수소원자의 양자론

수소원자의 중첩된 상태

적절하게 중첩된 두 상태는 진동하거나 회전한다.

앞서 1차원 상자의 정상상태를 다룰때 정상상태가 더해진 '비정상상태'의 행동을 살펴보았다. 정상상태가 조합된 상태는 확률밀도함수가 정적이지 않을 수 있고, 또한 이 때문에 빛을 방출하고 전이할 수 있기 때문에 수소원자의 경우에 대해 살펴보는 것은 물리적으로 매우 중요하다. 이러한 고려는 보어의 가설 중 둘째 가설인 진동수 가설을 실증할 수 있을 것이다.

다음은 수소원자의 상태 둘이 포개진 중첩상태를 보여주는 프로그램이다. 프로그램은 앞에서의 '수소원자의 3차원 파동함수의 구조'에서와 거의 같이 구성하였고, 중첩시킬 두 상태를 적절하게 변경할 수 있도록 하였다.

프로그램 설명

1. 프로그램의 운용 방법은 앞의 '수소원자의 3차원 파동함수의 구조'와 같다.

2. 보여지는 영역에 대하여 같은 격자간격으로 51×51×51의 점(복셀, voxel)에 대해 두 파동함수를 계산하고, 위상차이를 두고 둘을 더한 파동함수를 등고면을 형성한다.

3. 두 상태는 각각 n, l, m의 라디오 버튼으로 변경할 수 있으며, 둘을 합성할 때의 상대적인 위상은 'rel. phase'의 슬라이더로 변경한다. 변경값은 -180~180° 범위에서 도(°, degree) 단위로 하며 0° 일 때는 둘을 그대로 더하는 것이고, 180° 인 경우는 둘을 빼는 것이 될 것이다. 이 슬라이더를 선택하고, '◀'와 '▶' 자판을 누르면 단계별로 변하는 모습을 잘 살펴볼 수 있다.

관찰 사항

1. 합성하는 둘의 상대적인 위상값을 라디안으로 $\eta$라 한다면, 합성된 파동함수는 \[ \Phi(r, \theta, \phi, t) = \psi_{n,l,m_l} ~ e^{-i\omega_n t} + A e^{i \eta} \cdot \psi_{n',l',m_l'} ~ e^{-i \omega_{n'} t} \] 이다. 여기서 상대적인 진폭 $A$은 1로 고정하여 1:1로 합성한다. 시간이 경과됨에 따라 $\psi_{n,l,m_l}$와 $\psi_{n',l',m_l'}$의 상대적인 위상은 $\eta + (\omega_n - \omega_{n'}) t$으로 더해진다. $n\neq n'$인 경우라면 $\eta$를 변경시켜서 전체 시간에서 파동함수의 패턴의 변화를 살펴볼 수 있게 된다. 즉, 'Rel. Phase'를 -180~180° 범위에서 변경시키면 시간에 따라 달리지는 등고면의 모양을 다 밟게 된다.

2. 앞서 겹친상태(축퇴상태)가 중첩된 경우에 대해 파동함수의 뿔구조를 알아보았다. 이때는 두 상태의 $n$ 양자수가 동일한 경우로서 에너지 고윳값이 같아서 전자의 확률밀도함수는 시간에 따라 변하지 않는다. 여기서 두 양자수 $n$과 $n'$을 동일하게 두고 파동함수의 시간적인 변화를 살펴보면 위상(복소수의 편각)만 변하고 크기는 변하지 않는 것을 알 수 있다. 특별히 $n=n'=2,~l=l'=1$로 두고 $m=-1, ~m=1$로 두어 상대적인 위상을 변경하면 $x-y$ 평면위에서 양쪽으로 뿔을 가지는 구조가 회전하는 것을 볼 수 있다. $\eta=0$ 일 때의 상태가 $p_x$, $\eta=\pi$일 때가 $p_y$ 이다.

3. $sp$ 혼성화는 $s$와 $p_z$를 결합한 것이다. $n=2$도 동일하게 두고 $l=0,~ m_l=0$와 $l=1,~ m_l=0$을 중첩시켜서 나타나는 전자의 분포를 살펴보자.

4. 두 파동함수의 양자수를 $n\ge 3$과 $l=2$으로 동일하게 두고, $m_l = \pm 1$과 $m_l = \pm 2$을 각각 $\pm$로 중첩시켜서 $d$ 혼성궤도를 구성하고, 파동함수의 모양을 살펴보자. 이렇게 구성하는 넷과 더불어 $m_l=0$의 $d_{z^2}$의 다섯 상태의 뿔구조를 각각 색채를 달리해서 하나로 겹쳐서 도해해보자. 이들의 대칭성은 어떠한지 설명하라.

5. 앞서 다음의 선택규칙을 만족하는 전이에서 빛이 방출될 수 있는 것을 설명했다. \[ \Delta n \neq 0, \quad \Delta l = \pm 1, \quad \Delta m_l = 0, \pm 1. \] 이러한 조건에서 전자의 확률밀도함수가 어떻게 변하는지를 살펴보자. 또 이 조건을 만족하지 않는다면 전자는 어떻게 행동하는가?

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