베타붕괴 |
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베타붕괴의 확률
페르미는 약한상호작용으로 베타붕괴를 설멸할 수 있었다.이 단원의 첫 부분('방사성 붕괴')에서 설명한 것처럼 베타붕괴는 자연에 존재하는 기본적인 상호작용 중 하나인 약한상호작용의 한 형태이다. 약한상호작용은 광자를 제외한 모든 기본입자가 관여하고 있어서 매우 보편적인 상호작용이라고 할 수 있는 데 특히 중성미자는 중력을 제외하고 오직 약한상호작용에 관여하므로 그 중심에는 중성미자가 특별한 역할을 한다. 베타붕괴의 에너지보존을 충족하기 위해 중성미자가 있을 것이라는 것을 파울리가 제안한 후 1933년 페르미(E. Fermi)에 의해 이의 이론이 체계화되었기 때문에 페르미의 상호작용(Fermi's interaction)으로 일컬어지기도 하였다. 또한 이는 양성자와 중성자, 그리고 전자와 중성미자의 네 페르미온이 한 점에서 반응하는 것으로 보아 4-페르미온 상호작용(four-fermion interaction)이라 할 수 있다. 후일 이 상호작용과 전자기상호작용이 통합되면서 이 힘을 매개하는 $W$ 입자가 있고, 한 점이 아니라 매우 가까우나 그래도 유한한 거리에서 작용하는 것으로 수정되었다. 여기서는 네 페르미온이 한 점에서 반응하는 것으로 보는 초기의 페르미의 해석을 따라서 베타붕괴를 설명하도록 한다. 주로 위상공간의 부피가 베타선의 에너지를 결정한다.베타붕괴는 감마붕괴가 전자기 이론에서의 전자기파 복사 현상으로 해석할 수 있는 것과 달리 고전론에 유사한 내용이 없다. 따라서 순전히 이의 양자론을 다시 구성할 수 밖에 없다. 감마붕괴에서도 결국 양자역학적으로 엄밀하게 해석하기 위해 페르미의 황금률을 적용한 것과 같이 베타붕괴도 이를 이용하도록 한다. 페르미의 황금률은 \[ \begin{equation} \label{FGoldenRule} \mathcal{W}_{n\rightarrow m} = \frac{2\pi}{\hbar} |\langle m |A| n \rangle|^2 g(E_{m}) \big|_{E_m=E_n} \end{equation} \] 으로 표현되는 데, $g(E_{m})$은 최종상태가 가진 에너지 $E_m$에 대한 상태밀도이고, $\langle m |A| n \rangle$는 핵의 처음 상태 $n$과 최종 상태 $m$을 연결하는 전이행렬이다. 감마붕괴의 경우 $A$는 핵 주변에 있을 수 있는 전자기장을 반영하고 있다. 이때는 고전전자기 이론에서 전하와 전자기장의 상호작용방식을 끌어와서 이론을 전개할 수 있었다. 그러나 베타붕괴는 이렇게 끌어올 고전이론이 없으므로 감마붕괴에서와 유사하다고 가정하여 이론을 구성한다. 감마붕괴에서 $A$ 항이 벡터퍼텐셜을 반영하고 있으므로 결국 광자와 대응된다는 것을 감안하면 이를 베타붕괴에서 방출되는 전자와 중성미자에 해당하는 것으로 적절히 대치할 수 있을 것이다. 이제 섭동 퍼텐셜을 \[ H_I = A = \mathfrak{q} \psi^*_e \psi^*_\bar{\nu} \quad \quad t \ge 0. \] 으로 놓자. 여기서 $\psi_e$와 $\psi_\bar{\nu}$는 각각 전자와 중성미자를 기술하는 파동함수로 광자에 대해 벡터퍼텐셜과 비슷한 역할을 한다. 또한 앞의 상수 $\mathfrak{q}$는 상호작용의 세기를 나타내는 것으로 전자기상호작용의 전하 $e$와 비슷하다. 