정상상태의 중첩

수소원자에서 파동묶음의 운동

앞서 수소원자의 정상상태에 대해 자세히 알아보았다. 이것은 양자역학이 성립되고 실제의 물질계에 대해 성공적으로 적용한 첫 사례이다. 보어의 이론이 제대로 설명하지 못하던 수소원자에 대한 여러 성질들뿐만 아니라 다른 원자들이나 원자가 분자로 결합하는 현상들도 수소원자에 대한 이해를 바탕으로 거의 완벽하게 설명할 수 있게 되었다. 이러한 수소원자의 전자가 고전적인 입자와 유사하게 좁은 영역에 놓여 있으면 어떻게 행동할까? 수소원자에서 전자의 퍼텐셜이 태양계에서 지구와 같은 행성의 퍼텐셜과 같은 형식으로 주어져 있다. 따라서 고전역학적으로는 전자가 지구와 마찬가지로 원자핵을 한 초점으로 하는 타원궤도를 그릴 것이다. 이렇게 고전역학으로 회귀하는 상황은 매우 큰 양자수로 된 양자상태가 중첩되어 파동묶음을 이루고 있을 때라고 하는 대응원리가 여기서도 적용될 것이다.

다음 프로그램은 가우스 함수형의 파동묶음이 중심에 있는 양성자의 퍼텐셜에 의해 운동하는 모습을 보여준다. 해석과정 역시 앞서 조화력의 퍼텐셜을 받고 있는 경우와 마찬가지로 정상상태의 조합으로 파동묶음을 분해하고, 각각의 정상상태가 시간에 따라 행동하는 것을 다시 조합해서 나타낸 것이다.

프로그램 설명

1. 앞에서 다룬 '3차원 상자에 갇힌 파동묶음의 운동'과 같은 환경으로 되어 있다. 그러나 단위는 $\hbar=1, 2m=1$이 아닌 실제의 물리적인 단위계를 쓴다. 거리는 보어 반지름 $a_0$를 기본단위해서 표시한다.

2. 공간의 격자는 구면좌표를 기반으로 하여, $r=0 \sim 50 a_0, ~\theta, ~\phi$에 대해 $200 \times 36 \times 36$의 격자점으로 해석한다. 영역은 구면으로 이의 격자구조를 녹색의 그물선으로 나타내었다.

3. 처음에 주어진 파동함수는 중심이 $a_0$의 단위로 (0.0, 0.0, 15.0)에 있는 가우스 형의 파동묶음이다. 이 파동묶음을 수소원자의 고유함수의 조합으로 나타내되 일정한 고유에너지 이하의 것들만 반영하기 때문에 완전한 가우스 형에서 벗어나 있을 수 있다. 사용한 기저함수의 수는 '# of using basis'로 나타내었다.

4. 파동묶음의 중심은 푸른색으로 표시한 $z$ 축에 있으며 위치는 'z0' 슬라이더로 변경한다. 또 중심 파벡터 중에서 $k_x, k_y$를 'kx', 'ky'로 변경한다. 세 슬라이더로 조절하는 것으로 모든 운동의 유형을 다 만들 수 있다. 고전적으로 $y-z$ 평면에서 운동이 이루어져서 타원궤도를 그리는 상황이다.

5. 'Start' 버튼으로 운동을 시작시키면 시간이 0.05 fs 간격으로 증가한다. '×10 speed'을 선택하면 시간은 이보다 10 배 빨리 진행한다. 시간의 진행을 거꾸로 보낼 때에는 'forward'를 선택하지 않는다.

6. 임의의 파동묶음을 수소원자의 정상상태의 조합으로만 나타내는 데는 한계가 있다. 앞서 '수소원자의 양자론'에서의 수소원자의 정상상태로 도입한 해는 전자가 핵에 속박된 경우로 국한된 것이다. 따라서 이들의 조합으로는 속박상태만 생성해 낼 수 있다. 이러한 점 외에도 제한된 영역에서 유한한 격자간격으로 풀이하는 수치해석의 제한이 더 가해진다. 따라서 위 그림으로 살펴볼 수 있는 것처럼 파동묶음의 조건에 따라 재조합된 파동묶음은 가우스형의 함수에서 크게 벗어나기도 한다.

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