정상상태

다음은 퍼텐셜 장벽에서 파동이 어떻게 행동하는지를 나타내는 모의실험이다. 퍼텐셜의 폭과 높이를 조절할 수 있으며, 왼편에서 입사하는 입자의 에너지도 조절할 수 있다.

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퍼텐셜 장벽 모의실험_ 화면의 아래에 퍼텐셜의 폭, 높이를 슬라이더로 조절할 수 있고, 또한 왼쪽에서 오른쪽으로 입사하는 입자의 에너지를 조절할 수 있다. 각 영역에서의 파동함수를 다양한 형태로 보여주며, 반사율과 투과율도 나타낸다.

프로그램 설명

1. 맨 위의 그래프는 파동함수의 실수와 허수부를 다른 색채로 나타내고, 그 다음의 붉은 화살 그래프는 각 지점의 복소파동량을 복소평면 위에 보인다. 또한 색채 그림은 복소파동함수를 HSV 색모형으로 표현한 것이다. 마지막 그래프는 확률밀도함수로 시간을 흐르게 하더라도 변하지 않으므로 정상상태라는 것을 확인할 수 있다.

2. 여기서 사용하는 단위는 $2m =1$, $\hbar = 1$로 둔 것이다. 따라서 앞의 이론적인 해석에서의 $k, q, \kappa$는 순서대로 $\sqrt{E}$, $\sqrt{E-U_0}$, $\sqrt{U_0-E}$가 된다. 이러한 단위계에서 결과를 실제의 물리적인 상황으로 해석해 내는 데는 '정상상태의 수치해석' 단원의 '정상상태의 수치해석의 단위계'에서의 설명을 참고하라. $x$의 값은 맨 위 파동함수의 그래프에 눈금으로 표시했으며 작은 눈금이 0.1, 큰 눈금이 1의 간격으로 되어 있어 이를 이용하여 파장 등을 구할 수 있다.

3. '운동'시키면 복소수의 파동함수의 행동을 다양하게 보여주게 되며 맨 아래 그래프로 확률밀도함수도 보여준다.

4. 퍼텐셜의 높이는 -100 ~ 100까지 변경할 수 있으며, $-$ 값인 경우에는 퍼텐셜 우물에 해당하고, + 인 경우가 퍼텐셜 장벽이다.

5. 입사하는 파동의 에너지는 0.1 ~ 20까지 조절할 수 있으며, 이 에너지가 퍼텐셜 장벽의 높이보다 작은 경우가 터널효과에 해당한다.

6. 화면 오른쪽 위의 '데이터복사' 버튼을 누르면 누르는 시점에서의 각 지점의 퍼텐셜, 복소파동함수, 확률밀도함수를 클립보드에 복사한다. 이를 다른 데이터 처리 프로그램에서 붙여넣기 하여 그래프를 다시 그리거나 분석할 수 있다.

터널효과 실험

1. 처음에 주어진 조건은 퍼텐셜 폭이 1, 높이가 15 로 주어진 장벽에 10의 에너지를 가진 입자가 입사하고 있다. 이 데이터를 클립보드로 복사해서 Excel 등의 계산표 프로그램에 붙여 넣어 정교한 그래프를 그려라.

2. 위에서 취득한 데이터를 분석해서 반사율과 투과율의 프로그램에서 표시된 것과 같은지 확인하라. 또한 실수와 허수 성분의 파동함수를 분석해서 이들이 슈뢰딩거 방정식의 해가 되는지를 검증하라. (이때 1차 미분이나 2차 미분을 계산표 프로그램에서 수치해석으로 행해서 확인할 수 있다. '정상상태의 수치해석' 단원의 '정상상태의 수치해석 기법'에서 1차 미분과 2차 미분식을 참조하라)

3. 입자를 전자로 하고 또한 에너지를 eV 단위로 해서 단위없이 주어진 길이와 에너지의 값에 적당한 단위를 부여하라. 이때 '정상상태의 수치해석' 단원의 '정상상태의 수치해석의 단위계'에서 설명한 내용을 참조할 수 있다. 이를 이용해서 위 데이터를 전자의 경우에 대해 구체적인 단위를 명기해서 그래프를 다시 그려라.