따라서 \[ T_{mn} = \langle m |A| n \rangle = \mathfrak{q} \int \phi^*_p(\vec{r})~[\psi^*_e(\vec{r}) \psi^*_\bar{\nu}(\vec{r})]~\phi_n(\vec{r}) ~d^3 \vec{r} \] 여기서 $\phi_p$와 $\phi_n$는 각각 양성자와 중성자의 파동함수이다. 이처럼 파동함수가 순서대로 양성자와 전자, 중성미자, 중성자가 한 점 $\vec{r}$에서 반응하는 것으로 상호작용 항이 기술되어 네 페르미온의 한 점 반응인 것이다. 이제 $\psi^*_e$와 $\psi^*_\bar{\nu}$를 각각 다음과 같은 평면파로 기술하자. \[ \psi_e(\vec{r}) = \frac{e^{i\vec{k}_e\cdot\vec{r}}}{\sqrt{V}}, \quad \psi_{\bar\nu}(\vec{r}) = \frac{e^{i\vec{k}_{\bar\nu}\cdot\vec{r}}}{\sqrt{V}} \] 여기서 $\sqrt{V}$로 나눈 것은 평면파를 유한한 영역에 가두어서 규격화하기 위한 것으로 베타붕괴의 반응이 일어나는 영역으로 보면 된다. 또한 감마붕괴와 같이 $\vec{k}\cdot\vec{r} \ll 1$인 조건으로 보아서 $e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}} \approx 1$로 두어면 \[ T_{mn} \cong \frac{\mathfrak{q}}{V} M_{np} = \int \phi^*_p(\vec{r})\phi_n(\vec{r}) ~d^3 \vec{r} \] 으로 근사된다. 따라서 전이율은 \[ \mathcal{W}_{n\rightarrow m} \cong \frac{2\pi}{\hbar} \frac{\mathfrak{q}^2}{V^2} |M_{np}|^2 g(E_{m}) \big|_{E_m=E_n} \] 으로 정리된다. 여기서 $|M_{np}|^2$은 핵의 양성자와 중성자의 상태로부터 계산되겠지만 $\vec{r}$뿐만 아니라 스핀과 각운동량 또한 반영해야 하므로 매우 복잡한 식일 것이다. 한편 방출되는 전자나 (양전자방출의 ) 양전자는 핵과의 전자기적 상호작용을 해서 에너지를 잃는 것도 반영해야 한다. 이를 위해서 다음과 같이 $|M_{np}|^2$를 수정한다. \[ |M_{np}|^2 \rightarrow |M_{np}|^2 F(Z_0, Q) \] 여기서의 $F(Z_0, Q)$는 방출되는 전자와 핵의 전자기상호작용을 반영하는 등 베타붕괴의 종류와 핵의 전하량, Q 값에 의존하는 인자로 이를 페르미 함수(Fermi function)라 한다. 전이율 $\mathcal{W}_{n\rightarrow m}$을 계산하기 위해서 $T_{mn}$도 정확하게 알아야 한다. 그러나 실제로 실험결과에 의하면 이것이 구체적인 상태 $n$과 $m$에 크게 의존하지 않는다. 따라서 전이율은 전적으로 \eqref{FGoldenRule}에서의 상태밀도함수 $g(E_{m})$에 의해 결정된다. '양자통계의 응용' 절에서 다룬 대로 부피 $V$인 공간에서의 정상파의 상태수는 \[ g(k) dk = \frac{1}{2} \frac{V}{\pi^2} k^2 dk \] 으로 이를 운동량으로 나타내면, \[ \begin{equation} \label{DS} g(p) dp = \frac{1}{2} \frac{V}{\pi^2 \hbar^3} p^2 dp \end{equation} \] 이다. 이제 베타붕괴에서 방출되는 에너지, 즉 Q 값 거의 전부를 전자와 중성미자가 나누어 가지므로 \[ \begin{equation} \label{EN} Q = K_e + K_\nu \end{equation} \] 이다. 