물질파의 운동

물질파의 운동

2차원 자유공간의 물질파의 행동

앞서 1차원에대해 유도했던 분산관계식과 파동방정식은 쉽게 2차원이나 3차원에의 식으로 바꿀 수 있다. 2차원이나 3차원의 경우는

$\vec{p} =\hbar \vec{k}$

$E= \hbar \omega$ 이고, 분산관계식은

$\omega = \frac{\hbar}{2m} |\vec{k}|^2$

다음의 평면파에 대해 분산관계와 관련시켜보자.

$\Psi(\vec{r}, t) = \Psi_0 e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r}-\omega t)}$ 1차원에서처럼 이 식과 평면파를 연관시키면 다음의 2차원에서의 파동방정식을 얻을 수 있다.

$i \hbar \frac{\partial \Psi(\vec{r},t)}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{\partial^2 \Psi(\vec{r},t)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \Psi(\vec{r},t)}{\partial y^2} \right)$

_ 파동방정식_ 분산관계_ 평면파

2차원 상자에 갇힌 물질파

아래 프로그램은 2차원 상자에 갇혀 있는 물질파의 행동을 흉내내고 있다. 마치 당구대 위의 당구공처럼 가장자리에서 되튀어 나오는 행동을 한다.

exp

Java?

2차원 상자에 갇힌 물질파_복소파동함수를 색채로 보여준다. 물질파는 가로 세로의 비가 2:1인 상자 속에 놓여 있으며 상자 내부에서는 아무런 힘을 받지 않고 있다. 'Gaussian', 'Square', 'Bell', 'Saw tooth'의 경우는 파동묶음을 이루고 있으며 이들의 폭, 중심 파수값 등은 'x width'과 'y width'의 두 슬라이더로 조절할 수 있다. 'Plane'은 복소평면파동을, 'Standing'은 입자를 발견할 확률이 전 공간에 걸쳐 변하지 않는 정상파를 보여준다. 정상파의 경우 파수는 띄엄띄엄한 값으로 제한되어 있다. 한편 $k_x$ 와 $k_y$ 의 중심 값은 'kx'와 'ky' 슬라이더로 조절한다. 'Fixed Boundary'를 선택하면 상자의 가장자리에서 파동함수가 0 이 되어 보통의 상자를 나타내고, 'Opened Boundary'를 선택하면 가장자리에서 파동함수가 자유단을 형성하게 된다.

_ 복소파동함수_ 복소평면_ 파동묶음_ 정상파_ 물질파_ 파수

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