레이저의 원리

매질에서의 빛의 증폭

아래 그림은 $\nu \sim \nu+\Delta\nu$의 빛이 왼쪽에서 입사하여 밀도반전이 일어난 매질 속에서 증폭되어 오른쪽으로 빠져 나오는 것을 보여주고 있다. 여기서 이 범위의 파장을 증폭할 수 있는 분자의 밀도는 $E_2$에 점유되어 있는 $N_2$개 중에서 $\Delta N_2$개 이고, 공진기 속에서 오른쪽으로 진행하는 방향으로의 좌표를 $z$라고 했을 때 각 지점에서의 빛의 밝기는 $I_\nu (z)$로 나타내었다.

분자(혹은 원자)가 두 에너지 준위의 차이에 해당하는 진동수의 빛을 방출하거나 흡수한다. 따라서 특정한 한 진동수가 관여되는 것이 원칙이다. 그러나 각 분자는 활발하게 열적인 운동을 하고 있으므로 움직이면서 빛을 방출하므로 도플러 효과에 따라 진동수가 다른 값으로 측정된다. 이는 빛을 흡수할 경우에도 마찬가지이다. 즉, $E$ 준위에 있는 전체 원자 $N$ 중에서 일부분인 $\Delta N$만이 진동수가 $\nu \sim \nu+\Delta\nu$ 범위의 전이에 가담하게 된다.

이에 따라 $z \sim z+dz$에서 자극에 의해 흡수되는 광자의 밀도와 방출되는 광자의 밀도는 각각 $B_{12} u_\nu \Delta N_1$, $B_{21} u_\nu \Delta N_2$이 되고, 각각의 광자는 $h\nu$의 에너지를 가지고 있으므로 공간의 에너지 밀도의 시간에 대한 변화율은 \[ \frac{d}{dt} (u_\nu \Delta \nu) = h\nu (B_{21} \Delta N_2 - B_{12} \Delta N_1)u_\nu \] 이다. 여기서 시간 $dt$ 사이에 빛은 $dz=cdt$ 진행하는 것과 \[ u_\nu \Delta \nu = \frac{I_\nu\Delta \nu}{c} \] 를 고려하면 $z$ 방향으로의 빛의 밝기의 변화율은 다음과 같다. \[ \frac{d}{dz} (I_\nu ) = \frac{h\nu}{c} \left( \frac{\Delta N_2}{\Delta \nu} - \frac{\Delta N_1}{\Delta \nu} \right) B_{21}I_\nu \]

이 방정식의 해는 \[ I_\nu = I_{\nu 0} e^{\alpha_\nu z} \] 여기서 $\alpha_\nu$는 증폭율 상수(gain constant)로서 \[ \alpha_\nu = \frac{h\nu}{c\Delta \nu}\left( \Delta N_2-\Delta N_1 \right) B_{12} \] 따라서 $\Delta N_1 \lt \Delta N_2$인 조건이 증폭이 일어나는 조건이 되고, 도플러 효과를 고려하면 이 조건은 $N_1 \lt N_2$이 되어 밀도반전이 증폭이 일어나는 대전제임을 확인할 수 있다.

_ 에너지 준위_ 도플러 효과_ 진동수_ 전이_ 대전

열운동에 의한 도플러 효과

매질의 원자가 빛을 방출할 때 끊임없이 열적인 운동을 하고 있다. 따라서 방출되는 빛의 진동수나 파장이 도플러 효과로 변하게 된다. 기본적으로 원자가 내는 방출스펙트럼이 단일한 진동수로 되어 있지만 도플러 효과에 의해 스펙트럼의 선폭이 넓어지게 되고, 이를 도플러 확장(doppler broadening)이라 한다. 여기서는 매질이 기체인 경우에 대해 알아본다.

속도의 $z$ 성분이 $v_z \sim v_z + \Delta v_z$ 사이에 있는 분자의 비율은 다음과 같다. (여기서는 '열과 물질의 상태' 단원에서 취급한 것과 달리 속도에서 방향을 같이 고려하였다. 즉, '이상기체의 속력분포함수'에서 다룬 1차원, 즉 $q=1$의 에 해당하는 것과 같으나 속도의 크기에 대한 분포 함수에 비해 방향을 같이 고려하여 1/2배 하면 된다) \[ P(v_z) dv_z = \sqrt{\frac{m}{2\pi kT}} e^{-\frac{m}{2kT} v_z^2} dv_z \]

아래 그림은 이상기체의 속도분포함수로서 특정한 한 방향으로의 성분에 대해서 나타낸 것이다. 0의 속도를 중심으로 한 가우스 함수 형태를 하고 있어 속도값이 커질수록 비율은 점점 줄어드는 것을 알 수 있다.