전자의 경우 운동에너지는 \[ K_e = E - m_e c^2 = \sqrt{m_e^2 c^4 + p_e^2 c^2} - m_e c^2 \] 이고, 중성미자의 경우는 질량을 무시할 수 있으므로 \[ K_\nu = cp_\nu \] 이다. 상태밀도 $g(E_{m})~\rightarrow~g(Q)$는 반응을 통해서 방출되는 에너지 $Q$의 주변값에 대한 상태밀도로 보아야 한다. 즉 단위 $Q$에 대한 상태수로 $Q \sim Q + dQ$의 영역에서 존재하는 전자와 중성미자의 상태수를 $dQ$로 나누어야 한다. 한편 베타붕괴과정에서 명확하게 측정되는 양은 전자의 운동에너지 $K_e$이다. 즉 전자가 가진 에너지에 대한 분포, 즉 스펙트럼이 측정되는 것이다. 따라서 실험 데이터와 비교하기 위해서는 상태밀도를 $K_e$에 대한 것으로 바꾸어서 정리할 필요가 있다. 전자의 운동에너지에 대한 상태밀도의 계산베타붕괴에서 중성자가 모습을 바꾼 양성자는 핵 속에 남아 있고, 전자와 중성미자가 방출에너지를 거의 대부분 가지고 나간다. 이때 운동량도 보존되어야 하지만 잉여 운동량을 핵이 적절하게 흡수할 수 있기 때문에 전자와 중성미자의 운동량은 제한되지 않는다. 따라서 \eqref{EN} 으로 나타낸 것처럼 단지 전자와 중성미자의 에너지가 서로 동반해서 변한다는 것만 반영하면 될 것이다. 즉 전자의 운동에너지가 정해지면 중성미자의 운동에너지도 정해지고, 이를 상태수를 계산할 때 감안해야 한다. \eqref{DS} 식으로부터 전자의 상태수를 계산하자. 즉 전자의 상태 중에서 $K_e \sim K_e + dK_e$의 영역에 속하는 상태수는 \[ g_e(K_e) dK_e = \frac{V}{2\pi^2 \hbar^3 c^3} \sqrt{K_e^2 + 2K_e m_e c^2} (K_e + m_e c^2) dK_e \] 으로 정리 된다. 여기서 전자를 독립적으로 본 상태수의 의미로 첨자 $e$를 붙였다. 한편 중성미자는 $K_\nu = Q-K_e$를 가져야 한다. 이의 상태밀도는 \eqref{DS} 식에서 $c dp_\nu = dK_\nu$으로 $dK_\nu$에 대한 것으로 바꾸면 \[ g_\nu(K_\nu) = \frac{V}{2\pi^2 \hbar^3 c^3} K_\nu^2 \] 이다. 따라서 전체 상태수는 전자의 상태밀도에 중성미자의 상태밀도를 곱해야 하므로 \[ g(K_e) = g_e(K_e) g_\nu(Q-K_e) = \frac{V^2}{4\pi^4 \hbar^6 c^6} \sqrt{K_e^2 + 2K_e m_e c^2}(K_e + m_e c^2)(Q-K_e)^2 \] 으로 정리된다. 다음 그림에서 이 함수가 Q 값과 $K_e$에 어떻게 의존하는지를 보여준다.
실제의 베타붕괴의 스펙트럼도 위 그래프와 같은 형태이다. 이는 대부분 영역에서 $|M_{np}|$이 거의 상수이어서 전자와 중성미자가 어우러진 상태밀도 $g(K_e)$ 만으로 전이율이 결정되는 것을 뜻한다. 따라서 전자의 스펙트럼을 정교하게 해석하더라도 베타붕괴의 세부과정, 즉 상호작용의 형태를 알아내기는 힘들다. 한편 핵에서 정전기적인 에너지를 추가로 얻거나 잃기 때문에 스펙트럼은 약간 왜곡된다. 느린 전자나 양전자가 이의 영향을 많이 받을 것이므로 낮은 에너지 영역에서 왜곡이 가시적으로 나타날 것을 예상할 수 있다. 즉 보통의 베타붕괴에서 나오는 전자는 핵의 인력을 박차고 나오므로 에너지를 잃을 것이고 역베타붕괴에서 나오는 양전자는 오히려 에너지를 추가로 얻을 것이다. 이러한 효과는 앞서 언급한 페르미 함수 $F(Z_0, Q)$에 반영된다.
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