빛의 도플러 효과

빛의 도플러 효과

빛의 도플러 효과

광원이 다가오는 것과 관측자가 다가오는 것은 서로 입장이 같다.

빛은 다른 파동과 달리 그 파동이 실려가는 매질이 없다. 따라서 보통의 파동과는 달리 도플러 효과도 다른 방법으로 설명해야 한다. 매질이라는 절대적인 계가 필요없으므로 서로의 상대적인 운동만이 그 효과를 말하는 유일한 변수가 되는 것이다.

아래 그림은 파를 발생하는 파원이 관측자에 대하여 속도 $u$ 로 이동하고 있는 것을 파원과 관측자의 입장에서 각각 보여주고 있다. 위 그림은 관측자 입장에서 본 상황으로, 파원의 시계에 의한 주기 $\tau_0$ 로 파를 발생하고 있다. 파의 + 피크를 붉은 색으로, 파의 - 피크를 푸른 색으로 나타내었다. 이 주기는 관측자 입장에서는 시간팽창이 되어 $\tau_0\gamma$ 로 된다. 이때 관측자가 측정하는 주기를 계산해 보자.

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빛을 내는 파원이 다가올 때의 도플러 효과_ 파원이 관측자(receiver)에 대하여 상대속도 $u$ 로 다가오고 있다. 위의 그림은 관측자가 정지한 계에서 본 모습으로 광원에서의 1 주기 $\tau_0$ 의 시간 흐름이 $\tau_0\gamma$ 로 더 긴 시간으로 측정된다. 그림에는 붉은 색의 원으로 표시한 것은 움직이는 광원이 발생시키는 빛의 파형이 피크일 때의 광원의 위치이고 왼쪽부터 각각 $-\tau_0\gamma$ , 0 , $\tau_0\gamma$ 의 시간에 해당한다. 반면에 푸른색의 원은 빛의 파형이 최저값일 때이다. 아래 그림은 광원에 대하여 정지한 계에서 본 그림으로 이때에는 광원에서 측정한 빛의 1주기는 $\tau_0$ 로 고유시간이 된다.

마지막 펄스는 $L-u\tau_0\gamma$ 거리를 달려서 관측자의 수신기에 파가 도달한다. 파원의 시계가 0일 때 관측자의 시계를 동시에 0으로 일치시킨다. 0초에 발사된 파는 관측자의 시간으로 $t_1$ , 그 다음 주기에 발사된 파는 $t_2$ 에 도달한다고 하면,

$t_1 = \frac{L}{c}$

$t_2 = \tau_0 \gamma + \frac{L-u\tau_0 \gamma}{c}$ 이다. 이 두 시간간격이 바로 관측자의 측정기에서 관측하게 되는 파의 주기이다.

$\tau=t_2-t_1=\tau_0\gamma \left( 1 - \frac{u}{c} \right) = \tau_0 \sqrt{\frac{c-u}{c+u}}$ 이를 진동수의 관계로 바꾸면,

$f=f_0 \sqrt{\frac{c+u}{c-u}}$ 이 된다. 광속에 대한 상대속도

$\beta=\frac{u}{c}$ 로 다시 표현하면

$f=f_0 \sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}} \approx f_0 ( 1+\beta + \frac{1}{2} \beta^2 )$ 이다. 여기서 유도한 식들은 모두 파원이 다가오는 경우로 진동수는 증가하고 파장은 짧아진다. 반면에 파원이 멀어지고 있다면

$u$ 값이나

$\beta$ 값이 -가 되어 진동수는 줄어들고 파장은 길어진다. 상대성원리 때문에 이 결과는 광원이 고정되어 있고, 관측자가 움직이는 경우도 동일하다. 즉 광원과 관측자의 상대속도에만 의존하는 것이다.

