섭동이론

섭동의 의한 상태전이

변하지 않는 섭동이 어떤 순간부터 걸릴 때

섭동항 $H_I$가 $t=0$부터 걸리되 그 때부터는 일정한 값으로 유지된다고 하자. \[ H_I(t) = \begin{cases} 0 & ~~ t \lt 0, \\ A & ~~ t \ge 0. \end{cases} \] 이러한 경우도 역시 시간에 의존하는 섭동이다. 그러나 $T_{mn}(t)$ 역시 $t=0$ 이후로는 시간에 무관하여 앞서 1차 섭동으로 유도한 다음 식에서의 적분항은 바로 계산된다. \[ \begin{equation} \label{eq:eq8} c_m(t) \cong \delta_{mn} + \frac{1}{i\hbar} \int^{t}_0 e^{i\omega_{mn}t'} T_{mn}(t') dt' \end{equation} \] $T_{mn}$을 제외한 적분항은 \[ \int^{t}_0 e^{i\omega_{mn} t'} dt' = \frac{e^{i\omega_{mn}t}-1}{i \omega_{mn}} \] 이다. 따라서 $n$ 상태로부터 이와 다른 $m$ 상태($m\neq n$)로 전이할 확률은 \[ \begin{equation} \label{eq:eq9} P_{nm}(t) = |c_m(t)|^2 = \frac{ |T_{mn}|^2 }{\hbar^2} \left[ \frac{\sin(\omega_{mn}t/2)}{\omega_{mn}/2} \right]^2 \end{equation} \] 이 된다.

위 그래프는 시간 $t$에 따른 에너지의 변화확률을 나타내고 있다. $\omega = -\frac{2\pi}{t} \sim \frac{2\pi}{t}$의 범위에 확률이 밀집되어 있으며 높이는 $t^2$에 비례한다. 따라서 시간이 경과함에 따라 점점 그래프는 높아지며, 폭은 좁아진다. 전체 면적은 $t$에 비례해서 $t \rightarrow \infty$로 접근하면 $2\pi t \delta(\omega)$의 함수로 접근한다. 이 경우 단위시간의 전이확률은 \[ \begin{equation} \label{eq:eq91} \mathcal{P}_{n\rightarrow m} = \lim_{t\rightarrow \infty}\frac{P_{nm}(t)}{t} = \frac{2\pi}{\hbar^2} |T_{mn}|^2 \delta(\omega_{mn}) \end{equation} \] 로 된다. $\omega_{mn}$을 에너지로 바꾸고, $T_{mn}=\langle m | A | n \rangle$를 이용하면, \[ \begin{equation*} {\large \boxed{ \mathcal{P}_{n\rightarrow m} = \frac{2\pi}{\hbar} |\langle m | A | n \rangle|^2 \delta(E_m - E_n) } } \end{equation*} \] 이 된다.

주기적인 섭동이 어떤 순간부터 걸릴 때

다음과 같이 주기적인 섭동항이 걸리는 경우를 생각하자. \[ \begin{equation} \label{eq:eq12} H_I(t) = \begin{cases} 0 & ~~ t \lt 0, \\ 2 A \cos \omega t = A (e^{i\omega t} + e^{-i\omega t}) & ~~t \ge 0. \end{cases} \end{equation} \] 이제 $T_{mn}(t)= 2 T_{mn} \cos \omega t$로 이제부터 $T_{mn}$를 $A$에 대한 행렬요소를 나타낸 것으로 하자. \eqref{eq:eq8} 식으로 부터 $n \rightarrow m$ 상태로 전이할 확률을 계산하면, \[ \begin{equation} \label{eq:eq10} P_{nm}(t) = \frac{ |T_{mn}|^2 }{\hbar^2} \left| \frac{e^{i(\omega_{mn}+\omega)t}-1}{i(\omega_{mn}+\omega)} + \frac{e^{i(\omega_{mn}-\omega)t}-1}{i(\omega_{mn}-\omega)} \right|^2 \end{equation} \] 이다. 이 식에서 $ \omega_{mn}+\omega$ 나 $ \omega_{mn}-\omega$가 각각 0 에 가까운 $\omega_{m}$에 대해서 해당항이 매우 커지는 데 이에 따라 두 경우로 나누어 생각할 수 있다. 즉, \[ \omega_m \cong \omega_n - \omega \] 일 때는 $\hbar \omega$의 에너지를 방출하고, \[ \omega_m \cong \omega_n + \omega \] 일 때는 $\hbar \omega$의 에너지를 흡수하는 것으로 볼 수 있다. 방출의 경우 \eqref{eq:eq10} 식의 앞 항이 절대적이고, 흡수의 경우 뒷 항이 절대적이어서 나머지를 무시할 수 있다. 따라서 \[ P_{nm}(t) \cong \frac{ |T_{mn}|^2 }{\hbar^2} \left[ \frac{\sin[(\omega_{mn}\pm \omega)t/2]}{(\omega_{mn} \pm \omega)/2} \right]^2 \] 여기서 $t$가 커져서 $\infty$로 접근하면 위 식의 $\{\dots\}^2$ 항은 $2\pi t \delta(\omega_{mn}\pm \omega)$로 접근하여 확률이 시간 $t$에 비례해진다. 앞서와 같이 단위시간당 전이할 확률을 에너지로 정리하면, \[ \begin{equation*} {\large \boxed{ \mathcal{P}_{n\rightarrow m} = \frac{2\pi}{\hbar} |\langle m | A | n \rangle|^2 \delta(E_m - E_n \pm \hbar \omega) } } \end{equation*} \] 이다.

[질문1] \eqref{eq:eq8} 식을 2차 근사까지 확장하라.

