물질파의 운동

고리에 갇힌 물질파

아래 프로그램은 둥근 고리를 따라 움직이는 염주 같은 물질의 파동의 행동을 보여 주고 있다. 이 경우는 한 바퀴를 돌면 다시 처음 위치로 되돌아오므로 앞서 살펴보았던 1차원 상자 속에 갇힌 물질파의 경우와 약간 차이나는 경계조건을 갖는다. 프로그램에서 'Standing'을 선택하면 고리에서의 정상파의 운동을 보여주는 데 이에 대한 고전적('Classical')인 파동은 둥근 쇠고리의 공진 등에서 볼 수 있고, 물질파의 경우에는 수소원자에 대한 보어의 가설을 드브로이의 물질파로 해석한 것과 같다.

고리를 따라가는 물질파의 특징

1. 그림에서 테두리 바깥에서부터 안쪽으로 가면서 각각 복소파동함수, 파동함수의 실수부, 파동함수의 허수부, 그리고 파동함수의 절대치 제곱인 확률밀도함수를 보여준다.

2. 처음에 주어진 설정은 파동묶음이 'Gaussian'으로 선택되어 있고, 파수의 중심값 $k_0$가 61 으로 주어져서 '운동'시키면 시계방향으로 회전하게 된다. 그러나 실제로 파수 $k$는 파동묶음의 폭과 반비례하는 폭을 가지기 때문에 진행속도가 차이나는 파동이 중첩된 것으로 볼 수 있다. 이에 따라 시간이 진행함에 따라 회전하면서 파동묶음의 폭은 점차 넓어지게 된다. 처음 파동묶음의 폭이 좁을수록 더 급격하게 퍼지는 데 이는 파수의 범위가 더 넓기 때문으로 이해할 수 있다.

3. 파수의 중심값을 0 으로 선택하면 파수공간에서 파동함수가 $k=0$의 축을 중심으로 좌우 대칭의 가우스 함수꼴을 하게 되므로 시계방향과 반시계방향으로 운동하는 성분이 동일하다. 따라서 파동묶음은 양방향으로의 대칭적인 운동을 하게 된다.

4. 파동묶음의 꼴이 'Gaussian'인 경우가 'Square', 'Bell', 'Saw tooth' 등 다른 형태에 비해서 가장 유연하게 운동하는 것처럼 보인다. 이는 'Gaussian'에 대한 파수의 폭이 가장 적기 때문이다. 실제로 불확정성원리에서 = 이 성립하는 극한의 조건이 파동묶음이 가우스 함수일 때이다.

5. 'Plane'의 경우는 정현파의 $e^{ik_0 x}$ 형태의 파동함수를 준 것으로 단일한 $k$ 값을 가진다. 따라서 파동함수가 비교적 일정하게 회전하게 된다. 그러나 $k$가 임의로 주어진다면 원형이 완성되는 점에서는 불연속이 있을 수 밖에 없어서 경계에서 파동함수가 단절된 효과 때문에 $k$ 값이 큰 범위를 갖는 것이 된다. 따라서 그 불연속의 정도가 크면 클수록 파형이 심하게 변화되면서 회전한다. 예를들어 $k_0$가 22, 27 등에서는 불연속이 거의 없어서 비교적 모양이 유지되는 데 이는 실제로 불연속이 완전히 없어지는 22.09, 27과 같거나 비슷하기 때문이다.

6. 'Standing'의 함수를 선택하면 확률밀도함수가 시간에 따라 변하지 않고 고정된 모습을 하는 정상파의 행동을 보여준다. 이때는 단일한 $k$값을 가지는 $\cos(k_0 x)$의 함수꼴로서 $k_0$의 값도 정상파의 조건에 걸맞게 주어진다. 이 값 역시 $k_0$ 슬라이더로 조절할 수 있다. 이 상황은 보어의 모형에 의한 수소원자의 해석과 동일하다.

7. 시간이 상당히 흐르면 파동묶음은 원래의 상태로 회복되어 반복되는 운동을 한다. 이것이 양자적 재생으로 속박계에서 파동묶음이 보이는 특이한 성질이다.

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