복굴절

유전체에서 빛의 전파

복굴절의 이론적 해석

전기와 자기 단원의 '물질에서의 맥스웰 방정식'에서 물질에서의 전기장과 자기장이 만족하는 관계를 설명하고 있다. 전기장과 자기장에 의해 물질에서 분극이 일어나고, 이는 전하나 전류밀도처럼 전자기장을 만들기 때문에 이들을 총체적으로 반영하여 전자기 이론은 취급하는 것이 편리하여 물질 속에서의 맥스웰 방정식을 다르게 정리한 것이다.

빛이 진행할 수 있는 투명한 물질의 경우, 자화는 거의 일어나지 않아 분극만 고려하면 된다. 거의 모든 물질이 일정한 수준 이하의 전기장에서 분극이 전기장에 비례한다. 아울러 보통의 등방성 물질의 경우의 분극의 방향은 전기장의 방향과 나란하다.

그러나 결정체가 비등방성(anisotropic)일 때 전기장이 걸리는 방향과 다른 방향으로의 분극이 일어난다. 따라서 다음과 같이 이들 관계를 텐서 관계식으로 표현해야 한다. \[ \mathbf{P} = \varepsilon_0 \boldsymbol{\chi} \mathbf{E} \] 여기서 $\boldsymbol{\chi}$는 $3\times 3$ 대칭 텐서로 모두 6개의 독립성분을 갖는 전기감수율 텐서(electric susceptibility tensor)이다. 일반적으로 대칭인 텐서는 적당하게 좌표변환하여 대각성분만 있는 형태로 간단하게 할 수 있는 데 이러한 좌표축을 주축(principal axis)이라 한다. 따라서 결정의 좌표축을 이 주축으로 삼으면, \[ \boldsymbol{\chi} = \left[\array{ \chi_x & 0 & 0 \\ 0 & \chi_y & 0 \\ 0 & 0 & \chi_z } \right] \]

보통 결정은 부도체이므로 $\mathbf{J}=0$이고, 전기적으로 중성이어서 자유전하밀도 $\rho_f$가 $0$이고, 또한 비자기적이므로 자화밀도 $\mathbf{M}$도 $0$이다. 따라서 가장 일반적인 물질에서의 맥스웰 방정식에서 $\rho_f, \mathbf{J_f}, \mathbf{M}$을 모두 0 으로 둘 수 있다. 따라서 방정식을 모두 $\mathbf{E}, \mathbf{B}, \mathbf{J}$로 정리하면, \[ \eqalign{ \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E}&=& - \frac{1}{\varepsilon_0} \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{P} \\ \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B}&=& 0 \\ \mathbf{\nabla} \times \mathbf{E}&=& -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \mathbf{\nabla} \times \mathbf{B}&=& \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \mu_0 \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t} } \] 여기서 마지막 식을 시간에 대해 미분하고, 셋째 식을 이용한다. \[ \nabla \times ( \nabla \times \mathbf{E}) = - \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} - \mu_0 \frac{\partial^2 \mathbf{P}}{\partial t^2} \]

이제 $\mathbf{P}$를 위 텐서 식으로 두어 $\mathbf{E}$에 대해 정리하고, $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}$을 이용하면 다음과 같이 전기장에 대한 비등방적인 파동방정식이 나온다. (여기서 맥스웰 방정식의 처음 두 식은 아직 이용하지 않았다) \[ \nabla \times ( \nabla \times \mathbf{E}) + \frac{1}{c^2} (1 + \boldsymbol{\chi}) \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0 \]

_ 물질에서의 맥스웰 방정식_ 결정_ 파동방정식_ 전류밀도_ 좌표변환_ 부도체_ 전기장_ 자기장_ 전하_ 분극

유전체에서 평면파

편광 방향에 때라 진행속도가 다를 수 있다.

앞의 방정식은 유전체에서 빛이 전파될 때 전기장이 만족하는 파동방정식이다. 물질이 등방적이라면 $\boldsymbol{\chi}$가 스칼라 값이 되어 보통의 파동방정식으로 환원된다. 이때의 전파속도는 \[ v = \frac{c}{\sqrt{1+\chi}} \] 따라서 $\sqrt{1+\chi}$는 물질의 굴절률에 해당한다.

한편, 비등방적인 물질이라면 상황이 좀더 복잡해진다. $e^{i (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t) }$의 평면파가 진행할 때의 파동이 행동하는 것을 살펴보기 위해 이를 앞의 파동방정식에 대입해 보면, \[ \begin{equation} \label{eq7} \mathbf{k} \times ( \mathbf{k} \times \mathbf{E}) + \frac{\omega^2}{c^2} (1+ \boldsymbol{\chi})\mathbf{E} = 0 \end{equation} \] 이다. $\boldsymbol{\chi}$가 텐서이므로 여느 벡터 방정식과는 양상이 다르다.