[질문2] \eqref{eq:eq8} 식으로부터 상태가 전이하지 않는 $n\rightarrow n$의 확률 $P_{nn}(t)$을 계산하라. 이것이 1보다 커서 문제가 있어 보인다. 이를 확인하고, 원인과 해소 방법을 논의하라.

[질문3] 다음을 증명하고 이로부터 \eqref{eq:eq91} 식을 명확히 전개하라. \[ \lim_{t\to \infty} \frac{\sin^2 tx}{tx^2} = \pi \delta(x),~~ \delta(ax) = \frac{1}{|a|}\delta(x) \]

_ 주기_ 전이

페르미의 황금률

어떤 양자상태가 섭동에 의해 연속적인 에너지 고유상태로 전이하는 확률 법칙이다.

섭동 에너지가 어떤 순간부터 일정하게 주어진다고 했을 때 $n$에서 $m$으로의 전이확률이 \eqref{eq:eq9} 식으로 정리되었다. 식에서 $[\cdots]^2$의 항은 시간이 커짐에 따라 $\omega_{mn}$이 0 주변에서 뾰족해지고, $t\rightarrow \infty$이면 $2\pi t \delta(\omega_{mn})$으로 된다. 대체로 뾰족한 범위는 $2\pi/t$로 에너지의 변동으로 표현하면 \[ \Delta E \approx \frac{2\pi \hbar}{t} \] 정도이다. 즉 이 정도 범위로 비섭동 해밀토니안 $H_0$에 대한 에너지가 보존된다.

전이가 연속 스펙트럼 상태로 일어나는 경우를 생각하자. 이 경우는 $m$로 표기한 특정한 상태는 연속상태의 특정한 범위로 대치해서 생각해야 한다. 즉 확률을 확률밀도로 대치해야 한다. $\omega_{mn}$이 의미있는 영역의 폭이 $d\omega$라 하고, 이에 해당하는 연속적인 에너지의 폭을 $dE_m$이라 하면 이에 속하는 상태수는 \[ dN = g(E_m) dE_m \] 이다. 여기서 $g (E_m)$는 $m$ 주변에서 단위에너지의 폭에 대한 상태수로 상태밀도(density of state)라고 한다. $m$ 주변 영역으로 전이하는 전이율(transition rate)은 \[ \mathcal{W}_{n\rightarrow m} = \frac{1}{t}\sum_{m'} P_{nm'}(t) \] 으로, 여기서 $m'$는 $m$의 주변이다. 이 영역이 실은 연속 스펙트럼이므로 $\sum$이 $\int$로 대치되어 \[ \mathcal{W}_{n\rightarrow m} = \frac{1}{t}\int P_{nm'}(t) g (E_{m'}) dE_{m'} = \frac{1}{t\hbar^2} \int |T_{m'n}|^2 \left[ \frac{\sin(\omega_{m'n}t/2)}{\omega_{m'n}/2} \right]^2 g (E_{m'}) dE_{m'} \] 여기서 적분에 기여하는 영역은 $\Delta E$의 아주 좁은 범위로 국한되고 $T_{m'n}$도 $m'$에 무관하다고 생각할 수 있다. 또한 $[\dots]^2$ 함수의 특성상 적분을 전공간으로 확장해도 무방하다. 따라서 \[ \mathcal{W}_{n\rightarrow m} = \frac{|T_{mn}|^2}{\hbar} g (E_{m}) ~t \int^{-\infty}_{\infty} d\omega \left[ \frac{\sin(\omega t/2)}{\omega t/2} \right]^2 \] 즉 \[ \begin{equation} \label{eq:eq13} {\large \boxed{ \mathcal{W}_{n\rightarrow m} = \frac{2\pi}{\hbar} |\langle m |A| n \rangle|^2 g (E_{m}) \Big|_{E_m=E_n} } } \end{equation} \] 이다. 이 식은 페르미에 의해 유도되어 페르미의 황금률(Fermi's golden rule)이라 한다.

\eqref{eq:eq12} 식처럼 주기적인 섭동이 걸리는 경우도 이와 비슷하게 논리를 전개할 수 있다. 이때 앞서의 ${E_m=E_n}$의 조건이 ${E_m=E_n\pm \hbar \omega}$으로 달라지는 데 이는 걸려있는 퍼텐셜로부터 $\hbar \omega$의 에너지를 방출하거나 흡수하기 때문이다. \[ \begin{equation} \label{eq:eq14} {\large \boxed{ \mathcal{W}_{n\rightarrow m} = \frac{2\pi}{\hbar} |\langle m |A| n \rangle|^2 g (E_{m}) \Big|_{E_m=E_n\pm \hbar \omega} } } \end{equation} \]

$\mathcal{P}_{n\rightarrow m}$는 특정상태 $n$이 다른 특정상태 $m$으로 전이하는 단위시간당 전이률로 에너지보존 조건이 $\delta$ 함수로 부과되어 있다. 반면에 황금률에서의 $\mathcal{W}_{n\rightarrow m}$은 특정상태 $n$이 $m$ 상태 주변 단위에너지 폭에 대해 단위시간당 전이률이다. 식의 말미에 명시적으로 나타낸 것처럼 에너지보존이 당연히 만족되는 것을 전제한다. $\mathcal{W}_{n\rightarrow m}$의 표현은 최종상태인 $m$이 연속 스펙트럼을 가질 때 특히 유용하다. 한편, 넓은 뜻으로는 $\mathcal{P}_{n\rightarrow m}$이나 $\mathcal{W}_{n\rightarrow m}$의 관계식 모두를 페르미의 황금률이라 하기도 한다.

_ 상태밀도_ 확률밀도_ 페르미_ 주기_ 전이