정상상태의 중첩

앞에서 수소원자에 가우스 파동묶음의 운동을 살펴보았다. 이때의 파동묶음은 처음에는 공간에 국소화된 형태를 유지하지만 곧 넓은 영역으로 퍼져버린다. 그렇다면 어떤 조건에서 태양계에서의 행성처럼 운동할까?

앞에서는 주양자수가 기껏 십수 번째까지를 반영하였고, 파동묶음이 존재하는 영역도 반경 $50 a_0$ 정도 이내에 있었다. 실제 고전역학적인 상황으로 가기 위해서는 주양자수도 수백, 수천 이상이어야 하고, 반경도 이에 맞게 커져야 한다. 이러한 조건에서 일시적이라도 고전적인 운동과 비슷한 운동을 하는 상황은 다음과 같은 조건으로 만들 수 있다. \[ \begin{equation} \label{eq1} \Psi(r, \theta, \phi, 0) = \sum_n \exp \left[-\frac{(n-n_0)^2}{4 \Delta n^2} \right] R_{n,n-1}(r) Y_{n-1,n-1}(\theta, \phi). \end{equation} \] 여기서 기저함수로 동원한 $R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta, \phi)$는 수소원자의 규격화된 고유함수인 데 주양자수 $n$에 대해 $l=m=n-1$의 상태로 국한한다. 따라서 중첩시키는 함수는 다음과 같다. \[ R_{n,n-1}(r) Y_{n-1,n-1}(\theta, \phi) = a_n r^{n-1} e^{-r/na_0} \sin^{n-1}(\theta) e^{i(n-1)\phi}. \] 이 함수들은 각각 적도면에서 반경 $a_0 n^2$을 중심으로 하는 하나의 토러스(torus)로 된 구조를 가지며 이를 중심이 $n_0$이고 불확정도가 $\Delta n$의 가우스 함수로 중첩시킨 것이다.

다음 프로그램에서 볼 수 있는 것처럼 이러한 파동묶음은 적도면에서 일정한 반경의 범위에 국소화된다. 이는 보통의 가우스 함수와는 다르나 수소원자에서는 최소의 불확정관계를 가지고 있어서 일반적인 가우스 파동묶음이라 한다. 이를 운동시켜보면 마치 행성이 원궤도를 따라가는 것처럼 원궤도를 따라가는 것처럼 보인다. 그러나 시간이 지나면 1차원의 파동묶음이 점점 퍼지듯이 이것도 퍼져나간다. 중심 양자수 $n_0$가 크면 이렇게 퍼지는 정도가 줄어들게 되어 고전적인 상황으로 가면 오랜동안 밀집된 상태를 유지할 것이라 짐작할 수 있다.

이처럼 최소의 불확정성을 만족하여 고전적인 운동과 깊이 대응되어 있는 양자상태를 결맞는 상태(coherent state)라고 한다. 결맞는 상태는 최근에 원자나 분자 등 나노 영역에서 실험적으로 확인되고 있다. 이는 양자역학과 고전역학의 경계적인 상태로 거시계(macroscopic system)와 미시계(microscopic system)의 중간이라는 의미로 중시계(mesoscopic system)라 한다. 중시계에서는 계의 규모에 따라 양자와 고전의 두 물리현상이 공존하면서 조건의 변화에 따라 민감하게 한 쪽이 우세하게 나타나는 등 극단적인 행동을 보여서 최근에 들어 활발하게 연구되고 있다.

sim

Java? VTK?

수소원자에서 결맞는 상태 운동_ 수소원자에서 적도를 따라가는 파동묶음의 운동을 보여준다. 파동묶음을 만드는 주양자수는 $n_0$을 중심으로 하고, 그 분산을 $\Delta n$으로 해서 가우스함수 형으로 $n$에 대해 중첩시킨 것이다. 이때 궤도양자수와 자기양자수는 모두 $m=l=n-1$으로 제한하여 적도에 밀집되도록 하였다.'Start'를 눌러 운동을 개시하면 반경을 유지하면서 점차 퍼지는 운동을 한다. 그러나 긴 시간이 흐른 후에는 원래의 모습을 되찾았다가 다시 퍼지는 형식으로 운동을 거듭한다.

프로그램 설명

1. 앞에서 다룬 '수소원자에서 파동묶음의 운동'과 비슷한 환경으로 되어 있다.

2. 반경 40,000 a₀ 이내의 북반구로 국한해서 파동함수의 분포를 보여준다. 파동함수는 적도면에 대해 대칭으로 주어지므로 적도면을 거울면으로 하여 등고면을 반영시켜서 입체면을 유추할 수 있다.

3. 주어진 파동함수는 $n$에 대해 $l=m=n-1$의 상태를 합성한 것으로 처음에 $\phi=\pi$에 중심이 놓여 있는 파동묶음이다. 이때 동원한 기저함수의 수는 '# of using basis'로 나타내었다.

4. 파동묶음이 위치하는 반경은 'n0' 슬라이더로 변경하며, 또한 폭은 'Δn' 슬라이더로 변경한다.

