유도광학 효과

복굴절이 없는 물질이라도 이에 변형력(stress)이 가해져서 한쪽으로의 변형(strain), 즉 물체가 찌그러지게 되면 물질의 구조에서 대칭성이 깨어져서 복굴절물질이 될 수 있다. 이러한 현상을 광탄성(photoelastic)이라 하는 데 복굴절이 일어나는 정도로 변형의 정도를 알 수 있고, 나아가서 물질에 가해진 변형력을 알 수 있다. 광탄성을 측정하는 간단한 방법으로는 물체의 앞뒤에 서로 직교하는 편광판을 설치하여 이들을 통과하는 빛의 밝기를 조사하는 것이다. 이때 물체가 변형되지 않으면 빛이 차단되어 전체적으로 검게 보일 것이나 변형이 일어난다면 빛은 얼마만큼 통과할 수 있을 것이다. 특히 물질의 변형이 전체적으로 일정하지 않으면 위치 따라 복굴절의 정도가 달라지므로 통과하는 빛도 얼룩무늬를 이루어 변형의 정도를 전체적으로 파악할 수 있게 된다.

애초 이러한 광탄성은 스코틀랜드의 물리학자인 브루스터(Sir D. Brewster)가 발견하였는 데, 현대에 이르러서 역학적인 구조물이 받고 있는 힘의 분포를 측정하는 기법을 제공한다. 예를 들어 어떤 건축 구조물이 안정할지를 평가할 때 이와 같은 모양의 투명한 모형을 만들어서 적절하게 힘을 가한 후 광탄성을 조사한다. 이로부터 구조물에 힘이 집중되는지 여부와 나아가서 구조의 안정성을 알 수 있는 것이다.

물질이 받는 변형력은 어떤 면에 대해 수직으로 걸리는 수직변형력(normal stress)과 층밀림변형력(shear stress)으로 나눌 수 있는 데 좌표계를 회전하여 수직변형력만으로 나타낼 수 있다. 이를 주변형력(principal stress)라고 한다. 빛의 진행 방향에 수직인 두 개의 주변형력 중에서 큰 것을 $\sigma_1$ (최대변형력), 작은 것을 $\sigma_2$ (최소변형력)이라 한다면 이 두 방향의 편광에 대한 굴절률의 차이는 $(\sigma_1-\sigma_2)$에 비례한다. 즉, \[ n_2 - n_1 = C (\sigma_1-\sigma_2) \] 여기서 $C$는 물질의 변형력광학상수(stress-optic coefficient)이다. 물질의 두께가 $d$이고 파장 $\lambda_0$인 빛에대한 위상지연값은 \[ \Gamma = \frac{2\pi}{\lambda_0} d ~ C(\sigma_1-\sigma_2) \] 이다. 보통 $C$는 $10^{-11}~\text{Pa}^{-1}$정도의 값을 가진다. 예를 들어 약 10 기압(~1 MPa)의 변형력이 가해지는 시료의 경우 두 주축의 굴절률의 차이는 $10^{-5}$ 정도이다. 만일 시료가 10 mm의 두께이고, 파장이 500 nm라면 0.2 파장차이로 위상지연은 $0.4 \pi$가 되어 편광상태의 변화가 가시적으로 나타날 것을 예상할 수 있다.

편광기 - 광탄성 측정장치

아래 그림은 물질의 광탄성을 측정하는 장치인 편광기(polariscope)로 좌측에서 입사한 편광안된 빛이 오른쪽 검광판으로 얼마만큼 통과했는가를 측정하여 '광탄성체'로 표시한 물질에 걸려있는 변형력을 알아내게 된다. 기본적으로 물질의 양쪽에 편광판과 검광판을 배치하는 면편광기(plane polariscope)와 이들과 물질 사이에 1/4파장판 두 개를 배치하는 원편광기(circular polariscope)의 두 가지 구성이 있다. 그림에서 '검광판 평행'을 선택하면 편광판과 검광판의 편광축이 평행으로 배치되고, 선택하지 않으면 수직으로 배치된다. 여기서 편광판의 편광축은 언제나 $x$방향이고, 검광판의 편광축은 선택에 따라 $x$와 $y$ 방향이 된다. '파장판 배치'을 선택하면 원편광기의 경우로, 편광판의 뒤와 검광판의 앞에 1/4파장판이 배치된다. 파장판은 빠른축을 붉은 색, 느린축을 푸른 색으로 나타내고 있으며, 편광판 뒤의 파장판은 느린축이 $x$ 축에서 $y$ 축으로 45° 기울여져 있다. 따라서 이때 물질에 입사하는 빛은 좌원편광이 된다. 이 경우 '파장판 평행' 체크박스를 선택하면 검광자 직전의 파장판의 빠른축과 느린축이 입사쪽 파장판과 같은 방향으로 배치되고, 선택치 않으면 90° 회전하여 배치된다.

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광탄성의 측정_광탄성의 측정방법을 보여준다. 편광판과 파장판을 이용하여 물질에서 편광상태가 어떻게 변하는가를 관찰하게 하여 물질의 변형력을 알 수 있다. 편광판과 파장판의 배치에 따라 몇 가지 측정방법이 있으며, 이들은 '검광판 평행', '파장판 배치', '파장판 평행'의 체크박스를 적절히 선택할 수 있다.