한 방향으로 진행하는 빛에 대한 고려

이 식을 만족하는 파동의 특성을 알아보기 위해 우선 $x$ 방향으로 진행하는 평면파를 고려해 보자. 즉 $\mathrm{k}$는 $x$ 성분 $k$만 가지고 있으므로 위 식은 \[ \eqalign{ \frac{\omega^2}{c^2} E_x &=& - \frac{\omega^2}{c^2} \chi_{x} E_x, \\ \left( - k^2 + \frac{\omega^2}{c^2} \right) E_y &=& - \frac{\omega^2}{c^2} \chi_{y} E_y, \\ \left( - k^2 + \frac{\omega^2}{c^2} \right) E_z &=& - \frac{\omega^2}{c^2} \chi_{z} E_z } \] 이다. 첫째 식은 $E_x = 0$임을 나타내므로 횡파의 특성을 그대로 가지고 있는 것을 알 수 있고, 만일 $E_y \neq 0$이면 $k=\frac{\omega}{c} \sqrt{1+\chi_y} = \frac{\omega}{c} n_y$이다. 그리고 $E_z \neq 0$이면 $k=\frac{\omega}{c} \sqrt{1+\chi_z} = \frac{\omega}{c} n_z$이다. 따라서 $y$ 방향으로 편광된 빛의 속력은 $\frac{c}{n_y}$, $z$ 방향으로 편광된 빛의속력은 $\frac{c}{n_z}$ 이라는 것을 알 수 있다.

파벡터의 일반적인 관계

이제 일반적인 성질을 알아보기 위해 \eqref{eq7} 식을 $x, y, z$의 각 성분식으로 나누어 다음처럼 행렬 관계식으로 표시할 수 있다. \[ \begin{equation} \label{eq8} \left[\array{ (n_x \omega/c)^2 - k_y^2 - k_z^2 & k_x k_y & k_x k_z \\ k_y k_x & (n_y \omega/c)^2 - k_x^2 - k_z^2 & k_y k_z \\ k_z k_x & k_z k_y & (n_z \omega/c)^2 - k_x^2 - k_y^2 } \right] \left[\array{ E_x \\ E_y \\ E_z } \right] = 0. \end{equation} \] 여기서 \[ \eqalign{ n_x &=& \sqrt{1+\chi_x}, \\ n_y &=& \sqrt{1+\chi_y}, \\ n_z &=& \sqrt{1+\chi_z} \\ } \] 로 두었다.

위 식은 연립방정식 형태인 데 이를 만족하는 전기장의 세 성분 $E_x, E_y, E_z$ 모두가 0 이 아닌 의미있는 해가 존재하기 위해서는 앞의 행렬의 행렬식(determinent)이 0 이 되어야 한다. \[ \left|\array{ (n_x \omega/c)^2 - k_y^2 - k_z^2 & k_x k_y & k_x k_z \\ k_y k_x & (n_y \omega/c)^2 - k_x^2 - k_z^2 & k_y k_z \\ k_z k_x & k_z k_y & (n_z \omega/c)^2 - k_x^2 - k_y^2 } \right| = 0 \] 이는 $k_x, k_y, k_z$의 3차원 영역에서 하나의 조건이 부과된 것이므로 기본적으로 표면의 방정식이 된다. 즉 $\omega$가 일정한 단색광에서 이 식을 만족하는 특정한 $\mathbf{k}$는 이 공간에서 곡면 위의 한 값을 가질 수 밖에 없다.

다음 페이지의 파벡터 표면을 생성시키는 프로그램은 이 식으로부터 생성시킨 것이다. 일반적으로 표면은 두 겹으로 겹쳐 있으나 마치 하나의 줄이 두 바퀴 감겨 있는 것처럼 계속 부드럽게 연결되어 있고 또한 겹쳐져 있는 지점이 서로 반대 방향을 쌍으로 하여 두 개나 네 개 주어져 있어 하나나 둘의 광축을 만들게 된다. (다음 페이지의 프로그램에서는 편의상 바깥과 안의 표면의 색을 달리하여 표시하여 매끄럽게 이어져 있지 않은 것처럼 보이나 실제로는 접점에서 교차하는 형태가 된다)

이 곡면이 뜻하는 것을 잘 이해하기 위해 우선 소금과 같이 등방성(isotropic) 결정이거나 유리와 같이 고체를 형성하는 데 일정한 방향성이 없는 평범한 물질로 다시 되돌아가서 생각해 보자. 이 경우는 전기감수율 $\boldsymbol{\chi}$은 텐서가 아니므로 주축에 대한 세 값이 같은 값이다. $n = \sqrt{1+\chi}$이라 한다면 위 식은 다음의 평범한 방정식으로 되돌아간다. \[ \left( \frac{n\omega}{c} \right)^2 = k^2 \] 이는 $\mathbf{k}$의 3차원 공간에서 반경이 $n\omega/c$인 구면이 되어 $\mathbf{k}$가 어느 방향으로 향하더라도 같은 단일 값을 갖는다는 것을 말한다. 즉 $\omega$인 빛은 진행하는 방향에 관계없이 같은 크기의 $k$를 갖게 되고, 따라서 특정한 방향성이 없다.

