수소원자의 양자론

수소원자의 3차원 파동함수의 구조

화려한 색채로 나타나는 자연의 질서

수소원자는 실제의 물리계로서 슈뢰딩거 방정식이 해석적으로 풀이되는 몇 안되는 예이다. 이 단원에서 풀이한 해는 정상상태에 대한 것으로 고유함수 $\psi_{nlm_l}(r, \theta, \phi)$에 시간에 의존하는 함수 $T(t)=e^{-iE_n/\hbar}$를 곱하면 시시각각으로 변화되는 완전한 파동함수가 된다. 앞서 다양한 그림으로 수소원자의 양자상태를 도해하였는 데 이들은 주로 확률밀도함수에 기반을 둔 것이다. 그러나 정상상태의 경우에는 확률함수가 시간에 무관하여 움직임이 나타나지 않아 양자역학이 자칫 정적인 것으로 잘못 이해될 여지가 있다. 실제로 복소수로의 파동함수는 비록 정상상태라 하더라도 시간이 흐름에 따라 끊임없이 변화되고 있다.

아래 프로그램은 복소수로서의 파동함수가 공간적으로 어떻게 분포되어 있는지와 시간에 따라 어떻게 변하되고 있는지를 살펴보기 위한 것이다. 수소원자의 파동함수는 3차원 공간에 분포되어 있고 그 값이 복소수이기 때문에 화면에 이를 적절히 표현하는 것은 쉽지 않다. 3차원이라는 난점과 함께 복소수가 두 개의 스칼라 값을 가진다는 난점이 있는 것이다. 여기서는 복소수의 크기와 편각을 별도로 해서 나타내는 다음 방법을 도입한다. 즉, 복소수의 크기(norm)가 일정한 지점을 연결한 곡면과 함께 복소수의 편각(argument)을 그 곡면 위에서 적절한 색채로 나타내도록 하는 것이다. (오른편 그림은 아래 프로그램이 정상적으로 실행되었을 때로 Java와 VTK가 정상적으로 설치되어야 한다)

여기서는 수소원자의 $n=1\sim 7$의 모든 양자상태를 선택하여 화면에 나타낸다. 입체적으로 형성된 파동함수의 전모를 파악하기 위해서 몇 가지 옵션을 선택하거나 변경할 수 있으며, 아울러 그림을 마우스로 회전시키거나 확대, 축소할 수 있도록 되어 있다. 확률밀도함수를 선택하거나 시간에 따라 파동함수가 변하되는 양상도 같이 살펴 볼 수 있다.

프로그램 설명

1. 여러 색채로 나타나는 곡면은 파동함수가 일정한 지역을 추출하여 연결한 것으로 이를 등고면이라 한다. 등고면(isosurface)는 2차원의 등고선(isoline)을 3차원으로 확장한 것으로 볼 수 있다. 각 면은 공간에 분포된 함숫값이 일정한 지역을 연결하여 만들어지는 곡면이다. 이때의 함숫값을 일정한 간격으로 하여 나타내면 등고면이 층층이 쌓이게 되어 공간에 분포된 함수의 전모를 파악할 수 있다. 이는 온도나 압력, 퍼텐셜 등 크기만 있는 스칼라 함숫값을 나타내는 데 적당하지만 여기서는 복소수의 파동함수에서 그 절대값으로 등고면을 추출하고, 편각은 표면의 색상으로 하였다.

2. 보여지는 영역에 대하여 같은 격자간격으로 61×61×61의 점(복셀, voxel)에 대해 파동함수를 계산해서 등고면을 형성한다.

3. 등고면의 표면색채는 복소파동함수의 복소값의 편각을 HSV 색모형으로 대응시킨 것이다. 이에 따라 편각이 0 에서 부터 360도로 바뀜에 따라 색채는 빨강 , 노랑 , 녹색 , 청록 , 파랑 , 심홍 에서 다시 빨강 으로 연속적으로 변한다. 따라서 색채가 같다는 것은 파동의 위상이 같다는 것으로 이들은 공통파면을 이룰 것이다.

