물질파의 파동함수

복소파동함수

물질파의 파동함수는 복소수이다.

보통의 파동은 파동량을 직접 측정할 수 있다. 예를 들어 줄의 파동이나 수면파, 막의 파동 등은 평형위치에서 벗어난 정도가 파동량이기 때문에 변위의 값을 갖는다. 따라서 측정가능한 양이다. 물리적으로 관찰가능한 양은 실수이므로 이러한 파동의 파동함수는 실수함수여야 한다. 경우에 따라 복소함수로 다루기도 하지만 이는 오직 계산의 편의를 위한 것이고, 최종적으로 물리적인 의미를 부여할 때는 이의 실수 부분만을 따져준다.

그러나 물질파의 파동량 $\Psi$는 그것의 절대치 제곱이 입자를 발견할 확률로서 측정 가능한 양이지만 파동량 자체로는 그런 제한이 없다. 그러므로 파동함수는 복소수의 함수, 즉 복소파동함수가 될 수 있다. 뒤에서 다루게 되지만 물질파의 파동방정식이 복소수로 표현되기 때문에 오히려 복소함수가 더 기본이라 할 수 있다.

따라서 가장 일반적인 물질파의 파동함수는 $$\Psi(x,t) = \Re[\Psi(x,t)] + i \Im[\Psi(x,t)] = R(x,t) e^{iS(x,t)}$$ 으로 표현된다. 복소함수의 크기 $R(x,t)$는 파동의 진폭이고, 복소함수의 편각 $S(x,t)$는 파동의 위상이다. 그리고 입자를 발견할 확률은 다음과 같이 진폭의 제곱으로 직접 관찰가능한 양이지만 위상은 관찰가능하지 않다. $$P(x, t) = |\Psi(x,t)|^2 = \Psi^*\Psi = (Re^{-iS})(Re^{iS}) = R^2(x,t)$$ 마치 $+x$ 방향으로 진행하는 파동의 기본요소를 $\sin(kx-\omega t)$으로 삼는 것처럼 복소파동함수의 기본요소는 다음 함수로 삼는다. $$\Psi (x, t) = \Psi_0 e^{i(kx-\omega t)} = \Psi_0 \left[ \cos (kx-\omega t) + i \sin (kx-\omega t) \right]$$ 이에 대한 입자를 발견할 확률밀도는 $P(x,t)$는 $|\Psi_0|^2$이 되어 전 공간에서의 확률이 동등하게 주어진다. 따라서 sin 함수처럼 확률밀도가 마디와 배를 가지고 있는 것이 아니다. 그러나 위의 기본함수를 $k$나 $\omega$를 달리하여 합성하면 임의의 파동을 다 만들 수 있다. (이에 대해서는 '파동의 성분' 단원의 '푸리에 적분'에서 다루었다)

다음 그림은 1차원의 복소파동함수를 다양한 방법으로 표현하고 있다. 즉, 실수부와 허수부를 따로 나타낼 수도 있기도 하고, 각 지점에 복소평면을 설정하여 이 위에서 화살로 나타낼 수 있다. 아울러 앞서 HSV 색모형으로 나타낼 수 있다. 그러나 차원이 2, 3차원이 되면 이를 평면에 한꺼번에 나타내기는 어렵다.

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