기타 실험

1. 이제 퍼텐셜 높이를 입사 에너지와 같은 값으로 두어 장벽에서의 파동함수의 형태를 관찰하라. 이 함수는 무슨 함수와 가까울까? 퍼텐셜 폭을 최대로 넓히면 함수 모양을 잘 알아볼 수 있다. 이를 정교하게 확인하려면 '데이터복사'로 데이터를 읽어서 다른 프로그램으로 분석할 수도 있을 것이다.

2. 입사 에너지가 퍼텐셜 높이와 거의 같을 때 투과율은 다음과 같다. 데이터의 분석을 통해서 이 관계를 검증하라. \[ \mathcal{T} = \frac{1}{1+(ka)^2} \]

3. 처음에 주어진 상태에서 퍼텐셜 높이를 15 부터 100까지 5 간격으로 변화시키면서 각각에 대해 투과율을 측정하고 이를 가로 축을 장벽의 높이로, 세로 축을 투과율로 해서 그래프를 그려라. 마찬가지로 장벽의 높이를 20 정도로 고정해서 입사에너지를 2부터 20까지 2 간격으로 투과율을 측정해서 이를 그래프로 그려라. 이 결과와 앞 페이지의 그래프와 비교해 보라.

4. 한편 퍼텐셜 높이를 $-$로 해서 몇 가지 입사 에너지에 대해 투과율을 측정하라. 입사 에너지를 변화시키면서 투과율이 100%가 되게 하는 값이 얼마인지를 되도록이면 빠트리지 말고 기록하자. 이것이 다음의 관계를 만족하는 지 검증해 보자. \[ \begin{equation} \label{eq1} E = -U_0 + \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{8ma^2} \end{equation} \]

5. 이제 퍼텐셜 높이를 11로, 입사 에너지를 10으로 하고, 퍼텐셜 폭을 0 으로부터 4까지 0.1 간격으로 투과율을 측정해서 가로를 퍼텐셜 폭, 세로를 투과율로 해서 그래프를 그려라. 이 그래프를 통해 두께에 대한 투과율이 어떤 함수 모양인지 분석해 보자.

[질문1] 반사율이 거의 1인 상황은 파동이 100% 반사된다. 이 경우 $x \lt -a$의 I 영역에서는 파동값이 0을 유지하는 마디점이 몇 개 생기는 것을 볼 수 있다. 이를 I 영역의 해로 부터 설명하고, 이때 마디의 간격과 에너지는 어떻게 관련되어 있는가?

[질문2] 여기서의 터널효과 실험과 '파동묶음의 운동 모의실험'에서의 터널효과 실험과 결과를 비교해 보라. 두 실험 사이의 차이는 무엇일까?

[질문3] 같은 퍼텐셜 장벽에서 전자와 양성자가 같은 에너지로 다가올 때 투과할 확률이 같을까?

[질문4] 전자가 높이 $U_0=10 \mathrm{eV}$, 폭 1 nm인 장벽으로 8 eV의 에너지로 다가온다. 이 경우 투과율은 얼마인가?

[질문5] $U_0$이 음인 경우에는 입사하는 입자의 에너지에 따라 투과율이 100%가 안되는 경우도 있다. 한편 빛이 굴절률이 다른 곳을 통과할 때도 마찬가지 상황이 있을 수 있다. 둘의 유사성을 비교해서 설명하라.

[질문6] 퍼텐셜 높이와 입사파동의 에너지가 같은 경우에는 앞에서 다룬 II 영역의 해의 형태와 달라진다. 이 경우의 해가 다음과 같이 나타내어지는 것을 확인하라. 또 이에 대해 연속, 미분연속의 경계조건을 적용해서 각 계수들을 정하라. \[ \psi(x) = A x + B \]