5. 'Start' 버튼으로 운동을 시작시키면 시간이 1 ps 간격으로 증가한다. '×10', '×50'의 선택을 조합하여 시간은 이보다 10 배, 50 배, 500 배 빨리 진행시킬 수 있다. 시간의 진행을 거꾸로 보낼 때에는 'forward'를 선택하지 않는다.

결맞는 상태 운동의 관찰

1. 결맞는 상태의 파동묶음은 비교적 일정한 반경에 매인 운동을 한다. 이때 중심의 주양자수 $n_0$에 대한 반경은 $a_0 n_0^2$으로 실제로 파동묶음의 중심은 이보다 약간 멀리 위치한다.

2. $L_z$의 불확정도는 $\Delta m \hbar$이므로 $\Delta n \hbar$ 정도로 볼 수 있다. 각도-각운동량의 불확정성원리에 따라 $\Delta \phi$는 $\Delta n$에 반비례할 것이다. 따라서 처음 주어진 파동묶음에서 $\Delta n$이 커지면 퍼진 정도가 줄어들 것으로 예상할 수 있다. 이를 확인하라.

3. 파동의 중심은 고전적인 운동과 거의 일치하는 주기운동을 한다. 수소원자에서 양자수 $n$의 에너지에 대응하는 원운동의 주기는 다음과 같다. \[ \begin{equation} \label{eq3} T_{\mathrm{Kepler}} = \frac{\pi \hbar}{|E_1|} n^3 = 1.520 \times 10^{-16} n^3 ~ \text{sec}. \end{equation} \] 여기서 $E_1$은 수소원자의 바닥상태의 고유에너지로 -13.6 eV 이다. 예를 들어 $n_0=100$이라면 이 양자상태에 대한 고전역학적인 주기는 약 152 ps가 된다. 프로그램에서 $n_0$를 여러 값으로 바꾸어서 위 관계식이 만족되는지 확인해보자.

4. $t=0$에서 \eqref{eq1} 식으로 주어진 파동함수는 시간이 진행하면 다음과 같이 행동한다. \[ \begin{equation} \label{eq4} \Psi(\cdots,\phi, t) = \sum_n \exp \left[-\frac{(n-n_0)^2}{4 \Delta n^2} \right] \left\{ \cdots \right\} e^{i[(n-1)\phi - \frac{E_n}{\hbar} t]} \end{equation} \] 여기서 수소원자의 에너지 고윳값 $E_n = -|E_1|/n^2$ 이다. 이 식은 $x$를 따라가는 일차원의 파동묶음과 비슷하게 $\phi$를 따라간다는 것을 나타낸다. 즉 파동묶음은 적도를 따라가는 원운동을 하게 되고, 이의 군속도로부터 주기를 계산하면 고전역학의 주기와 일치하는 관계를 얻을 수 있다.

5. 파동묶음은 점차 궤도를 따라서 운동함에 따라 점점 그 폭이 넓어진다. 그러나 상당한 시간이 경과하면 파동묶음이 다시 모여들어서 처음의 조건으로 되돌아온다. 중심 주양자수가 $n_0$일 때 원래의 상태를 회복하는 시간은 다음과 같이 알려져 있다. \[ T_{\mathrm{revival}} = \frac{\pi \hbar}{3 |E_1|} n_0^4 = 5.066 \times 10^{-17} n_0^4 ~\text{sec}. \] 이처럼 파동묶음이 원래의 모양을 되찾는 것은 결맞는 상태의 특징으로 이를 양자적 재생(quantum revival)이라 한다. 이러한 현상이 보이는 지를 여러 가지 다른 조건에서 확인해 보자.

6. $T_{\mathrm{revival}}$의 1/4 이나 1/3 과 같이 정수로 나눈 시간이 경과하면 파동함수는 어떤 상태로 나타나는가? 이를 'iso-value'를 달리해서 면밀하게 관찰해 보아 파동함수의 공간분포를 파악하라.

7. 처음의 밀집된 파동묶음이 시간이 흐르면 적도를 따라서 넓게 퍼진다. 이때 최대로 퍼지는 데까지 걸리는 시간은 \[ T_{\mathrm{collapse}} = \frac{\hbar}{3 |E_1|} \frac{n_0^4}{\Delta n^2} = 1.613 \times 10^{-17} \frac{n_0^4}{\Delta n^2} ~\text{sec}. \] 이다. 이 관계가 잘 성립되는지 확인하자.

8. 'forward'의 선택을 해제해서 시간이 거꾸로 흐를 때에도 양자적 재생이 나타나는지를 확인하라.

9. 이를 '물질파의 운동' 단원의 '고리에 갇힌 물질파'의 운동과 비교해 보라. 이 경우에도 재생성이 관찰되는가?

[질문1] 고전적인 주기 $T_{\mathrm{Kepler}}$가 \eqref{eq3} 식으로 주어지는 것을 증명하라.

[질문2] \eqref{eq4} 식으로 파동묶음의 군속도($\phi$에 대한 각속도)를 구해서 이의 주기가 $T_{\mathrm{Kepler}}$와 일치하는 것을 검증하라.

[질문3] 양자적 재생이 나타나는 이유는 무엇인지 정성적으로 설명하라.