물질파의 운동

줄을 따라 진행하는 파동은 고정된 지점을 만나면 되튀어 나온다. 만일 양쪽이 고정되어 있다면 파동이 속에 갇힌 채로 계속 왕복하는 운동을 할 것이고 이 과정에서 입사파와 반사파가 만나서 부분적으로 정상파의 모습을 보이기도 할 것이다. 줄의 파동의 경우 파수가 큰 고주파의 성분은 비교적 감쇠가 빠르게 일어나서 곧 기본진동모드나 2배 등 낮은 차수의 진동모드의 정상파만 남는다. 기타 등 현악기를 튕겼을 때 특정한 몇몇 성분의 음이 살아남아 그 음색을 결정한다.

공간에 갇혀있는 물질파도 이와 비슷하지만 일반적인 파동에 비하여 파동묶음의 흩어짐, 즉 분산이 크게 일어나므로 공간을 뛰노는 양상이 차이가 있다.

아래 프로그램은 물질파가 양쪽에 무한히 높은 장벽에 의해 갇혀 있을 때의 행동을 관찰해 보기 위한 것이다. 복소함수로 표현되는 파동을 여러 측면으로 살펴볼 수 있도록 화면구성을 하여 절대값-위상, 실수부-허수부, 확률밀도의 움직임이 그래프로 그려진다.

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Java?

1차원 상자에 갇힌 물질파_ 화면의 위는 파동함수를 절대치와 위상, 실수부와 허수부로 보여주고 있다. 물질파는 상자 속에 놓여 있으며 상자 내부에서는 아무런 힘을 받지 않고 있다. 'Gaussian', 'Square', 'Bell', 'Saw tooth'의 경우는 파동묶음을 이루고 있으며 이들의 폭, 중심 파수값 등은 아래의 두 슬라이더로 조절할 수 있다. 'Plane'은 복소평면파동을, 'Standing'은 입자를 발견할 확률이 전 공간에 걸쳐 변하지 않는 정상파를 보여준다. 정상파의 경우 파수는 띄엄띄엄한 값으로 제한되어 있고 $k_0$의 슬라이더로 변경할 수 있다. 그리고 'Fixed Boundary'를 선택하면 상자의 가장자리에서 파동함수가 0이 되어 보통의 상자를 나타내고, 'Opened Boundary'를 선택하면 가장자리에서 파동함수가 자유단을 형성하게 된다. 'Classical Wave'를 선택하면 파동은 줄의 파동과 같은 고전적인 파동의 행동을 보여준다.

상자 속의 물질파의 특징

1. 물질파는 다른 파동과 달리 파동량이 기본적으로 복소수이다. 그리고 실제로 이의 절대치 제곱이 그 입자를 발견할 확률밀도이고 관찰가능한 양이다. 위 그래프에서 오른쪽 상단의 ▶ 를 클릭하여 'Probability'를 선택한 푸른색의 그래프가 확률밀도 그래프이다. 그리고 'Re and Im graph'를 선택하면 복소수의 실수부와 허수부를 각각 보여준다.

2. 'Gaussian'을 선택하여 운동을 시작시키면 파동묶음이 오른쪽으로 진행해서 벽에 부딪히고, 무한히 높은 퍼텐셜에 의해 완전히 반사를 하게 된다. 이때 오른쪽으로 입사하는 파와 왼쪽으로 반사하는 파는 간섭을 일으켜서 마디와 골이 있는 정상파가 부분적으로 생겨난다. 이 정상파의 파장은 $k_0$ 값에 반비례한다.

3. 물질파의 파장은 확률밀도함수의 주기성과는 직접적으로 관련되어 있지는 않다. 예를 들어 'Gaussian'을 선택했을 때 확률밀도함수는 종모양의 가우스 함수모양이 되며 밀도함수가 공간적으로 파형을 가지지는 않는다. 단, 이의 실수부나 허수부는 주기성을 가지고 있고, 이것이 물질파의 파장을 결정한다.

4. 'Standing'의 함수를 선택하면 확률밀도함수가 시간에 따라 변하지 않고 고정된 모습을 하는 정상파의 행동을 보여준다. 이를 고유파동이라 하고 이때의 파장, 진동수, 에너지 등을 고유파장, 고유진동수, 고유에너지라 한다. 고차의 고유진동의 경우 확률밀도가 약간 진동을 하는 모습을 보이나 이는 컴퓨터 그래픽의 한계 때문이다.

5. 어떤 형태의 파동묶음이든 파형은 모든 가능한 고유파동의 적절한 조합으로 볼 수 있다. 비록 각각의 고유파동은 그 확률밀도가 멈쳐 있지만 이것이 두 개 이상 결합되면 확률밀도가 진동을 하게 된다. 그리고 확률밀도가 변하지 않는 유일한 경우는 하나의 고유파동을 그 성분으로 갖는 경우이다.