_ 도플러 효과_ 고유시간_ 시간팽창_ 진동수_ 주기_ 파동

고전적 도플러 효과

음파처럼 매질에 실려있는 파동의 경우에는 파원이 다가오느냐 관측자가 다가오느냐에 따라 그 결과가 달라진다. 만일에 빛도 상대론의 파동이 아니라 고전적인 파동이었다면 다음과 같이 두 개의 도플러 효과 공식이 나왔을 것이다. 즉, 정지한 파원에 관찰자가 다가간다면,

$f=f_0 (1+\beta)$

한편 관찰자가 정지해 있고 파원이 관찰자에게로 $\beta$ 의 속력으로 다가간다면,

$f=f_0 \frac{1}{1-\beta} \approx f_0 ( 1+\beta + \beta^2 )$ 상대론에 입각한 빛의 도플러 효과와 이들 두 식을 비교해 보면, 우선

$\beta$ 에 대한 1차식까지는 동일한 것을 알 수 있다. 따라서 빛의 속도보다 훨씬 느리게 움직이는 물체의 경우에는 이들 차이를 식별하기 곤란하다. 실험을 통하여 빛이 상대론의 도플러 효과를 따르는지를 검증하기 위해서는

$\beta$ 를 크게 해서

$\beta^2$ 항까지 식별할 수 있도록 해야 하는 데 지상에서 그러한 조건을 만드는 것은 쉽지 않다.

1938년에 빛을 실험장치의 앞뒤에서 비추어 $\beta$ 항을 소거시켜 $\beta^2$ 의 효과만 남게 한 실험을 통하여 상대론을 검증할 수 있었다.

_ 도플러 효과_ 음파_ 파동

가로 도플러 효과

지금까지의 고전적인 일반 파동이나 상대론적인 빛의 경우 파동이 관측자를 향해서 다가오거나 멀어지는 경우로서 수식으로 유도하기 쉽고, 그 효과가 극대로 나타나는 경우였다. 그러나 파원이 관측점으로부터 가로 방향으로 운동하고 있다면 일반 파동의 경우에는 그 효과가 당연히 나타나지 않을 것이나 빛의 경우에는 그렇지 않다. 이는 고전론과 상대론에 대한 극명한 차이를 주는 것이기 때문에 상대론을 확인하는 실험으로 널리 활용되어 1963년 W. Kundig에 의해 1% 오차 이내로 상대론의 정당성이 검증되었다

여기서는 가로 도플러 효과의 결과만 밝힌다.

$f'=f_0 \sqrt{1-\beta^2} \approx f_0(1-\frac{1}{2}\beta^2)$

항해위성으로부터 위치와 속도 확인

빛의 도플러 효과는 당연히 전자기파의 경우에도 적용된다. 이에 따라 이 도플러 효과를 비행기의 위치와 속도를 측정하는 데 적용한다. NAVSTAR라는 인공위성은 원자시계에 의해 동기되는 일정한 주기로 전파를 발생한다. 이 전파를 수신한 비행기는 도플러효과에 의해 달라진 주기의 전파를 수신하게 되는 데 이 주기를 측정하여 자신의 인공위성에 대한 상대적인 속도를 알게 된다. 한편으로 인공위성의 전파가 가지고 있는 시간정보를 읽어서 그 파가 도달하는 데 소요된 시간을 알아 그 인공위성으로부터의 거리를 알아낸다. 이렇게 하여 인공위성과의 거리와 상대적 속도를 알아내게 된다. 비행기의 시야에 들어오는 서너 개의 인공위성의 신호를 분석하면 절대적인 위치와 속도를 알아낼 수 있어 비행하는 데 결정적인 도움을 받을 수 있다.

_ 도플러 효과_ 전자기파_ 주기_ 파동

우주팽창의 증거

멀리 보이는 별빛을 잘 관측해보면 별빛의 원래의 스펙트럼에서 파장이 긴쪽으로 이동되어 있는 것을 알 수 있다. 별이 지구로부터 멀어지고 있어서 도플러 효과에 의해 붉은색 쪽으로 치우치는 적색편이(red shift)가 일어난 것이다. 이 편이된 정도로부터 별의 지구에 대한 상대속력을 계산할 수 있다. 1920년대부터 40년대까지 허블(E. Hubble)은 아주 멀리 있는 은하들에 대한 이 이동속도를 계산하여 지구에서 멀리 떨어질수록 그 멀어지는 속도가 커진다는 허블의 법칙을 발견하였다. 이 허블의 법칙은 우주가 팽창하는 증거가 되었고, 이에 따라 시간을 거슬러서 추산해본 결과 애초에 온 우주가 한 점에 갇혀 있었던 상황으로부터 출발하여 대폭발이 이루어져서 오늘날의 우주로 부풀었다는 대폭발우주론(big bang cosmological theory)의 근거가 되었다.

_ 도플러 효과