복굴절

빛이 진행할 때 진행 방향에 대해 파벡터가 갖는 값으로 표면을 형성시켜 그래프로 나타내면 빛의 진행상황을 이해하는 데 편리하다. 이를 파벡터 표면이라 하는 데 등방성 물질의 경우에는 방향에 관계없이

$k$ 가 일정한 값

$\omega/v$ 을 가지므로 반경이

$\omega/v$ 인 구의 표면이 된다.

그러나 일반적으로 복굴절 물질에서는 속도

$v$ 가 두 값을 가지고 있으므로 파벡터 표면은 두 겹의 폐곡면이 된다.

아래 그림은

$x, y, z$ 세 축에 대한 굴절률이 각기 다르게 주어진 복굴절 물질의 파벡터 표면을 보여주고 있다. 그림에서 보는 것처럼 붉은 색조의 표면과 푸른 색조의 두 표면이 나타나 있어 특정한 방향으로 진행하는 빛의 파벡터가 두 개의 서로 다른 값을 가지고 있는 것을 보여주게 된다.

파벡터의 방향은 파면이 진행하는 방향을 나타내고, 크기는 파수

$(k = 2\pi/\lambda)$ 임을 상기하자. 파수는 빛의 위상속도에 반비례하므로 굴절률에 비례하여

$k = (\omega/c)n$ 의 관계가 있다. 아래 그림에서 화면의 오른쪽 세 그래프의 눈금은 1, 2, 3이고 이의 단위를

$\omega/c$ 로 보면 된다. 또한

$\omega/c$ 를 뺀 그래프에서 읽혀지는 값 그대로를 빛의 굴절률로 생각할 수 있다.

graphic

파벡터 표면_ 각 축의 굴절률이 주어져 있을 때의 파벡터 표면을 마젠타색과 녹색으로 보여주고 있다. $x$ 축은 빨강, $y$ 축은 녹색, $z$ 축은 파랑으로 표현하였고, 각 축에 대한 굴절률을 슬라이더로 1.0 ~ 3.0 사이의 값으로 변경할 수 있다. 입체의 표면 그래프에서 안쪽 표면은 녹색조로 그렸고, 바깥 표면은 마젠타색조로 일부를 절개하여 그렸다. 이 그래프는 마우스를 끌어주면 원점을 중심으로 회전을 하게 되어 표면의 형태를 잘 파악할 수 있게 하였고, 또한 'inside view', 'outside view'의 체크박스를 통해 각각의 표면을 따로 보이게도 한다.

단축성 음성

위 프로그램에서 처음에 주어진 값, 즉

$n_x=1.5$ ,

$n_y=2.0$ ,

$n_z=2.0$ 으로 설정하자. 이 경우에는 큰 구 속에 럭비공과 같은 타원체가 들어 있는 형태의 표면 구조를 하게 된다. 이러한 물질로서 대표적인 것이 바로 방해석이다. 방해석의 경우 굴절률이 각각 1.4864, 1.6584, 1.6584 으로서 굴절률의 차이가 비교적 큰 복굴절체에 속한다.

이러한 물질의 경우 큰 굴절률에 대해서는 파벡터 표면이 구형을 하고 있으므로 빛의 진행방향에 관계없이 파벡터의 값이 동일하고, 따라서 빛의 진행속도도 일정하여 등방성 물질과 비슷한 행동을 보인다. 이렇게 행동하는 빛을 정상광선이라 한다. 반면에 타원을 하고 있는 경우 방향에 따라 파펙터나 굴절률이 연속적으로 변해서 특별한 하나의 굴절률을 정의할 수 없는 데 이러한 빛을 이상광선이라 한다.

위 입체적인 그림에서 살펴볼 수 있듯이 이 경우

$x$ 축으로 진행하는 빛은 두 파벡터가 일치하여 하나의 굴절률을 갖게 된다. 따라서 이 축이 바로 광축이 되는 데 이처럼 광축이 하나인 경우를 단축성 결정이라 한다. 그리고 지금과 같이 정상광선의 굴절률이 이상광선의 굴절률보다 큰 경우를 단축성 음성이라 한다.

단축성 양성

이제 각 축의 굴절률을

$n_x=2.0$ ,

$n_y=1.5$ ,

$n_z=1.5$ 으로 설정하자. 이 경우는 원반과 같은 타원체 속에 구가 들어 있는 형상을 하고 있고 이 둘은

$x$ 축에서 접하고 있다. 따라서 이 경우도 광축이

$x$ 축 하나로서 단축성 결정이 된다.

그러나 앞에서와 달리 정상광선의 굴절률이 더 적은 값을 하고 있어 이러한 경우를 단축성 양성이라 한다.

두 가지의 단축성 물질에서 정상광선의 굴절률을 정상굴절률(ordinary refractive index)라고 하고, 이상광선에 대한 굴절률을 이상굴절률(extraordinary refractive index)이라 하는 데 각각을

$n_o$ 와

$n_e$ 로 나타내도록 한다. 유의할 것은 정상광선과 달리 이상광선의 경우, 이상굴절률 하나로 행동하는 것이 아니라 진행방향에 따라 굴절률이

$n_o$ 와

$n_e$ 사이의 값을 가진다는 점이다. 예를 들어 단축성 음성의 경우 이상굴절률이 이상광선에 대한 굴절률의 최솟값이 된다.

쌍축성

한편 각 축의 굴절률을 서로 다른 값으로 주게 되면 표면의 모양이 원이나 타원 같은 단순한 형태가 아닌 복잡한 구조를 하게 된다. 예를 들어 비현실적이긴 하지만

$n_x=1.0$ ,

$n_y=2.0$ ,

$n_z=3.0$ 처럼 극단적으로 서로 다른 값을 주게 되면 표면의 형태가 확연하게 드러나게 될 것이다.

타원체가 찌그러진 듯한 두 개의 폐곡면이 광축이 통과하는 네 지점에서 접하고 있다. 이 경우에도 광축의 방향으로 진행하는 빛은 편광에 관계없이 동일한 파벡터 값을 가짐을 알 수 있다. 이 광축이 두 개이므로 이러한 물질을 쌍축성 결정이라 한다. 광축 외의 방향으로 진행하는 빛은 편광방향에 따라 두 개의 파벡터 값을 가져서 두 속도를 가지는 데 그 값은 방향에 따라 연속적으로 변하고 있음을 알 수 있다.