섭동항 HI가 t=0부터 걸리되 그 때부터는 일정한 값으로 유지된다고 하자. HI(t)={0t<0,At≥0. 이러한 경우도 역시 시간에 의존하는 섭동이다. 그러나 Tmn(t) 역시 t=0 이후로는 시간에 무관하여 앞서 1차 섭동으로 유도한 다음 식에서의 적분항은 바로 계산된다. cm(t)≅δmn+1iℏ∫t0eiωmnt′Tmn(t′)dt′Tmn을 제외한 적분항은 ∫t0eiωmnt′dt′=eiωmnt−1iωmn 이다. 따라서 n 상태로부터 이와 다른 m 상태(m≠n)로 전이할 확률은 Pnm(t)=|cm(t)|2=|Tmn|2ℏ2[sin(ωmnt/2)ωmn/2]2 이 된다.
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섭동에 의한 에너지의 변화_ 섭동에 의해 전이가 일어날 때 에너지 변화에 대한 상대적인 확률로 ω를 가로축으로 나타낸다. t 슬라이더는 경과시간으로 시간이 경과함에 따라 첨예한 그래프가 되는 것을 알 수 있다.
위 그래프는 시간 t에 따른 에너지의 변화확률을 나타내고 있다. ω=−2πt∼2πt의 범위에 확률이 밀집되어 있으며 높이는 t2에 비례한다. 따라서 시간이 경과함에 따라 점점 그래프는 높아지며, 폭은 좁아진다. 전체 면적은 t에 비례해서 t→∞로 접근하면 2πtδ(ω)의 함수로 접근한다. 이 경우 단위시간의 전이확률은 Pn→m=limt→∞Pnm(t)t=2πℏ2|Tmn|2δ(ωmn) 로 된다. ωmn을 에너지로 바꾸고, Tmn=⟨m|A|n⟩를 이용하면, Pn→m=2πℏ|⟨m|A|n⟩|2δ(Em−En) 이 된다.
주기적인 섭동이 어떤 순간부터 걸릴 때
다음과 같이 주기적인 섭동항이 걸리는 경우를 생각하자. HI(t)={0t<0,2Acosωt=A(eiωt+e−iωt)t≥0. 이제 Tmn(t)=2Tmncosωt로 이제부터 Tmn를 A에 대한 행렬요소를 나타낸 것으로 하자. (1) 식으로 부터 n→m 상태로 전이할 확률을 계산하면, Pnm(t)=|Tmn|2ℏ2|ei(ωmn+ω)t−1i(ωmn+ω)+ei(ωmn−ω)t−1i(ωmn−ω)|2 이다. 이 식에서 ωmn+ω 나 ωmn−ω가 각각 0 에 가까운 ωm에 대해서 해당항이 매우 커지는 데 이에 따라 두 경우로 나누어 생각할 수 있다. 즉, ωm≅ωn−ω 일 때는 ℏω의 에너지를 방출하고, ωm≅ωn+ω 일 때는 ℏω의 에너지를 흡수하는 것으로 볼 수 있다. 방출의 경우 (5) 식의 앞 항이 절대적이고, 흡수의 경우 뒷 항이 절대적이어서 나머지를 무시할 수 있다. 따라서 Pnm(t)≅|Tmn|2ℏ2[sin[(ωmn±ω)t/2](ωmn±ω)/2]2 여기서 t가 커져서 ∞로 접근하면 위 식의 {…}2 항은 2πtδ(ωmn±ω)로 접근하여 확률이 시간 t에 비례해진다. 앞서와 같이 단위시간당 전이할 확률을 에너지로 정리하면, Pn→m=2πℏ|⟨m|A|n⟩|2δ(Em−En±ℏω) 이다.
[질문1] (1) 식을 2차 근사까지 확장하라.
[질문2] (1) 식으로부터 상태가 전이하지 않는 n→n의 확률 Pnn(t)을 계산하라. 이것이 1보다 커서 문제가 있어 보인다. 이를 확인하고, 원인과 해소 방법을 논의하라.
[질문3]
다음을 증명하고 이로부터 (3) 식을 명확히 전개하라. limt→∞sin2txtx2=πδ(x),δ(ax)=1|a|δ(x)
섭동 에너지가 어떤 순간부터 일정하게 주어진다고 했을 때 n에서 m으로의 전이확률이 (2) 식으로 정리되었다. 식에서 [⋯]2의 항은 시간이 커짐에 따라 ωmn이 0 주변에서 뾰족해지고, t→∞이면 2πtδ(ωmn)으로 된다. 대체로 뾰족한 범위는 2π/t로 에너지의 변동으로 표현하면 ΔE≈2πℏt 정도이다. 즉 이 정도 범위로 비섭동 해밀토니안 H0에 대한 에너지가 보존된다.
전이가 연속 스펙트럼 상태로 일어나는 경우를 생각하자. 이 경우는 m로 표기한 특정한 상태는 연속상태의 특정한 범위로 대치해서 생각해야 한다. 즉 확률을 확률밀도로 대치해야 한다. ωmn이 의미있는 영역의 폭이 dω라 하고, 이에 해당하는 연속적인 에너지의 폭을 dEm이라 하면 이에 속하는 상태수는 dN=g(Em)dEm 이다. 여기서 g(Em)는 m 주변에서 단위에너지의 폭에 대한 상태수로 상태밀도(density of state)라고 한다. m 주변 영역으로 전이하는 전이율(transition rate)은 Wn→m=1t∑m′Pnm′(t) 으로, 여기서 m′는 m의 주변이다. 이 영역이 실은 연속 스펙트럼이므로 ∑이 ∫로 대치되어 Wn→m=1t∫Pnm′(t)g(Em′)dEm′=1tℏ2∫|Tm′n|2[sin(ωm′nt/2)ωm′n/2]2g(Em′)dEm′ 여기서 적분에 기여하는 영역은 ΔE의 아주 좁은 범위로 국한되고 Tm′n도 m′에 무관하다고 생각할 수 있다. 또한 […]2 함수의 특성상 적분을 전공간으로 확장해도 무방하다. 따라서 Wn→m=|Tmn|2ℏg(Em)t∫−∞∞dω[sin(ωt/2)ωt/2]2 즉 Wn→m=2πℏ|⟨m|A|n⟩|2g(Em)|Em=En 이다. 이 식은 페르미에 의해 유도되어 페르미의 황금률(Fermi's golden rule)이라 한다.
(4) 식처럼 주기적인 섭동이 걸리는 경우도 이와 비슷하게 논리를 전개할 수 있다. 이때 앞서의 Em=En의 조건이 Em=En±ℏω으로 달라지는 데 이는 걸려있는 퍼텐셜로부터 ℏω의 에너지를 방출하거나 흡수하기 때문이다. Wn→m=2πℏ|⟨m|A|n⟩|2g(Em)|Em=En±ℏω
Pn→m는 특정상태 n이 다른 특정상태 m으로 전이하는 단위시간당 전이률로 에너지보존 조건이 δ 함수로 부과되어 있다. 반면에 황금률에서의 Wn→m은 특정상태 n이 m 상태 주변 단위에너지 폭에 대해 단위시간당 전이률이다. 식의 말미에 명시적으로 나타낸 것처럼 에너지보존이 당연히 만족되는 것을 전제한다. Wn→m의 표현은 최종상태인 m이 연속 스펙트럼을 가질 때 특히 유용하다. 한편, 넓은 뜻으로는 Pn→m이나 Wn→m의 관계식 모두를 페르미의 황금률이라 하기도 한다.