수소원자의 양자론

1896년 제이만(Zeeman)은 자기장에 놓여 있는 원자의 선 스펙트럼이 몇 성분으로 분리되는 것을 발견하였다. 이를 제이만 효과(normal Zeeman effect)라 하는 데 이는 고전 전자기 이론으로 어느 정도 설명할 수 있지만 수소원자에 대한 양자역학적인 해석을 통해서 확실히 이해할 수 있게 되었다.

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각운동량과 자기쌍극자모멘트_전하를 띤 물체가 회전운동을 하면 자기쌍극자모멘트를 가진다. 그림에서의 입자는 전자로서 반경 $r$ 을 속도 $v$ 로 등속 원운동을 하고 있고, 이의 각운동량과 자기쌍극자모멘트는 서로 비례하면서 반대 방향을 향한다. 여기서 전류의 방향은 전자가 움직이는 방향과 반대이며, 노랑 화살표로 나타내었다.

자기쌍극자모멘트

고리 모양의 도선을 흐르는 전류는 자기 쌍극자를 형성하게 되고 이는 자기장에 의해 토크를 받게 된다. 자기쌍극자모멘트(magnetic dipole moment)는 고리의 면적과 흐르는 전류의 곱의 값으로서

$\mu = IA$ 가 되고 이것이 자기장에 놓여 있을 때 받는 토크는

$\tau = \mu B \sin \theta$ 이다. 여기서

$\theta$ 는 자기장과 토크가 이루는 각이며 이것에 의해 자기쌍극자모멘트는 자기장과 나란해지려는 토크를 받는다.

한편 이때의 퍼텐셜에너지는

$U_\text{magnetic} = - \mu B \cos \theta$ 이다.

각운동량과 자기쌍극자모멘트

전하를 띤 물체가 원형궤도를 그리면서 돌면 그 궤도로 맴돌이 전류가 흐르는 것이 되고 이에 따라 자기쌍극자모멘트를 가지게 된다. 왼편 그림에서 반경

$r$ 의 원궤도를 따라서 속도

$v$ 로 회전하는 물체가 가지는 각운동량과 자기쌍극자모멘트의 관계를 설명하고 있다. 이들 두 벡터가 방향이 반대인 것은 회전하는 입자가 음의 전하를 가지고 있는 전자이기 때문이다. 이들 둘의 관계는

$\vec{\mu} = - \frac{e}{2m} \vec{L}$ 이고, 이 식에서 두 벡터량의 비례계수

$-e/2m$ 을 자기회전비율(gyromagnetic ratio)라고 한다. 따라서 전자의 각운동량이 양자화 되어 있으므로 자기쌍극자모멘트도 양자화 될 것이다.

만일에 수소원자에 자기장이 걸리게 되면 원자가 가지는 자기 퍼텐셜에너지는

$U_\text{magnetic} = \frac{e}{2m} LB \cos \theta$ 이 되어 이제

$L$ 의 양자화 상태에 따라 에너지 고윳값의 차이가 생기게 된다. 한편 자기장이 걸리는 방향을

$z$ 로 하는 것이 문제를 다루기에 편리하여 자기양자수

$m_l$ 에 따라 다음과 같이 자기장에 비례하는 자기 에너지를 가지게 된다.

$U_\text{magnetic} = m_l \left( \frac{e \hbar}{2m} \right) B$ 위의 관계에서 ( ) 속의 양은 상수로서 보어 마그네톤(Bohr magneton)이라 하여 쌍극자모멘트의 자연 단위가 된다.

$\mu_B = \frac{e \hbar}{2m} = 9.274 \times 10^{-24} ~\mathrm{J/T ~(= A \cdot m^2)}$

자기장에 의해 겹침(축퇴)이 깨어진다.

$m_l$ 이 다르더라도 에너지 준위는 같은 겹친상태(축퇴상태)인 데 이제 자기장이 걸리면

$m_l$ 의 고윳값에 따라 에너지의 차이가 생기게 된다. 즉 겹침이 깨어지면서 에너지 준위의 차이가 생기고 이에 따라 두 상태의 전이 과정에서

$m_l$ 의 변화에 따라 스펙트럼이 분리된다. 그러나 선택규칙에 의해

$\Delta m_l= 0, \pm 1$ 의 제한이있기 때문에 분리되는 수는 세 개이다. 이것이 바로 제이만 효과이다.

다음 그림은 자기장이 걸릴 때의 전이 스펙트럼이 세 개로 분리되는 것을 설명하고 있다. 왼쪽은 자기장이 걸리지 않을 때이며 오른쪽 여러 가닥으로 전이하는 그림은 자기장

$B$ 가 걸리는 상황이고 이 자기장의 크기를 변화시켜 달라지는 결과를 볼 수 있게 하였다.

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제이만 효과_ 수소원자에 자기장이 걸릴 때 스펙트럼선이 분리되는 제이만 효과를 보여주고 있다. 자기장 $B$ 의 크기는 아래의 슬라이더로 조절되며, 선택규칙 $\Delta m_l = 0, \pm 1$ 에 의해 언제나 세 개의 선으로 분리된다. 스펙트럼이 분리되어 관측되는 그림이 아래에 표시되어 있으며, 진동수나 파장의 변화를 나타내기 위해 색을 과장되게 표현하였다.

[질문1] 자기장이 5T가 걸려있을 때 수소원자의 3p 상태에서

$m_l=0$ 과

$m_l=1$ 사이의 에너지 차이는 얼마인가?

[질문2] 수소원자가

$n=3$ 에서

$n=2$ 로 전이하여 빛을 방출한다. 이 때 방출되는 빛의 진동수는 얼마인가? 만일 자기장이 1T 걸려 있다면 진동수는 어떻게 갈라질까?

[질문3] 발머 계열의 파장 656.3 nm의 붉은 선 스펙트럼은

$n=3\rightarrow 2$ 의 전이에 의한 것이다. 이 스펙트럼을 보다 세밀하게 분석하니 각각 0.01 nm씩 떨어진 세 선으로 되어 있는 것을 알았다. 이 수소원자에 걸려있는 자기장은 얼마일까?