섭동이론

다음 프로그램은 상자의 입자에 $t=0$ 부터 섭동 퍼텐셜이 일정하게 주어질 때 파동함수의 변화를 계산하여 시각적으로 보여준다. 섭동의 형태와 정도를 다양하게 변화시키면서 단일상태로 주어진 처음 상태가 주변상태로 전이하는 것을 살펴보자.

exp

시간의존 섭동이론의 모의실험_ 무한 퍼텐셜 장벽 내부에 약간의 섭동 퍼텐셜이 걸려있다. 처음에 주어진 상태는 섭동이 없을 때에 대한 고유상태로 'run'으로 시간을 흐르게 하면 여러 상태로 분기한다. 처음의 단일상태와 섭동 퍼텐셜은 적절하게 변경할 수 있다.

프로그램 설명

2. 앞 페이지의 '변하지 않는 섭동이 어떤 순간부터 걸릴 때'에 해당하는 모의실험이다.

3. 공간격자간격 $\varepsilon=5.0 \times 10^{-3}$, 시간격자간격 $\delta=2.5 \times 10^{-5}$으로 했다. 따라서 $\lambda=2\varepsilon^2/\delta=2.0$ 이다.

4. 화면에 나타나는 거리나 시간은 격자점의 지표값이다. 즉 화면 아래의 세 슬라이더로 퍼텐셜 장벽 형태로 주어지는 섭동 퍼텐셜의 위치, 폭, 높이 등을 변경할 때 슬라이더에 표시된 값은 격자점의 지표값으로의 위치나 범위를 말한다. 예를 들어 퍼텐셜 장벽의 폭을 64로 하였다면 실제의 폭은 $64 \varepsilon = 0.32$으로 환산될 것이다. 아울러 오른쪽 아래 'run' 버튼 부분에 나타나는 값 또한 시간에 대한 지표값으로 이 값이 100 이라면 $t = 100 \delta = 0.0025$으로 환산될 것이다.

5. 슈뢰딩거 방정식을 $m=\frac{1}{2}$, $\hbar = 1$으로 두어서 수치해석을 하였으므로 실제의 상황으로 대응시키려면 물리적인 단위로 다시 환산하여야 한다. 이에 대해서는 '슈뢰딩거 방정식의 수치해석에서의 단위계'를 참고하라.

6. 공간격자의 개수는 가장자리 점을 제외하고 511개이다. 가장자리에서의 파동함수가 강제로 0이 되는 수치해석을 하므로 무한한 퍼텐셜 상자에 입자가 놓여 있는 것으로 볼 수 있다. 따라서 상자의 규모는 여기서의 단위계로 $x=0 \sim 2.56$이다.

7. 화면의 맨 위에는 퍼텐셜 그래프이고, 중간의 'wave ftn'은 파동함수 그래프이다.

8. 'run' 버튼을 누르면 시간이 계속 흘러서 파동함수가 운동하며, 'stop'은 운동을 일시정지시킨다. 위의 '1' 버튼은 1 단위의 시간, '10' 버튼은 10 단위의 시간, 즉 각각 $\delta$과 $10\delta$의 시간을 경과시키고 정지한다. 'reset'는 $t=0$으로 되돌린다.

9. 파동함수 그래프는 ▶ 를 클릭하면 복소함숫값을 다양한 방법으로 다르게 표현한다.

11. 처음에 주어진 상태는 상자에 대한 고유상태로 'quantum #(n)'의 스피너로 선택할 수 있다. 고유상태는 '상자 속의 입자' 절에서 다룬 대로 $k_n= \frac{\pi}{L}n$ 으로 \[ \phi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin k_n x = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \frac{n\pi}{L}x \] 이고, 이의 에너지 고윳값은 \[ E_n = \omega_n = k_n^2 = \frac{n^2\pi^2}{L^2} \] 이다. 퍼텐셜 그래프에는 에너지 고윳값을 푸른색의 수평선으로 나타내고 있다.

