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섭동이론


섭동의 의한 상태전이

변하지 않는 섭동이 어떤 순간부터 걸릴 때

섭동항 HIt=0부터 걸리되 그 때부터는 일정한 값으로 유지된다고 하자. HI(t)={0  t<0,A  t0. 이러한 경우도 역시 시간에 의존하는 섭동이다. 그러나 Tmn(t) 역시 t=0 이후로는 시간에 무관하여 앞서 1차 섭동으로 유도한 다음 식에서의 적분항은 바로 계산된다. cm(t)δmn+1it0eiωmntTmn(t)dt Tmn을 제외한 적분항은 t0eiωmntdt=eiωmnt1iωmn 이다. 따라서 n 상태로부터 이와 다른 m 상태(mn)로 전이할 확률은 Pnm(t)=|cm(t)|2=|Tmn|22[sin(ωmnt/2)ωmn/2]2 이 된다.

graph

섭동에 의한 에너지의 변화_ 섭동에 의해 전이가 일어날 때 에너지 변화에 대한 상대적인 확률로 ω를 가로축으로 나타낸다. t 슬라이더는 경과시간으로 시간이 경과함에 따라 첨예한 그래프가 되는 것을 알 수 있다.

위 그래프는 시간 t에 따른 에너지의 변화확률을 나타내고 있다. ω=2πt2πt의 범위에 확률이 밀집되어 있으며 높이는 t2에 비례한다. 따라서 시간이 경과함에 따라 점점 그래프는 높아지며, 폭은 좁아진다. 전체 면적은 t에 비례해서 t로 접근하면 2πtδ(ω)의 함수로 접근한다. 이 경우 단위시간의 전이확률은 Pnm=limtPnm(t)t=2π2|Tmn|2δ(ωmn) 로 된다. ωmn을 에너지로 바꾸고, Tmn=m|A|n를 이용하면, Pnm=2π|m|A|n|2δ(EmEn) 이 된다.

주기적인 섭동이 어떤 순간부터 걸릴 때

다음과 같이 주기적인 섭동항이 걸리는 경우를 생각하자. HI(t)={0  t<0,2Acosωt=A(eiωt+eiωt)  t0. 이제 Tmn(t)=2Tmncosωt로 이제부터 TmnA에 대한 행렬요소를 나타낸 것으로 하자. (1) 식으로 부터 nm 상태로 전이할 확률을 계산하면, Pnm(t)=|Tmn|22|ei(ωmn+ω)t1i(ωmn+ω)+ei(ωmnω)t1i(ωmnω)|2 이다. 이 식에서 ωmn+ωωmnω가 각각 0 에 가까운 ωm에 대해서 해당항이 매우 커지는 데 이에 따라 두 경우로 나누어 생각할 수 있다. 즉, ωmωnω 일 때는 ω의 에너지를 방출하고, ωmωn+ω 일 때는 ω의 에너지를 흡수하는 것으로 볼 수 있다. 방출의 경우 (5) 식의 앞 항이 절대적이고, 흡수의 경우 뒷 항이 절대적이어서 나머지를 무시할 수 있다. 따라서 Pnm(t)|Tmn|22[sin[(ωmn±ω)t/2](ωmn±ω)/2]2 여기서 t가 커져서 로 접근하면 위 식의 {}2 항은 2πtδ(ωmn±ω)로 접근하여 확률이 시간 t에 비례해진다. 앞서와 같이 단위시간당 전이할 확률을 에너지로 정리하면, Pnm=2π|m|A|n|2δ(EmEn±ω) 이다.



[질문1] (1) 식을 2차 근사까지 확장하라.

[질문2] (1) 식으로부터 상태가 전이하지 않는 nn의 확률 Pnn(t)을 계산하라. 이것이 1보다 커서 문제가 있어 보인다. 이를 확인하고, 원인과 해소 방법을 논의하라.

[질문3] 다음을 증명하고 이로부터 (3) 식을 명확히 전개하라. limtsin2txtx2=πδ(x),  δ(ax)=1|a|δ(x)


_ 주기_ 전이

페르미의 황금률

어떤 양자상태가 섭동에 의해 연속적인 에너지 고유상태로 전이하는 확률 법칙이다.

섭동 에너지가 어떤 순간부터 일정하게 주어진다고 했을 때 n에서 m으로의 전이확률이 (2) 식으로 정리되었다. 식에서 []2의 항은 시간이 커짐에 따라 ωmn이 0 주변에서 뾰족해지고, t이면 2πtδ(ωmn)으로 된다. 대체로 뾰족한 범위는 2π/t로 에너지의 변동으로 표현하면 ΔE2πt 정도이다. 즉 이 정도 범위로 비섭동 해밀토니안 H0에 대한 에너지가 보존된다.

전이가 연속 스펙트럼 상태로 일어나는 경우를 생각하자. 이 경우는 m로 표기한 특정한 상태는 연속상태의 특정한 범위로 대치해서 생각해야 한다. 즉 확률을 확률밀도로 대치해야 한다. ωmn이 의미있는 영역의 폭이 dω라 하고, 이에 해당하는 연속적인 에너지의 폭을 dEm이라 하면 이에 속하는 상태수는 dN=g(Em)dEm 이다. 여기서 g(Em)m 주변에서 단위에너지의 폭에 대한 상태수로 상태밀도(density of state)라고 한다. m 주변 영역으로 전이하는 전이율(transition rate)은 Wnm=1tmPnm(t) 으로, 여기서 mm의 주변이다. 이 영역이 실은 연속 스펙트럼이므로 로 대치되어 Wnm=1tPnm(t)g(Em)dEm=1t2|Tmn|2[sin(ωmnt/2)ωmn/2]2g(Em)dEm 여기서 적분에 기여하는 영역은 ΔE의 아주 좁은 범위로 국한되고 Tmnm에 무관하다고 생각할 수 있다. 또한 []2 함수의 특성상 적분을 전공간으로 확장해도 무방하다. 따라서 Wnm=|Tmn|2g(Em) tdω[sin(ωt/2)ωt/2]2Wnm=2π|m|A|n|2g(Em)|Em=En 이다. 이 식은 페르미에 의해 유도되어 페르미의 황금률(Fermi's golden rule)이라 한다.

(4) 식처럼 주기적인 섭동이 걸리는 경우도 이와 비슷하게 논리를 전개할 수 있다. 이때 앞서의 Em=En의 조건이 Em=En±ω으로 달라지는 데 이는 걸려있는 퍼텐셜로부터 ω의 에너지를 방출하거나 흡수하기 때문이다. Wnm=2π|m|A|n|2g(Em)|Em=En±ω

Pnm는 특정상태 n이 다른 특정상태 m으로 전이하는 단위시간당 전이률로 에너지보존 조건이 δ 함수로 부과되어 있다. 반면에 황금률에서의 Wnm은 특정상태 nm 상태 주변 단위에너지 폭에 대해 단위시간당 전이률이다. 식의 말미에 명시적으로 나타낸 것처럼 에너지보존이 당연히 만족되는 것을 전제한다. Wnm의 표현은 최종상태인 m이 연속 스펙트럼을 가질 때 특히 유용하다. 한편, 넓은 뜻으로는 Pnm이나 Wnm의 관계식 모두를 페르미의 황금률이라 하기도 한다.


_ 상태밀도_ 확률밀도_ 페르미_ 주기_ 전이



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