정상상태의 중첩

조화진동자는 고전역학에서나 양자역학 모두 중요한 주제가 된다. 이는 자연계가 가진 상호작용 형태로서 가장 빈번하게 나오기도 하지만 또한 두 역학체계에서 깔끔하게 풀이가 되는 많지 않은 예이기 때문이다. 양자론의 해석으로는 본 교재에서 '조화력을 받는 파동묶음의 운동', '조화력을 받는 2차원 파동묶음의 운동' 등의 소단원에서 수치해석으로, '조화진동자의 양자론' 단원에서는 정상상태의 풀이로 다루고 있다. 여기서는 3차원으로 논의를 확장할 뿐 아니라 운동을 정상상태의 조합으로 해석한다.

일반적인 3차원의 조화진동자의 퍼넨셀은 \[ \begin{equation} \label{eq1} U(x, y, z) = \frac{1}{2}\left[ K_x (x-x_c)^2 + K_y (y-y_c)^2 + K_z (z-z_c)^2 \right] \end{equation} \] 으로 각 축에 대한 용수철상수는 $K_x, K_y, K_z$이다. 이 퍼텐셜은 $x, y, z$ 부분이 더해진 형태로 나타나므로 직교좌표계에서 변수분리되어 1차원 조화진동자 셋이 겹친 것으로 풀이된다. 각 축의 용수철 상수가 모두 $K$로 동일하다면 원점에 대한 대칭성을 가진다. 즉, \[ U(x, y, z) = U(r) = \frac{1}{2}K r^2 \] 이다. 따라서 시간에 의존하지 않는 슈뢰딩거 방정식은 직교좌표계에서나 구면좌표계로 모두 풀이된다.

여기서는 '조화진동자의 양자론'에서 다룬 결과를 이용하기 위해서 직교좌표계로 다루어 정상상태의 파동함수와 에너지 고윳값을 다음과 같이 표기한다. \[ \psi_{n_x, n_y, n_z} (x, y, z) = C H_{n_x} (\sqrt{\frac{\omega}{2}}x) H_{n_y} (\sqrt{\frac{\omega}{2}}y) H_{n_z} (\sqrt{\frac{\omega}{2}}z) e^{-\omega (x^2 + y^2 + z^2)/4}, \] \[ E_{n_x, n_y, n_z} = \left( n_x + n_y + n_z + \frac{3}{2} \right) \omega. \] 여기서 $2m=1, \hbar=1$의 단위로 나타내었으며 $\omega=\sqrt{\frac{K}{m}} = \sqrt{2K}$이다. 또 $H$ 함수는 에르미트 다항식이다. 양자상태는 각각의 양자수 $n_x, n_y, n_z$가 모두 0, 1, 2, ... 으로 이들 조합에 따라 여러 겹침상태(축퇴상태, degenerate state)가 있다.

이제 일반해는 \[ \begin{equation} \label{eq5} \Psi(x, y, z, t) = \sum_{n_x, n_y, n_z} A_{n_x, n_y, n_z} \psi_{n_x, n_y, n_z} (x, y, z) e^{-i \left( n_x + n_y + n_z + \frac{3}{2} \right) \omega t} \end{equation} \] 으로 정리된다. 따라서 $t=0$에 주어진 상태로 부터 $A$가 정해지며, 이 식으로부터 시간에 따른 파동함수가 행동이 해석된다. 다음 프로그램에서 처음에 가우스 형 파동함수를 주고 이것이 순차적으로 어떻게 행동하는 가를 보이고 있다.

sim

Java? VTK?

조화력을 받는 3차원 파동묶음의 운동_3차원 조화진동자에서 파동묶음이 운동하는 모습을 보여준다. 처음에 주어지는 가우스 함수형의 파동묶음이 운동하는 것을 입체적인 그림으로 다양하게 나타낸다. 함수의 형태를 다양하게 변경할 수 있으며, 'Start' 버튼을 누르면 운동이 시작된다. 이때 시간의 진행을 빠르게, 혹은 거꾸로 보낼 수 있다.