12. 시간이 경과하였을 때의 파동함수를 $\phi_m(x)$의 조합, 즉 sin 함수의 조합으로 분해한다. 즉, \[ \begin{equation} \label{eq33} \Psi(x, t) = \sum_m c_m(t) \Phi_m(x, t) = \sum_m \left[ c_m(t)e^{-iE_m t/\hbar} \right] \phi_m(x) \end{equation} \] 어떤 함수를 이에 걸맞는 경계조건을 부과하여 사인함수로 변환하는 것을 이산사인변환(discrete sine transformation: DST)이라 하는 데 프로그램에서는 FFT를 이용한 DST를 수행한다(DST-I 형). 이를 통해 이 식의 $[\cdots]$의 부분이 우선 계산된다. 이 변환결과에 $e^{iE_m t/\hbar}$를 곱해서 최종적으로 $c_m$를 산출하게 된다.

13. 섭동이 걸리지 않은 고유상태 $\phi_m(x)$의 조합으로 분해한 결과는 $m= 1 \sim 110$의 범위에서 화면의 아래 부분에 막대그래프로 나타낸다. $c_m$의 크기를 막대그래프의 높이로, 위상은 막대의 색채를 HSV 색모형으로 나타내게 된다. 그래프 오른쪽의 'scale'이 1 인 경우 그래프의 수직범위가 0~1 이다. 'scale'을 1단계 높이면 막대그래프의 높이가 2배씩 확대되어 전이결과를 세밀히 볼 수 있다.

14. 'copy' 버튼으로 $m=1 \sim 255$에 대한 $\{c_m\}$을 클립보드에 복사한다. 이의 실수값, 허수값, 절대치 제곱의 순으로 기록되며 이를 계산표 프로그램에 복사해서 보다 정교하게 분석할 수 있다. 아울러 수치해석의 조건, 현재시간의 파동함수, $T_{mn}$ 등의 추가 정보도 같이 복사되므로 이로부터 앞 페이지의 $\{c_m\}$에 대한 (1) ~ (2) 식의 근사적인 해석결과와 비교해 볼 수 있다.

15. 'copy'할 때 'perturb'를 체크하면 1차와 2차까지의 섭동이론으로 계산한 결과도 같이 클립보드에 복사한다. 이를 통해서 섭동이론이 어느 정도까지의 정확한 결과를 계산하는지를 비교해볼 수 있다. 섭동이론에서 시간에 대한 적분은 모든 차수에 대해 해석적으로 계산이 되며, 여기서는 이 결과를 이용한다.

관찰 사항

1. 프로그램이 처음 주어진 조건($n=50$)에서 시간을 경과시켜보라. 이 결과를 앞 페이지의 (1)의 근사식으로 주어지는 것과 비교해 보라. 여기서 나타나는 $c_m$의 모양은 적분항의 $T_{mn}$과 이를 제외한 적분결과, 즉 $\frac{\sin \theta}{\theta}$ 항이 곱해져서 나타난다는 것을 유의해야 한다. 처음에 형성되는 모양은 $\frac{\sin \theta}{\theta}$의 기여와 비슷하게 보이나 실제로는 $T_{mn}$의 기여이다.

2. $T_{mn}$의 기여를 극단적으로 줄이려면 섭동 퍼텐셜이 왼쪽 끝으로 완전히 치우쳐 있게 해야 한다. 예를 들어 'center'를 0, 'width'를 4, 'height'를 1000으로 하라. 이 경우 처음에 나타나는 $c_m$의 모양은 거의 $\frac{\sin \theta}{\theta}$에 의한 기여로 볼 수 있다. 이 조건에서 시간을 경과시켜 보자. 시간에 따라 점점 막대 그래프가 변하는 것을 관찰해서 앞 페이지의 '섭동에 의한 에너지의 변화'의 그래프와 비교해 보자. 이때 두 그래프의 수평축 눈금이 각각 양자수와 $\omega$인 것을 감안해야 한다. 최대치에서 첫 번째 최솟값의 지점이 시간에 따라 중심으로 모여드는 데 이 행동이 $\omega = \frac{2\pi}{t}$의 형식을 따르는지 확인하라. 이를 위해서 여러 시간에 걸쳐서 $c_m$값을 복사해서 계산표 프로그램으로 보다 정교한 그래프로서 분석할 수 있을 것이다.

3. 'center'를 128, 'width'를 256, 'height'를 1000으로 하라. 이 경우는 섭동 퍼텐셜이 왼쪽 절반에만 걸린다. 이때 $c_m$값이 변하는 것을 관찰해 보자. 이때 인접한 상태로의 전이가 최대한 억제되는 경우와 억제되지 않은 경우로 나뉘어진다. 처음 상태 $n=50$에서 다른 상태로 다양하게 바꾸어서 실험해서 전이가 선택되는 선택규칙(selection rule)이 무엇인지 찾아보라.