면편광기의 편광해석

우선 앞의 면편광기의 배치를 생각한다. 편광판을 통과해서 물질에 입사하는 빛의 편광방향을 $x$ 방향으로 삼자. 또한 물질에 걸리는 주변형력 중에서 큰 변형력의 방향이 $x$ 축에 대해서 회전한 각을 $\psi$라 하자. '편광의 표현' 단원에서 다룬 회전한 위상지연판의 존스 행렬 표현을 이용하여 검광자를 통과한 빛의 존스 벡터를 다음과 같이 계산할 수 있다. \[ \begin{equation} \label{eq1} \mathbf{J} = \left[\array{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } \right] \left[\array{ e^{i\frac{\Gamma}{2}} \cos^2 \psi + e^{-i\frac{\Gamma}{2}} \sin^2 \psi & i \sin \frac{\Gamma}{2} \sin \left( 2\psi \right) \\ i \sin \frac{\Gamma}{2} \sin \left( 2\psi \right) & e^{i\frac{\Gamma}{2}} \sin^2 \psi + e^{-i\frac{\Gamma}{2}} \cos^2 \psi } \right] \left[\array{ 1 \\ 0 } \right] = \left[\array{ 0 \\ i \sin \frac{\Gamma}{2} \sin \left( 2\psi \right) } \right] \end{equation} \] 행렬연산에서 제일 오른쪽은 $x$ 축으로 선편광된 존스 벡터이고, 가운데는 물질의 존스 행렬, 그리고 왼쪽은 $y$ 방향으로의 검광자의 존스 행렬이다. 이제 검광자를 통과하는 빛의 밝기는 \[ \begin{equation} \label{eq2} I = I_0 \sin^2 \left( 2\psi \right) ~ \sin^2 \frac{\Gamma}{2} \end{equation} \] 로 계산된다. 이 경우 물질에 변형력이 걸리지 않으면 $\Gamma = 0$로서 빛이 통과하지 못하여 검게 나타날 것이다.

\eqref{eq2}의 결과는 밝기의 분포가 주변형력의 차 $(\sigma_1-\sigma_2)$에 따라서 변할 뿐만 아니라 주변형력의 방향을 반영하는 $\psi$에 따라서도 변하는 것을 나타낸다. 주변형력의 방향에 대해 검은 무늬가 보이는 조건은 \[ \sin^2 \left( 2\psi \right) = 0, ~~~~\text{i.e.} ~~~~ \psi = m \frac{\pi}{2}, ~ m=0, \pm 1, \pm 2, \cdots \] 으로 이는 단순히 주변형력의 방향이 편광판과 검광판의 방향으로 배열되는 경우에 해당한다. 검은 무늬의 영역은 최대 주변형력의 방향이 모두 일정한 곳으로 이를 등경사선(isoclinic line)이라고 한다. 이때 편광판과 검광판을 서로 수직을 유지한채 돌려주게 되면 여러 주변형력의 방향에 대한 등경사선이 모두 찾아질 것이다.

한편, \eqref{eq2}에서 검은 무늬가 나타나는 두 번째 조건은, \[ \sin^2 \frac{\Gamma}{2} = 0, ~~~~\text{i.e.} ~~~~ \Gamma = 2 n \pi, ~ n=0, 1, 2, \cdots \] 이다. 이 경우 $n=0$을 제외하고 이 조건을 만족하는 영역은 주변형력의 차와 파장에 의존하는 데 이를 등색선(isochromatic line)이라 한다. 이는 백색광을 이용하여 측정하는 경우 다음 그림에서 보듯이 주변형력의 차가 일정한 영역은 모두 동일한 색채로 보이기 때문이다.

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플라스틱의 광탄성_ 플라스틱 각도계를 비틀었을 때의 편광기에서 측정한 영상으로 동일한 색채를 나타내는 등색선은 같은 크기의 주변형력의 차이를 가지는 영역이다.

원편광기의 편광해석

한편 물질과 양쪽 편광판 사이에 느린축이나 빠른축 $x$ 축에 대해 45° 회전한 1/4파장판을 설치하면 등경사선을 제거하여 순수하게 주변형력의 차이만으로 생기는 무늬를 볼 수 있다. 물질의 앞에는 느린축을 $x$ 축에서 $y$ 축으로 +45° 회전시켜서 배치하면 물질에 입사하는 빛의 편광상태는 좌원편광의 빛이 될 것이다. 이것이 물질을 통과해서 -45° 회전한 1/4파장판을 통과하여 다시 $y$ 방향의 검광자를 통과하였을 때의 빛의 밝기도 앞서와 같이 존스 행렬로 쉽게 계산되어 \[ \begin{equation} \label{eq3} I = I_0 \sin^2 \frac{\Gamma}{2} \end{equation} \] 이다. 이 결과는 등경사선이 제거되고 등색선만 나타난 것을 알 수 있다.

[질문1] 면편광기에서 검광판의 편광축을 편광판의 방향인 $x$ 방향으로 배치한다면 (그림에서 '검광판 평행' 선택의 배치) 물질에 변형력이 걸리지 않을 때에는 밝게 나타날 것이다. 이러한 구성에서 빛의 밝기가 다음과 같이 표현되는 것을 존스 행렬의 연산으로 보여라. \[ \begin{equation} \label{eq4} I = I_0 \left[ 1-\sin^2 \left( 2\psi \right) \sin^2 \frac{\Gamma}{2} \right] \end{equation} \]

[질문3] 원편광기에서 두 1/4파장판이 모두 +45°로 같은 방향으로 회전하여 있고, 편광판과 검광판이 서로 수직일 때와 평행일 때의 두 배치에 대해 존스 행렬 연산으로 $I$를 각각 구하라.