프로그램 설명

1. 앞에서 다룬 '3차원 상자에 갇힌 파동묶음의 운동'과 같은 환경으로 되어 있다.

2. 처음에 주어진 파동함수는 중심이 (0.5, 0.0, 0.0)에 있는 가우스 형의 파동묶음이다. 파동묶음을 조화진동자의 고유함수의 조합으로 나타내되 일정한 고유에너지 이하의 것들만 반영하기 때문에 가장자리에서는 가우스 형에서 벗어나 있을 수 있다. 사용한 기저함수의 수는 '# of using basis'로 나타내었다. 조화진동자의 고유진동수는 $\omega = 50.0$이다.

3. 표시된 모든 단위는 $2m=1, \hbar=1$로 둔 단위계로 나타낸 것이다.

4. 화면에서 보여지는 영역은 2×2×2 인 정육면체이다. 'Start' 버튼으로 운동을 시작시키면 시간이 0.001 간격으로 증가한다. '×10 speed'을 선택하면 시간은 이보다 10 배 빨리 진행한다. 시간의 진행을 거꾸로 보낼 때에는 'forward'를 선택하지 않는다.

조화력을 받는 파동묶음의 운동 관찰

1. 시간이 흘러서 파동묶음이 운동하면서 그 모양이 크게 흐트러지지 않고 원래의 모양을 되찾는 것을 살펴보자.

2. 고전역학과 비슷한 운동을 하는가? $k$ 값을 다양하게 달리 주어서 움직임을 살펴보아 거듭되는 운동을 하는지 판단해 보자. 거듭된다면 그 주기가 $\omega$와 어떻게 관련되어 있는가?

3. 'iso-value' 값을 변화시켜서 파동함수의 전모를 유추해 보자. 처음에 전제한 가우스 모양의 함수꼴을 전체 범위에서 하고 있는가?

4. 불확정값 'Δ'로 설정한 값의 범위로 등고면을 나타내려면 'iso-value' 값을 얼마로 주어야 할까? 등고면을 이 값으로 설정해서 화면에서 보이는 영역의 크기를 어림해서 'Δ'의 값과 비교해 보자.

5. 시간을 역전시켜서 운동을 관찰해 보자. 시간이 흘러가는 방향이 반대가 되면 운동이 어떻게 달라지는가?

[질문1] 시간이 역전되는 효과와 같은 운동을 만들기 위해서 $k$ 벡터를 어떻게 바꾸어야 할까? 이론적인 근거를 제시하고 실제 이를 프로그램에서 확인해 보자.

[질문2] 파동묶음이 ${2\pi}/{\omega}$의 시간 후에 원래의 모습으로 되돌아 간다. 이를 확인해 보자. $t=0$에 임의의 파동함수가 이렇게 $\omega$의 진동수로 주기운동을 하는 것을 증명하라. 이때 1 주기 후에는 파동함수의 전체적인 위상(global phase)은 달라질 수 있다. 몇 주기 후에 원래의 위상조차 회복될까? (힌트: \eqref{eq5} 식을 이용할 수 있다)

[질문3] \eqref{eq1} 식처럼 각 축에 대한 용수철상수 $K_x, K_y, K_z$가 모두 다르게 주어지면 운동의 주기성은 어떻게 될까?

[질문4] $H_0(x)=1$이다. 따라서 $n_x = n_y = n_z = 0$인 바닥상태의 고유함수는 3차원 가우스 함수의 하나이다. 초기 파동묶음을 이렇게 설정하려면 슬라이더로 조절할 수 있는 값들을 각각 얼마로 주어야 할까? 이 조건과 비슷한 상황을 만들어서 실제 운동을 관찰해 보자. 이때에는 '# of using basis' 값이 1로 되어 단 하나의 기저함수가 가담될 것이다.