4. 'center'를 256, 'width'를 256, 'height'를 1000으로 하라. 이 경우는 퍼텐셜 장벽이 중심에 대칭으로 걸린다. 3의 실험처럼 해서 이 경우의 선택규칙을 찾아보라.

5. 'center'를 256, 'width'를 512, 'height'를 1000으로 하라. 이 경우에는 전체적으로 균일한 퍼텐셜이 걸리는 것이다. 이러한 섭동의 결과를 관찰해보고, 결과를 설명하라.

6. 여러 가지로 조건을 달리해서 실험해 보자. 이를 통해 어떤 조건일 때 앞 페이지의 (1) 식의 근사가 성립한다고 할 수 있을까?

7. 각각의 실험에 대해 처음 상태로 있는 확률, 즉 'quantum #(n)'으로 준 값에 대한 $c_m$의 변화를 관찰해보자. 이를 위해서는 'scale'을 1로 두거나 데이터를 'copy'해서 살펴볼 필요가 있다.

8. 어떤 조건에서 오랜 시간 동안 경과시키면 다시 거의 처음 상태로 되돌아오는 것을 볼 수 있을 것이다. 즉 주변으로 전이하였다가 다시 모여드는 일이 반복된다. 이러한 조건을 찾아보고, 이러한 일이 일어나는 이유를 생각해 보라. 이 경우도 'scale'을 1로 두고 관찰하는 것이 좋다. 이것은 일종의 양자적 재생(quantum revival)이다.

9. 'copy'로 데이터를 클립보드에 복사해서 엑셀 등에 붙여넣어서 분석하면 $\sum_m |c_m|^2=1$인 것을 확인할 수 있을 것이다. 실제로 확인해보고 그 이유를 설명해 보자.

10. 'perturb'를 선택해서 1차와 2차의 섭동결과를 함께 'copy'하자. 시간을 100, 200, 300 등의 단계로 진행시켜서 각각의 섭동결과가 수치해석으로 풀이한 것과 차이가 점점 벌어지는 것을 살펴보자. 이 경향은 섭동이 걸리는 정도에 따라 차이가 있을 것이다. 섭동의 정도와 섭동법이 유효한 경과 시간 사이에 어떤 상관관계가 있는지 분석해 보자.

[질문1] '관찰 사항' 1에서 $T_{mn}$의 기여를 구체적으로 계산해보라. 즉 $n=50$으로 두고, 몇몇의 $m$에 대해 $\langle m | H_I | 50 \rangle$를 계산하여 'copy'한 값과 비교해 보라. 여기서 $H_I$는 주어진 섭동 퍼텐셜이다.

[질문2] '관찰 사항' 2에서 주어진 섭동 퍼텐셜의 경우 $T_{mn}$이 $m$에 대해 민감하게 변하지 않는 이유는 무엇인가? 달리 $m$가 민감하게 변하게 하기 위해서 퍼텐셜이 어떠해야 하는가?

[질문3] '관찰 사항' 3의 퍼텐셜은 기본적으로 기함수 형태이다. 이 경우 선택규칙이 실험결과처럼 되는 이유를 규명하라. '관찰 사항' 4의 경우는 왜 그런가? 두 결과를 종합해서 대칭성에 대한 일반적인 법칙을 생각해 보라.

[질문4] 2차 섭동식은 시간에 대한 중적분이다. 일정한 섭동이 걸리는 경우에 대해 이 적분을 풀이하여 2차 섭동식이 다음과 같이 정리되는 것을 보여라. \[ \lambda^2 c_m^{(2)}(t) = \left( \frac{1}{i\hbar} \right)^2 \sum_{j} T_{mj} T_{jn} \frac{1}{i \omega_{jn}} \left(\frac{e^{i\omega_{mn}t}-1}{i\omega_{mn}} - \frac{e^{i\omega_{mj}t}-1}{i\omega_{mj}} \right) \] 단 $\omega_{jn}=0$인 $j$에 대해서는 다르게 표현해야 한다. 결과 식의 괄호 속 두 항 중에서 어떤 항이 더 지배적일까?