섭동이론

시간의존 섭동이론의 모의실험 2

주기적인 섭동이 어떤 순간부터 걸릴 때

다음 프로그램은 상자의 입자에 주기적인 섭동이 걸릴때 파동함수의 변화를 계산하여 시각적으로 보여준다. 섭동의 형태와 주기를 다양하게 변화시키면서 단일상태로 주어진 처음 상태가 다른 상태로 전이하는 것을 살펴보자.

프로그램 설명

1. 앞에서 이론적으로 다룬 '주기적인 섭동이 어떤 순간부터 걸릴 때'에 해당하는 모의실험이다.

2. 이 모의실험은 앞 페이지의 '시간의존 섭동이론의 모의실험'과 동일한 환경으로 작성하였다.

3. 섭동 퍼텐셜은 다음과 같이 시간의 함수로 걸린다. \[ H_I(x,t) = A(x) \sin \left( \frac{2\pi}{T} t \right) = A(x) \sin \omega t \] 여기서 $A(x)$는 장벽 모양의 퍼텐셜로 중심, 폭, 장벽의 높이는 각각 'center', 'width', 'amplitude'로 변경할 수 있다. 또한 주기$(T)$는 'period'로 조절할 수 있다. 아래 네 슬라이더의 표시값과 'reset' 버튼 위의 값은 모두 거리나 시간격자점의 지표값이다. 따라서 실제의 거리나 시간으로 환산하기 위해서는 공간격자간격 $\varepsilon=5.0 \times 10^{-3}$과 시간격자간격 $\delta=2.5 \times 10^{-5}$으로 환산해야 한다. 화면 오른쪽 위에는 몇몇 물리량의 환산값을 나타내고 있다.

4. 맨 위의 퍼텐셜 그래프는 시시각각으로 변하는 퍼텐셜을 붉은 선으로 보여준다. 이 그래프의 중앙선이 0 이고, +amplitude ~ -amplitude 사이로 진동하는 sin 함수형의 퍼텐셜이 걸린다.

5. 'copy' 버튼으로 현재의 $\{c_m\}$의 정보, 파동함수 등을 클립보드에 복사한다. 여기서의 퍼텐셜과 $T_{mn}$은 각각 $A(x)$과 이로부터 계산된 전이행렬이다. 현재의 시간에 대한 것은 이들에 $\sin \omega t$를 곱하면 된다. 이때 'perturb'를 체크하면 1차까지와 2차까지의 섭동이론으로 계산한 결과도 같이 클립보드에 복사한다.

관찰 사항

1. 프로그램이 처음 주어진 조건($n=60$)에서 시간을 경과시켜라. 이 결과는 앞의 변하지 않는 섭동의 모의실험과 어떤 차이가 있어 보이는가? 둘을 같은 퍼텐셜 형태로 놓고 결과를 비교해 보라.

2. 이론에서의 예측처럼 시간이 흐름에 따라 $\omega_m \cong \omega_n \pm \omega$ 의 관계를 만족하는 상태로 전이가 지배적인지를 다양한 조건에서 살펴보라.

3. 퍼텐셜을 특정한 조건으로 두고 시간에 따른 변화를 관찰하라. 순차적인 몇몇 시간에 대해서 'copy'로 복사한 데이터로부터 전이가 크게 일어나는 영역을 선택해서 시간에 따른 전이확률의 추이를 분석하라. 처음 주어진 상태 양쪽 두 영역에서 전이가 크게 일어나는 것을 찾을 수 있을 것이다. 전이확률이 시간에 비례하게 증가하는가? 이 결과가 앞서 근사해석을 통해 유도한 공식과 부합되는지 판단하라.

[질문1] 오랜 시간이 경과하면 처음 상태에서 특정한 상태로의 전이가 계속 일어나지 못하고 거의 일정한 상태로 유지되는 것을 볼 수 있다. 이 이유는 무엇일까?

_ 퍼텐셜 장벽_ 파동함수_ 주기_ 진동_ 전이