4. 등고면은 'iso-val.' 슬라이더로 변경할 수 있으며 % 값은 파동함수의 최댓값에 대한 비율을 나타낸다. 이 값을 큰 값에서 서서히 줄이면 파동함수의 3차원의 전모를 파악할 수 있게 된다.

5. 아래의 라디오버튼으로 수소원자의 양자수 $n, l, m_l$를 $n=1\sim 7$ 범위에서 선택할 수 있으며 $m$의 음수값은 '+ (sign of m)'의 체크박스의 선택을 해제하여 설정한다.

6. 'auto size' 체크박스를 선택하면 주어진 조건에서 그림이 잘 표현되는 영역으로 그림의 규모를 맞추며 이것을 선택하지 않았을 때는 'box size' 슬라이더로 화면에서 보이는 영역을 수동으로 설정할 수 있다. 슬라이더로 설정하는 값은 보어 반지름($a_0 \approx$ 0.053 nm)을 단위로 한다.

7. 그림의 영역은 정육면체로서 변을 녹색의 선으로 나타내고 있는 데 이의 길이를 'box size"로 나타낸다. 여기서 나타낸 길이의 단위는 nm와 보어 반지름이다.

8. 좌표축은 $x$ 축을 붉은색 으로 $y$ 축을 녹색 으로 $z$ 축을 푸른색 의 화살로 나타낸다.

9. 'half view'를 선택하면 $y$의 + 영역으로 제한하게 되어서 $z$ 축이 놓인 단면의 구조를 볼 수 있다.

10. 'probability' 체크박스를 선택하면 확률밀도함수를 나타내게 된다. 이때는 확률밀도, 즉 파동함수의 절대치 제곱으로 등고면을 추출한다. 따라서 동일한 %의 'iso-value'인 경우 확률인 경우가 복소파동함수에 비해서 더 작은 크기의 등고면을 형성한다. 예를 들어 확률의 1%의 등고면이 복소파동함수의 10%의 등고면과 같은 곡면을 이루게 된다. 확률은 언제나 양의 스칼라 값이므로 등고면의 색채는 의미가 없다.

11. 'Start' 버튼을 누르면 시간이 진행함에 따른 파동함수의 행동을 볼 수 있다. 이때의 시간은 'time passed'에서 fs(femto second)를 단위로 나타낸다. 수소원자의 파동함수가 시간에 의존하는 특성은 다음과 같다. \[ \Psi_{n,l,m_l} (\cdots , \phi, t) \propto e^{i(m_l \phi - \omega_n t)}. \] 여기서 \[ \omega_n = \frac{E_n}{\hbar} = - \frac{2.066 \times 10^{16}}{n^2} ~ \text{s}^{-1} \] 이다. 따라서 같은 위상을 가지는 파면은 $z$ 축을 중심으로 $m_l$이 양의 정수인 경우는 반시계방향으로, 음의 정수인 경우는 시계방향으로 회전한다. 즉 $m_l \neq 0$이면 마치 강체가 회전하는 것처럼 채색된 형태를 그대로 유지하면서 회전한다. 이때 파면이 회전하는 속도, 즉 위상각속도는 $\frac{\omega_n}{m_l}$로 $n^2m_l$에 반비례할 것이다. 실제로 채색된 등고면이 이 위상각속도로 회전한다. 한편 $m_l=0$일 때는 공간의 파동함수 $\psi$가 실수값을 가져서 $+$ 값일 때 붉은색 과 $-$ 값일 때 청록색 (cyan)의 서로 보색관계인 두 색채로 나타난다. 이 경우도 시간이 경과되면 $e^{-i\omega t}$의 기여 때문에 서로 보색인 두 색으로만 나타난다. 한 지점에서는 색채, 즉 위상이 진동하는 데 이의 진동수는 $\omega_n$으로 양자수 $n$에만 의존한다.

12. 확률밀도함수의 경우에는 $\phi$의존성이 없어서 등고면이 $z$ 축에 대해 회전대칭이고, 또한 $t$에 대한 의존성이 없어서 시간의 경과에 관계없이 일정한 형태를 유지한다.

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