한편 비등방성 물질의 경우 $\mathbf{k}$가 만족하는 값은 이와는 달리 보통 두 개의 값이 될 수 있다. 즉 특정한 한 방향으로 향하는 빛이 가질 수 있는 $k$를 위 행렬식이 0 이 되는 조건에서 구하면 일반적으로 두 개의 서로 다른 값을 가지게 되는 것이다. 따라서 단순한 구면이 아니라 더 복잡한 곡면이 두 개 겹쳐진 형태를 보인다.

곡면의 모양을 잘 이해하기 위해 몇몇 특별한 상황에 대해 먼저 고려해 보자.

파벡터의 한 성분만 0 이 아닌 경우 - 한 방향으로 편광된 빛의 예

어떤 빛이 $x$ 방향으로 편광되는 경우 $E_x$만 있고 나머지 성분은 0 이 된다. 따라서 이 경우라면 앞의 \eqref{eq8} 식은 \[ \left[\array{ \{(n_x \omega/c)^2 - k_y^2 - k_z^2\} E_x \\ k_y k_x E_x \\ k_z k_x E_x } \right] = 0 \] 이 된다. 이를 만족하는 적절한 해는 $k_x=0$, $k=n_x\omega/c$이다. 따라서 이는 $y-z$ 평면 위에서 아무 방향으로나 진행할 수 있으며, 그 전파속도는 $v = \omega/k = c/n_x$가 되어야 한다. 즉, $n_x$는 $x$ 방향으로 편광된 빛이 갖는 단 하나의 굴절률임을 알 수 있다. 이는 $x$ 방향으로 편광된 빛은 $y-z$ 평면 위의 어느 방향으로 향하더라도 그 굴절률은 일정하다는 것을 말한다. 따라서 파벡터 표면은 $y-z$ 평면 위에서 원을 이루는 것이 있게 되고 이것이 $x$ 방향으로 편광된 빛에 해당하는 것이다. 비슷하게 $E_y, E_z$ 등에 대해 고려해 보면, 파벡터 표면이 $x-z$, $y-z$ 평면과 만나는 곡선 중의 하나는 원이 된다는 것을 말 수 있다. 이들 원의 반경은 각각 $n_x\omega/c$, $n_y\omega/c$, $n_z\omega/c$이다.

파벡터의 한 성분이 0 인 경우

표면의 구조를 더 알아보기 위해 이제 $k_x=0$인 경우를 생각해 보자. 이로부터 파벡터 표면이 $y-z$와 만나는 곡선의 형태를 알 수 있게 된다. 앞의 행렬식에 $k_x=0$를 대입하면 \[ \left[\left(\frac{n_x\omega}{c} \right)^2 - k_y^2-k_z^2 \right] \left[ \left\{ \left(\frac{n_y\omega}{c} \right)^2 -k_z^2 \right\} \left\{ \left(\frac{n_z\omega}{c} \right)^2 -k_y^2 \right\} -k_y^2 k_z^2 \right] = 0 \] 이다. 이 방정식의 곱이 영이 되어야 하므로 처음의 대괄호 $[\cdots]$ 속의 인자가 영이 되는 경우와 뒤의 대괄호 속의 인자가 영이 되는 두 개의 해가 있다. 앞의 경우는 반경이 $n_x\omega/c$인 원이 되어 앞에서 취급한 $x$ 방향으로 편광된 빛에 대한 것이다. 두 번째의 경우는 \[ \left[ \frac{k_y}{\left(\frac{n_z\omega}{c}\right)} \right]^2 + \left[ \frac{k_z}{\left(\frac{n_y\omega}{c}\right)} \right]^2 = 1 \] 이 되어 타원이 된다.

아래 그림은 파벡터 표면이 $x-y, y-z, z-x$ 면과 만나는 궤적을 그려서 이 표면의 전모를 파악하게 해 준다. 그림에서는 관련된 빛의 편광상태도 같이 나타낸다. 파벡터 표면이 각 면과 만나는 궤적의 하나는 원이고 다른 하나는 타원이다.

_ 결정_ 파동방정식_ 빛의 편광_ 편광상태_ 평면파_ 전기장_ 굴절률_ 고체_ 횡파