 간극이 존재하는 이유를 정성적으로 설명해 보자. (앞 단원의 '에너지띠의 간극'의 설명을 참고할 수 있다)

[질문1] ' ▶ '로 'Probability' 보기를 선택하면 확률밀도함수를 보여준다. 이 함수는 격자점에 대한 주기함수가 되는 것을 확인할 수 있을 것이다. 이를 블로흐의 정리로부터 증명하라.