한편 도플러 효과에 의해 $\nu_0$의 진동수의 빛을 내는 분자가 속도 $v_x$로 움직이면 다음의 $\nu$로 진동수가 다르게 관측된다. (여기서는 분자의 속력이 비상대론적이므로 도플러 효과를 비상대론적으로 취급한 것을 따른다) \[ \begin{equation} \label{eq1} \frac{\nu-\nu_0}{\nu_0} = \frac{v_z}{c} \end{equation} \] 따라서 $\nu \sim \nu+\Delta \nu$ 진동수 범위에서 방출하거나 흡수할 수 있는 원자의 수는 \[ \Delta N_i = N_i \sqrt{\frac{m}{2\pi kT}} e^{-\beta (\nu-\nu_0)^2} \frac{c}{\nu_0} \Delta\nu \] 여기서 $\beta = mc^2(2kT\nu_0^2)^{-1}$ 이다. 이들 결과로 부터 증폭율 상수를 나타내면, \[ \alpha_\nu = \sqrt{\frac{m}{2\pi kT}} e^{-\beta (\nu-\nu_0)^2}(N_2 - N_1) h B_{21} \] 여기서 최대 증폭율을 가진 경우는 진동수가 $\nu_0$의 경우로서 다음의 값을 가진다. \[ \alpha_{max} = \sqrt{\frac{m}{2\pi kT}} (N_2 - N_1) h B_{21} = \sqrt{\frac{m}{2\pi kT}} (N_2 - N_1) \frac{\lambda_0^2}{8\pi} A_{21} \] 따라서 증폭율은 속도분포함수와 마찬가지로 $\nu_0$를 중심으로 아래와 같은 종모양의 함수 형태를 하게 된다.

최대 증폭율의 1/2 인 증폭율의 범위를 FWHM(full width at half-maximum)이라 한다. \[ \Delta \nu = 2 \sqrt{\frac{1}{\beta}\ln 2} \] \[ \begin{equation} \label{eq2} \Delta \nu = 2 \nu_0 \sqrt{\frac{2kT}{mc^2}\ln 2} \end{equation} \]

[질문1] '빛의 도플러 효과'의 마지막 식을 이용해서 \eqref{eq1} 식을 확인하라.

[질문2] 대표적인 기체 레이저인 헬륨-네온 레이저는 네온 원자가 레이저 증폭을 일으키는 매질이 된다. 상온에서 작동하는 이 레이저의 FWHM, 즉 $\Delta\nu$는 얼마일까? 633 mm의 발진 파장에 대해 \eqref{eq2}를 적용하여 계산하라. 3.39 μm의 발진은 어떻게 달라지는가?

_ 이상기체의 속력분포함수_ 빛의 도플러 효과_ 헬륨-네온 레이저_ 원자질량단위_ 방출스펙트럼_ FWHM_ 진동수_ 온도_ 공명

로렌츠 선폭확대

원자나 분자가 두 에너지 준위 차이 $E_0$로 자발적이든 유도에 의하든 방출되는 빛의 진동수는 $E_0 = h \nu_0$으로 결정된다. 만일 $E_0$ 값이 단일값이면 진동수도 단일값인 $\nu_0$일 것이다. 그러나 방출은 짧은 시간 동안만 지속될 수 밖에 없으므로 다음과 같은 불확정성원리에 의해 $E_0$의 값이 확정될 수 없다. \[ \Delta E \Delta t \approx \hbar \] 이에 따라 방출되는 빛의 에너지 분포는 다음과 같이 로렌츠 분포가 된다. (이에 대해서는 핵물리의 방사선붕괴법칙 단원의 '에너지 너비'에서 자세히 설명하고 있다) \[ \begin{equation} \label{eq3} |A(W)|^2 = \frac{1}{4\pi^2} \frac{1}{(W-E_0)^2 + (\hbar\gamma/2)^2} \end{equation} \] 여기서 $|A(W)|^2$는 $W$의 에너지로 빛을 방출할 확률이고, $\gamma$는 높은 에너지 상태의 원자가 $e^{-\gamma t}$의 비율로 시간에 따라 줄어든다고 보았을 때의 $\gamma$로 이는 $1/\Delta t$ 정도의 값을 가진다.

이제 \eqref{eq3} 식을 방출하는 빛의 파장에 대한 분포로 다시 정리하면, \[ \begin{equation} \label{eq4} L(\nu) = \frac{\gamma}{4\pi^2} \frac{1}{(\nu - \nu_0)^2 + (\gamma/4\pi)^2} \end{equation} \] 이 된다. 레이저가 내는 빛의 진동수에 대해 기본적으로는 이 함수처럼 일정한 폭을 가지는 것을 나타내어 \eqref{eq3} 식을 로렌츠 선폭함수(Lorentz lineshape function)라고 한다. 이의 FWHM은 $\Gamma = \gamma / 2\pi$이다. 다음 그림은 앞서의 도플러에 의한 선폭함수인 가우스 함수와 로렌츠 선폭함수와 비교하고 있다.

위 그림에서 볼 수 있듯이 같은 선폭을 가진 경우, 가우스 함수는 $\nu_0$ 부근에서는 로렌츠 함수보다 더 완만하게 줄어들지만 멀어지면 더 빨리 감소한다. 보통의 기체레이저의 경우에는 분자의 열운동에 의한 도플러 효과로 폭이 넓어지는 효과가 커서 가우스 함수형이 주조를 이루게 된다.

[질문1] \eqref{eq4} 식은 로렌츠 함수(Lorentzian function)로 다음 식을 만족하도록 규격화된 것이다. 이를 확인하라. \[ \int_{-\infty}^{\infty} L(\nu) d\nu = 1 \]

[질문2] 여기상태의 원자의 수명($\Delta t$)은 대체로 1.0 ns ~ 10 ns 정도이다. 진동수의 폭 FWHM($\Gamma$)은 어떤 범위인가? 수명이 1 ns인 매질에서 633nm의 레이저가 발진할 때 파장의 폭은 얼마일까? 이 결과를 헬륨-네온 레이저의 도플러 효과에 의한 선폭과 비교하라. (앞의 [질문2] 참고)

_ 헬륨-네온 레이저_ 불확정성원리_ 에너지 너비_ 에너지 준위_ 로렌츠 분포_ 도플러 효과_ FWHM_ 방사선_ 진동수_ 규격화