수소원자의 양자론

제이만 효과

자기장에 의한 상태의 분리

1896년 제이만(Zeeman)은 자기장에 놓여 있는 원자의 선 스펙트럼이 몇 성분으로 분리되는 것을 발견하였다. 이를 제이만 효과(normal Zeeman effect)라 하는 데 이는 고전 전자기 이론으로 어느 정도 설명할 수 있지만 수소원자에 대한 양자역학적인 해석을 통해서 확실히 이해할 수 있게 되었다.

자기쌍극자모멘트

고리 모양의 도선을 흐르는 전류는 자기 쌍극자를 형성하게 되고 이는 자기장에 의해 토크를 받게 된다. 자기쌍극자모멘트(magnetic dipole moment)는 고리의 면적과 흐르는 전류의 곱의 값으로서 $\mu = IA$ 가 되고 이것이 자기장에 놓여 있을 때 받는 토크는 \[ \tau = \mu B \sin \theta \] 이다. 여기서 $\theta$는 자기장과 토크가 이루는 각이며 이것에 의해 자기쌍극자모멘트는 자기장과 나란해지려는 토크를 받는다.

한편 이때의 퍼텐셜에너지는 \[ U_\text{magnetic} = - \mu B \cos \theta \] 이다.

각운동량과 자기쌍극자모멘트

전하를 띤 물체가 원형궤도를 그리면서 돌면 그 궤도로 맴돌이 전류가 흐르는 것이 되고 이에 따라 자기쌍극자모멘트를 가지게 된다. 왼편 그림에서 반경 $r$의 원궤도를 따라서 속도 $v$로 회전하는 물체가 가지는 각운동량과 자기쌍극자모멘트의 관계를 설명하고 있다. 이들 두 벡터가 방향이 반대인 것은 회전하는 입자가 음의 전하를 가지고 있는 전자이기 때문이다. 이들 둘의 관계는 \[ \vec{\mu} = - \frac{e}{2m} \vec{L} \] 이고, 이 식에서 두 벡터량의 비례계수 $-e/2m$을 자기회전비율(gyromagnetic ratio)라고 한다. 따라서 전자의 각운동량이 양자화 되어 있으므로 자기쌍극자모멘트도 양자화 될 것이다.

만일에 수소원자에 자기장이 걸리게 되면 원자가 가지는 자기 퍼텐셜에너지는 \[ U_\text{magnetic} = \frac{e}{2m} LB \cos \theta \] 이 되어 이제 $L$의 양자화 상태에 따라 에너지 고윳값의 차이가 생기게 된다. 한편 자기장이 걸리는 방향을 $z$로 하는 것이 문제를 다루기에 편리하여 자기양자수 $m_l$에 따라 다음과 같이 자기장에 비례하는 자기 에너지를 가지게 된다. \[ U_\text{magnetic} = m_l \left( \frac{e \hbar}{2m} \right) B \] 위의 관계에서 ( ) 속의 양은 상수로서 보어 마그네톤(Bohr magneton)이라 하여 쌍극자모멘트의 자연 단위가 된다. \[ \mu_B = \frac{e \hbar}{2m} = 9.274 \times 10^{-24} ~\mathrm{J/T ~(= A \cdot m^2)} \]

자기장에 의해 겹침(축퇴)이 깨어진다.

$m_l$이 다르더라도 에너지 준위는 같은 겹친상태(축퇴상태)인 데 이제 자기장이 걸리면 $m_l$의 고윳값에 따라 에너지의 차이가 생기게 된다. 즉 겹침이 깨어지면서 에너지 준위의 차이가 생기고 이에 따라 두 상태의 전이 과정에서 $m_l$의 변화에 따라 스펙트럼이 분리된다. 그러나 선택규칙에 의해 $\Delta m_l= 0, \pm 1$의 제한이있기 때문에 분리되는 수는 세 개이다. 이것이 바로 제이만 효과이다.

다음 그림은 자기장이 걸릴 때의 전이 스펙트럼이 세 개로 분리되는 것을 설명하고 있다. 왼쪽은 자기장이 걸리지 않을 때이며 오른쪽 여러 가닥으로 전이하는 그림은 자기장 $B$가 걸리는 상황이고 이 자기장의 크기를 변화시켜 달라지는 결과를 볼 수 있게 하였다.

[질문1] 자기장이 5T가 걸려있을 때 수소원자의 3p 상태에서 $m_l=0$과 $m_l=1$ 사이의 에너지 차이는 얼마인가?

[질문2] 수소원자가 $n=3$에서 $n=2$로 전이하여 빛을 방출한다. 이 때 방출되는 빛의 진동수는 얼마인가? 만일 자기장이 1T 걸려 있다면 진동수는 어떻게 갈라질까?

[질문3] 발머 계열의 파장 656.3 nm의 붉은 선 스펙트럼은 $n=3\rightarrow 2$의 전이에 의한 것이다. 이 스펙트럼을 보다 세밀하게 분석하니 각각 0.01 nm씩 떨어진 세 선으로 되어 있는 것을 알았다. 이 수소원자에 걸려있는 자기장은 얼마일까?

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